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20251227表示论研讨会

2025-12-27T00:00:00+08:00

惠昌常 - New view to study representations of algebras: Centralizer algebras of matrices

代数等价中的三种基本等价:

Morita 等价: 模范畴等价
Stable 等价: 模范畴的稳定范畴等价
Derived 等价: 模范畴的导出范畴等价

稳定等价最困难.

稳定等价的 AR 猜想:

《基础代数学》作业 Week15-2

2025-12-24T00:00:00+08:00

写出并证明内射维数的刻画.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数.
称 $N$ 的投射维数不超过 $d$, 记作 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$, 如果存在 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^d \rightarrow 0$.
称 $N$ 的内射维数为 $d$, 记作 $\operatorname{inj.dim}(N) = d$, 如果 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$ 且不存在 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \rightarrow 0$.
若 $N$ 没有有限长的内射分解, 则称 $N$ 的内射维数为无穷, 记作 $\operatorname{inj.dim}(N) = \infty$.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数. 则下述命题等价:

(i) $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$;

(ii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{n}(M,N) = 0, ∀n ≥ d+1$;

(iii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0$;

(iv) 若 $0 → N \xrightarrow{t^0} I^0 \xrightarrow{t^1} I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \xrightarrow{t^d} I^d \rightarrow 0$ 是 $\mathcal{A}$ 中正合列, 且 $I^0,⋯,I^{d-1}$ 均为内射对象, 则 $I^d$ 也是内射对象.

(i) $\Rightarrow$ (ii): 由定义显然.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

(iii) $\Rightarrow$ (iv): 令 $C^i = \mathrm{Im}t^i, i=0,\cdots, d$ (不妨记 $C^0:= N, C^d:=I^d$), 则可得到正合列 $$\begin{equation} 0→C^{i}→I^i→C^{i+1}→0, \quad i=0,\cdots,d-1. \end{equation}$$ 根据推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation} 0=\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i}(M,I^{i})→\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i}(M,C^{i+1})→\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i+1}(M,C^{i})→\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i+1}(M,I^{i})=0,\quad i=0,\cdots,d-1. \end{equation}$$ 于是有 $$\begin{equation} \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{1}(M,I^d) = \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{2}(M,C^{d-1}) = \cdots = \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,C^0) = \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0. \end{equation}$$ 从而 $I^d$ 是内射对象.

(iv) $\Rightarrow$ (i): 取正合列 $0 → N \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots → I^{d-1}$, 其中 $I^0,⋯,I^{d-1}$ 均为内射对象. 令 $I^d = \mathrm{Coker}(I^{d-2}→ I^{d-1})$, 则由 (iv) 可知 $I^d$ 也是内射对象. 从而得到 $N$ 的内射分解 $0 → N \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \rightarrow I^d \rightarrow 0$. 故 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数. 则下述命题等价:

(i) $\operatorname{inj.dim}(N) = d$;

(ii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{n}(M,N) = 0, ∀n ≥ d+1$, 且存在对象 $M'$ 使得 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M',N) \neq 0$;

(iii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0$, 且存在对象 $M'$ 使得 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M',N) \neq 0$;

(iv) 存在 $\mathcal{A}$ 中的正合列 $0 → N \xrightarrow{t^0} I^0 \xrightarrow{t^1} I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \xrightarrow{t^d} I^d \rightarrow 0$, 其中 $I^0,⋯,I^{d-1}$ 均为内射对象, 则 $I^d$ 也为内射对象, 且 $t^d$ 非可裂满.

(i) $\Rightarrow$ (ii): 第一部分显然. 对于第二部分, 取 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \xrightarrow{t^d} I^d→ 0$, 作用 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,-)$ 得到复形 $$\begin{equation} 0 → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,N) → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^0) → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^1) → \cdots → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^{d-1}) \xrightarrow{\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,t^d)} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^d) → 0. \end{equation}$$ 我们断言 $\mathrm{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(I^d,N)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^d)/\mathrm{Im\ }\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,t^d)≠0 $. 否则 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,t^d)$ 为满态射, 故存在 $s: I^d → I^{d-1}$ 使得 $t^d s = \mathrm{Id}_{I^d}$, 即 $t^d$ 可裂满. 因而存在 $I'$ 使得 $I^{d-1}≅ \mathrm{Ker}t^d⊕I'$, 于是得到 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-2} \rightarrow I' → 0$, 矛盾.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

(iii) $\Rightarrow$ (iv): 只要证明 $t^d$ 非可裂满即可. 否则, 有 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-2} \rightarrow I' → 0$, 从而 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M,N) = 0, ∀ M∈\mathcal{A}$, 矛盾.

(iv) $\Rightarrow$ (i): 由上个命题可知 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$. 若 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d-1$, 则存在 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-2} \rightarrow I^{d-1} → 0$, 由 (iv) 可知 $0: I^{d-1}→ 0$ 非可裂满, 矛盾. 故 $\operatorname{inj.dim}(N) = d$.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $0→X→Y→Z→0$ 是 $\mathcal{A}$ 中的短正合列. 则当 $\operatorname{inj.dim}(X), \operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(Z)$ 三者中有两者为有限时, 第三者也为有限. 进一步, 我们有
(1) $\operatorname{inj.dim}(Y) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(X), \operatorname{inj.dim}(Z)\}$;
(2) $\operatorname{inj.dim}(X) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(Z)+1\}$;
(3) $\operatorname{inj.dim}(Z) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(X)-1\}$.

设 $\operatorname{inj.dim}(X) = d_X, \operatorname{inj.dim}(Y) = d_Y, \operatorname{inj.dim}(Z) = d_Z$.
(1) 考虑推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation} \cdots → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_X,d_Z\}+1}(M,X) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_X,d_Z\}+1}(M,Y) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_X,d_Z\}+1}(M,Z) → \cdots \end{equation}$$ 由内射维数的刻画可知, 上式中两端项均为零, 故中间项也为零. 由内射维数的刻画可知, $\operatorname{inj.dim}(Y) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(X), \operatorname{inj.dim}(Z)\}$.

(2) 考虑推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation} \cdots → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_Z+1\}}(M,Z) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_Z+1\}+1}(M,X) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_Z+1\}+1}(M,Y) → \cdots \end{equation}$$ 由内射维数的刻画可知, 上式中两端项均为零, 故中间项也为零. 由内射维数的刻画可知, $\operatorname{inj.dim}(X) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(Z)+1\}$.

(3) 考虑推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation} \cdots → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_X-1\}+1}(M,Y) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_X-1\}+1}(M,Z) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_X-1\}+2}(M,X) → \cdots \end{equation}$$ 由内射维数的刻画可知, 上式中两端项均为零, 故中间项也为零. 由内射维数的刻画可知, $\operatorname{inj.dim}(Z) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(X)-1\}$.

Reamrk. 课本推论 3.8.4 有错误.

设 $A$ 是有限维代数. 则 $\operatorname{gl.dim} A = 0$ 当且仅当 $A$ 是半单代数.

由此前习题可知, 有限维代数 $A$ 是半单代数当且仅当任意 $A$-模都是投射模, 根据整体维数定义可知 $\operatorname{gl.dim} A = 0$ 当且仅当 $A$ 是半单代数.

证明下一题需要一个引理, 它是课本定理 1.10.4 的推广. 课本应对有限秩情形使用了归纳法, 这里使用超限归纳(transfinite induction) 来处理任意秩情形.

主理想整环 $D$ 上的自由模的非零子模都是自由 $D$-模.

设 $F$ 是主理想整环 $D$ 上的自由模, 且 $\operatorname{rank} F = \kappa$, 其中 $\kappa$ 是某个基数. 设 $N$ 是 $F$ 的非零子模. 我们使用超限归纳法证明 $N$ 是自由 $D$-模.

我们可以假设 $$\begin{equation} F = \bigoplus_{\alpha < \kappa} D e_\alpha. \end{equation}$$ 对于每个序数 $\beta\leq\kappa$, 可以定义子模 $$\begin{equation} F_\beta = \bigoplus_{\alpha < \beta} D e_\alpha⊆ F, \end{equation}$$ 并定义 $$\begin{equation} N_\beta = N ∩ F_\beta ⊆ N. \end{equation}$$ 则 $(F_\beta)_{\beta\leq\kappa}$ 是一个递增滤过, $(N_\beta)_{\beta\leq\kappa}$ 也一样, 且 $$\begin{equation} N = N_\kappa = \bigcup_{\beta < \kappa} N_\beta. \end{equation}$$

(1) 有限情形在课本定理 1.10.4 中已证明.

(2) 证明后继步保持结论: 固定一个 $\alpha<\kappa$, 设 $N_{α}$ 是自由模, 我们来证明 $N_{α+1}$ 也是自由模.

Claim: $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $D$ 的理想.

如果有此 Claim, 考虑短正合列 $$\begin{equation} 0 → N_{α} → N_{α+1} → N_{α+1}/N_{α} → 0, \end{equation}$$ 由于 $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $D$ 的理想, 且 $D$ 是主理想整环, 故 $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $0$ 或者 $D$ (不论哪种情况都是投射模), 从而短正合列可裂, 故 $N_{α+1} \cong N_{α} \oplus (N_{α+1}/N_{α})$ 是自由模.

下面来证明 Claim. 取任意 $x ∈ N_{α+1}$, 记其在 $F_{α+1}=F_α⊕De_α$ 中的唯一表示为 $x = x' + d e_{α}$, 其中 $x' ∈ F_{α}, d ∈ D$. 于是可以考虑态射 $\pi_\alpha: N_{\alpha+1}→ D, x↦d$ (显然是 $D$-模同态), 并且注意到 $\mathrm{Im}\ \pi_\alpha \cong N_{α+1}/N_{α}$, 这就是 $D$ 的一个理想.

(3) 证明极限步保持结论: 固定一个极限序数 $\lambda ≤ \kappa$, 设对所有 $\beta < \lambda$, $N_{\beta}$ 都是自由模, 我们来证明 $N_{\lambda}$ 也是自由模.

根据归纳假设以及之前的证明, 我们可以给出下面的直和补 $$\begin{equation} N_{\beta+1} \cong N_{\beta} \oplus C_{\beta}, \quad \forall \beta < \lambda, \end{equation}$$ 其中 $C_\beta$ 为 $D$ 或者 $0$.

下面我们来证明 $$\begin{equation} N_{\lambda} \cong \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta}. \end{equation}$$

对于任意的 $x∈N_λ$, 根据直和的定义(本质都是有限和), 存在某个 $\gamma < \lambda$ 使得 $x ∈ N_{\gamma}$, 并且我们有 $$\begin{equation} N_{\gamma} \cong \bigoplus_{\beta < \gamma} C_{\beta} \subseteq \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta}, \end{equation}$$ 从而 $x$ 是有限多个 $C_{\beta}(\beta<\lambda)$ 元素的和, 且表示唯一, 于是就有 $$\begin{equation} N_{\lambda} \cong \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta}. \end{equation}$$ 因此 $N_{\lambda}$ 是自由模.

综上, 由超限归纳法可知, $N = N_{\kappa}$ 是自由模.

证明 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} = 1$.

对于任意 $\mathbb{Z}$-模 $M$, 存在自由 $\mathbb{Z}$-模 $F$ 使得有短正合列 $0 → K → F → M → 0$. 由于 $\mathbb{Z}$ 是主理想整环, 故由引理可知 $K$ 是自由 $\mathbb{Z}$-模, 从而 $\operatorname{proj.dim}(_{\mathbb{Z}} M) ≤ 1$. 因此 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} ≤ 1$.

另一方面, 注意到存在非投射 $\mathbb{Z}$-模, 例如 $\mathbb{Z}_2$ (直接注意到 $\mathbb{Z}\xrightarrow{\pi}\mathbb{Z}_2$ 非可裂满). 故 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} \ge 1$. 综上, $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} = 1$.

设 $R$ 是环, $\operatorname{inj.dim}(_R R) < \infty$, $P$ 是投射左 $R$-模的双边无限的无环复形. 则复形 $\operatorname{Hom}_R(P,R)$ 是正合列.

设 $\operatorname{inj.dim}(_R R) = d$. 则存在 $R$ 的内射分解 $$\begin{equation} 0 → R \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^d → 0. \end{equation}$$ 将 $\operatorname{Hom}_R(P,-)$ 作用到上式, 由于 $P$ 的每一项都是投射左 $R$-模, 故得到复形的正合列(链映射容易给出, 逐项正合从而整体也是正合) $$\begin{equation} 0 → \operatorname{Hom}_R(P,R) → \operatorname{Hom}_R(P,I^0) → \operatorname{Hom}_R(P,I^1) → \cdots → \operatorname{Hom}_R(P,I^d) → 0. \end{equation}$$ 由于每个 $I^i$ 都是内射左 $R$-模, 故 $\operatorname{Hom}_R(P,I^i) (i=0,\cdots,d)$ 是无环复形. 根据九引理, 可知 $\operatorname{Hom}_R(P,R)$ 也是无环复形, 即正合列.

设 $R$ 是环, $I$ 是内射左 $R$-模的双边无限的无环复形. 若 $\operatorname{proj.dim}(_R M) < \infty$, 则 $\operatorname{Hom}_R(M,I)$ 是正合列.

设 $\operatorname{proj.dim}(_R M) = d$. 则存在 $M$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 → P_d → P_{d-1} → \cdots → P_1 → P_0 → M → 0. \end{equation}$$ 将 $\operatorname{Hom}_R(-,I)$ 作用到上式, 由于 $I$ 的每一项都是内射左 $R$-模, 故得到复形的正合列(链映射容易给出, 逐项正合从而整体也是正合) $$\begin{equation} 0 → \operatorname{Hom}_R(M,I) → \operatorname{Hom}_R(P_0,I) → \operatorname{Hom}_R(P_1,I) → \cdots → \operatorname{Hom}_R(P_d,I) → 0. \end{equation}$$ 由于每个 $P_i$ 都是投射左 $R$-模, 故 $\operatorname{Hom}_R(P_i,I) (i=0,\cdots,d)$ 是无环复形. 根据九引理, 可知 $\operatorname{Hom}_R(M,I)$ 也是无环复形, 即正合列.

《基础代数学》作业 Week15-1

2025-12-22T00:00:00+08:00

设 $s,t$ 均为正整数. 计算 $\operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t)$.

考虑 $\mathbb{Z}_t$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\times t} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}_t \rightarrow 0, \end{equation}$$ 将 $\mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} -$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \xrightarrow{\mathrm{Id}_{\mathbb{Z}_s} \otimes (\times t)} \mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \rightarrow 0, \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_0^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t) \cong \mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / \mathrm{Im}(\mathrm{Id}_{\mathbb{Z}_s} \otimes (\times t)) \cong \mathbb{Z}_{s}⊗\mathbb{Z}_t , \end{equation}$$ $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t) \cong \mathrm{Ker}(\mathrm{Id}_{\mathbb{Z}_s} \otimes (\times t)) \cong \{[x]_s \in \mathbb{Z}_s \mid tx \equiv 0 \mod s\} \cong \mathbb{Z}_{\gcd(s,t)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t) = 0, \quad \forall n \ge 2. \end{equation}$$

对任意 Abel 群 $M$, 计算 $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Z}_t)$, 并说明其是扭群.

设 $M$ 是右 $R$-模. 则下述等价:

(i) $M$ 是平坦模.

(ii) $\operatorname{Tor}_n^R(M,-)=0$, 对所有 $n \ge 1$ 成立.

(iii) $\operatorname{Tor}_1^R(M,-)=0$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): 由平坦模的定义可知, $M \otimes_R -$ 是正合函子, 故 $\mathrm{Tor}_n$ 函子导出的长正合列其实是短正合列, 即 $\operatorname{Tor}_n^R(M,-)=0$, 对所有 $n \ge 1$ 成立.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

(iii) $\Rightarrow$ (i): 设 $0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \rightarrow 0$ 是任意短正合列. 由 $\operatorname{Tor}_1^R(M,-)=0$ 可知, 我们有正合列: $$\begin{equation} 0=\operatorname{Tor}_1^R(M,C)→ M \otimes_R A \xrightarrow{\mathrm{Id}_M \otimes f} M \otimes_R B \xrightarrow{\mathrm{Id}_M \otimes g} M \otimes_R C \rightarrow 0, \end{equation}$$ 从而 $M \otimes_R -$ 是正合函子, 故 $M$ 是平坦模.

设 $R$ 是环. 则对于任意一簇右 $R$-模 $M_i$, $i \in I$, 和任意左 $R$-模 $N$, 有同构 $\operatorname{Tor}_n^R(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \bigoplus_{i \in I} \operatorname{Tor}_n^R(M_i,N)$, 对所有 $n \ge 0$ 成立.

对于每一个 $M_i$, 取其投射分解 $\cdots → P_i^1 → P_i^0 → M_i → 0$. 下面我们来构造 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限余积且有足够多投射对象, 故 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0$ 存在且为投射对象. 于是我们有系列满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → P_j^0 → M_j$, 从而由余积的泛性质, 可以得到满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → \bigoplus_{i∈I} M_i$. 记其为 $\pi$, 并且(态射余积的定义) $π = \bigoplus_{i∈ I}\pi_i$, 容易发现它的 kernel 为 $\bigoplus_{i∈I} \operatorname{Ker} \pi_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \xrightarrow{\pi} \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $- \otimes_R N$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} \cdots → \left(\bigoplus_{i \in I} P_i^n\right) \otimes_R N → \cdots → \left(\bigoplus_{i \in I} P_i^1\right) \otimes_R N → \left(\bigoplus_{i \in I} P_i^0\right) \otimes_R N → 0. \end{equation}$$ 由于 $- \otimes_R N$ 保持直和, 故上式同构于 $$\begin{equation} \cdots → \bigoplus_{i \in I} (P_i^n \otimes_R N) → \cdots → \bigoplus_{i \in I} (P_i^1 \otimes_R N) → \bigoplus_{i \in I} (P_i^0 \otimes_R N) → 0. \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} (P_i^\bullet \otimes_R N)). \end{equation}$$ 由于链复形的 direct sum 是逐度取直和, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} (P_i^\bullet \otimes_R N)) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{H}_n(P_i^\bullet \otimes_R N) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M_i,N). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M_i,N). \end{equation}$$

设 $R$ 是环. 则对于任意右 $R$-模 $M$ 和任意一簇左 $R$-模 $N_i$, $i \in I$, 有同构 $\operatorname{Tor}_n^R(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \operatorname{Tor}_n^R(M,N_i)$, 对所有 $n \ge 0$ 成立.

对于每一个 $N_i$, 取其投射分解 $\cdots → P_i^1 → P_i^0 → N_i → 0$. 下面我们来构造 $\bigoplus_{i∈I} N_i$ 的投射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限余积且有足够多投射对象, 故 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0$ 存在且为投射对象. 于是我们有系列满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → P_j^0 → N_j$, 从而由余积的泛性质, 可以得到满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → \bigoplus_{i∈I} N_i$. 记其为 $\pi$, 并且(态射余积的定义) $π = \bigoplus_{i∈ I}\pi_i$, 容易发现它的 kernel 为 $\bigoplus_{i∈I} \operatorname{Ker} \pi_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\bigoplus_{i∈I} N_i$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \xrightarrow{\pi} \bigoplus_{i \in I} N_i \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $M \otimes_R -$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} \cdots \rightarrow M \otimes_R \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow M \otimes_R \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow M \otimes_R \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \rightarrow 0. \end{equation}$$ 由于 $M \otimes_R -$ 保持直和, 故上式同构于 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^0 \rightarrow 0. \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^\bullet). \end{equation}$$ 由于链复形的 direct sum 是逐度取直和, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^\bullet) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{H}_n(M \otimes_R P_i^\bullet) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M,N_i). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M,N_i). \end{equation}$$

量子物理中的数学结构

2025-12-18T00:00:00+08:00

1️⃣ Mathematical description of a physical system

1.1 Mathematical description of classical Hamiltonian systems

Kinematics (运动学)

状态: 经典哈密顿系统中的一个状态 (configuration, or state) 被 phase space manifold $\Gamma$ 中的一个点 $\{p,q\}$ 所描述, 其中 $q$ 是广义坐标, $p$ 是共轭动量. 考虑简单情况时假设 $\Gamma$ 是 compact 的, 这对应着系统 confined in a bounded region of space and the energy is bounded.

具体而言, 上面的 $p,q$ 都可以看成一堆实值函数 $p_i,q_i : \Gamma → \mathbb{R}$, 其中 $i=1,2,\ldots,n$, 表示第 $i$ 个自由度的动量和坐标.

可观测量: 系统的可观测量 (observables) 包括 $p,q$ 以及上面的多项式, 于是可以考虑它们关于一致范数 $\Vert\cdot\Vert_\infty$ 的闭包, 从而也就是所有的实值连续函数 $C_{\mathbb{R}}(\Gamma)$. 这里本质用到了 Stone-Weierstrass 定理(满足区分点性质由相空间的定义可知, 即如果所有的动量和位置都一样那就是同一个点) :

(Stone-Weierstrass) 设 $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $A$ 是 $C(X,\mathbb{R})$ 的一个子代数, 且满足:
$\quad\bullet$ $A$ 包含常函数;
$\quad\bullet$ $A$ 能够区分点: 对任意不同的 $x,y∈ X$, 存在 $f∈ A$ 使得 $f(x)≠ f(y)$.
则 $A$ 在一致范数下在 $C(X,\mathbb{R})$ 中稠密, 即 $$\begin{equation} \overline{A}^{\Vert\cdot\Vert_\infty} = C(X,\mathbb{R}). \end{equation}$$

对偶关系: 一方面, 一个状态 $P$ 决定了每个可观测量的值, 这就是直接的. 另一方面, 每个点 $P\in\Gamma$ 唯一地被上面所有可观测量的值决定, 这是因为 Urysohn theorem 保证了连续函数可以区分点(但其实根据 phase space 定义知道连续函数可以区分点, 从而更直接).

Dynamics (动力学)

不是观测量自己随时间变, 而是相空间中的点在动, 观测量只是被拉回. 即给定初始点 $(q,p)$, 我们有时间演化给出的轨道 $$\begin{equation} \Phi_t : \Gamma → \Gamma, \quad (q,p) \mapsto (q_t, p_t), \end{equation}$$ 这是一个相空间上的流 (Hamiltonian flow). 而可观测量 $f$ 在时间 $t$ 的值 $$\begin{equation} f_t = f∘ \Phi_t \end{equation}$$ 是流对可观测量的拉回 (pull-back).

canonical variables 的演化由 Hamilton 方程给出: $$\begin{equation} \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}, \end{equation}$$

代数结构

经典可观测量的代数性质

经典可观测量其实生成了一个交换代数 $\mathcal{A}$ (相空间上的复值连续函数, 其实由实值的完全决定), 我们下面想说明这个东西上面其实有一个交换 $C^*$-代数结构:

有加法、乘法和数乘, 并且有单位元;
- 是交换代数;
是 Banach algebra:
- 有 sup-norm $$\begin{equation} \Vert f ‖ = \sup_{x∈\Gamma}|f(x)|, \end{equation}$$ 关于这个 norm 成为 Banach 空间;
- 并且乘法关于 norm topology 是连续的, 即 $$\begin{equation} \Vert fg ‖ ≤ \Vert f ‖ \cdot \Vert g ‖, \quad ∀ f,g ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$
是 Banach $\star$-algebra:
- 有 involution ($\star$) operation $f^\star(x) = \overline{f}(x)$.
是 $C^*$-algebra:
- 满足 $C^*$-condition $$\begin{equation} \Vert f^\star f ‖ = \Vert f ‖^2, \quad ∀ f ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$

状态作为线性泛函

上面提到的状态是 phase space $\Gamma$ 中的一个点, 而这其实是一个理想化假设, 在这样的假设下:

状态都是纯态, 相当于对应 Dirac 测度
测量完全精确, 即零方差

为了去理想化, 引入统计的观点, 每个状态其实给定的是每个可观测量下的多次测量结果 (有点非本体论的感觉), 先说结论: 每个状态是 $\mathcal{A}$ 上的一个 normalized positive linear functional.

具体而言, 对于一个(我们想要定义的真正)状态 $\omega$, 它其实就是给出了每个可观测量的期望值(多次测量的平均值)的一个东西, 即对任意的 $f∈ \mathcal{A}$, 我们会有 $$\begin{equation} ω(f):=\lim_{n\to\infty}⟨f⟩_n^{(\omega)}, \end{equation}$$ (这里的定义并非完全在数学上公理化, 但是在物理上合理, 自然有 $\omega(f^*)=\overline{\omega(f)}$, 因为期望值中被平均的东西的来源就是可观测量在 phase space 上的一些值; 类似地还有如果一个可观测量 $f$ 本身在 phase space 上都是非负值, 那么它的期望值也应该是非负值, 这给出了 positive condition 的直观理解.)

自然可以定义方差(mean square deviation, or variance) $$\begin{equation} (\Delta_\omega f)^2 := ω(f - ω(f))^2. \end{equation}$$

这样的 $\omega$ 是 $\mathbb{C}$-linear 的, 并且满足 positive condition $$\begin{equation} \omega(f^*f)≥ 0, \quad ∀ f ∈ \mathcal{A}, \end{equation}$$ 这进一步给出了 Cauchy-Schwarz 不等式 $$\begin{equation} |\omega(f^*g)|^2 ≤ \omega(f^*f) \cdot \omega(g^*g), \quad ∀ f,g ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$

根据 positive condition, 有 $\omega(\mathbf{1})>0$ (除非 $\omega$ 是平凡态, 即在所有的可观测量上都给出零值), 于是可以归一化使得 $\omega(\mathbf{1})=1$.

于是, 经典系统的状态就是 $\mathcal{A}$ 上的 normalized positive linear functional.

当 $\mathcal{A}=C(\Gamma)$ 是由 compact (Hausdorff) phase space $\Gamma$ (其实只需要紧性, Hausdorff 为的是使用 Urysohn theorem) 上的连续函数给出的时候, state 是连续(有界)线形泛函: 首先紧性给出了连续函数的有界性, 从而有 $‖f‖_∞<\infty$. 另外, 我们对于任意的 $f∈\mathcal{A}$ 逐点有 $$\begin{equation} -‖f‖_∞ ≤ f(x) ≤ ‖f‖_∞, \quad ∀ x ∈ \Gamma, \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} -‖f‖_∞\cdot\mathbf{1}≤ f ≤ ‖f‖_∞\cdot\mathbf{1}, \end{equation}$$ 两边作用 $\omega$, 并且根据线性性和正性, 有 $$\begin{equation} -‖f‖_∞\omega(\mathbf{1}) ≤ \omega(f) ≤ ‖f‖_∞\omega(\mathbf{1}), \end{equation}$$ 由于 $\omega$ 已经归一化, 于是就有 $$\begin{equation} |\omega(f)| ≤ ‖f‖_∞. \end{equation}$$ 从而 $$\begin{equation} ‖\omega‖ = \sup_{f≠0} \frac{|\omega(f)|}{‖f‖_∞} ≤ 1 < ∞, \end{equation}$$ 这就说明了 $\omega$ 是有界(连续)的线性泛函.

状态集合的具体刻画: 当我们考虑 compact Hausdorff 的 phase space $\Gamma$ 的时候, 上面的连续函数构成的交换 $C^*$-代数 $\mathcal{A}=C(\Gamma)$ 上的 normalized positive linear functional, 即 state $\omega$, 自动是连续泛函. 这时候, 根据如下 Riesz-Markov representation theorem:

(Riesz-Markov representation theorem)
设 $\Gamma$ 是紧 Hausdorff 空间, 则有一一对应 $$\begin{equation} \{C(\Gamma) \text{上的连续正线性泛函}\} ⟷ \{\text{在} \Gamma \text{上的有限正 Borel 测度}\}, \end{equation}$$ 加上归一化条件, 则有一一对应 $$\begin{equation} \{C(\Gamma) \text{上的归一化的连续正线性泛函}\} ⟷ \{\text{在} \Gamma \text{上的概率测度}\}. \end{equation}$$ 具体而言, 给定 $\omega$, 存在唯一的概率测度 $μ_ω$ 使得对任意的 $f∈ C(\Gamma)$ 有 $$\begin{equation} \omega(f) = \int_\Gamma f(x) \, dμ_ω(x). \end{equation}$$

我们知道, 一个 state $\omega$ 其实就对应着 phase space $\Gamma$ 上的一个概率测度 $μ_ω$. 这其实就是在说, 我们上面给出的(广义)状态 $\omega$, 就是 phase space 上的一个概率分布, 这就自然地包含了统计的观点. 并且, 从这个角度看, 之前狭义的状态(phase space 上的一个点)其实就是 Dirac 测度, 这就是概率论中的退化分布, 我们称它为纯态 (pure state), 它们不能写成其他状态的凸线性组合.

Remark(与量子情形的比较). 这里的概率分布、测量的不确定性是由统计给出的, 是考虑了现实的测量误差之后的结果. 量子力学中就算是纯态也有着内在的不确定性, 是不考虑统计就有的, 量子理论中考虑统计/现实得到的一般的 state 的描述是密度矩阵, 相当于两重不确定性. 另外, 在量子情形下, $C^*$-代数是非交换的, 没有 Riesz-Markov representation theorem, 替代使用的是 GNS construction, 这也是量子情形下 state 的描述.

态的演化: 一般状态的演化通过可观测量的演化给出 $$\begin{equation} \omega_t(f) = \omega(f_t) = \omega(f ∘ \Phi_t), \quad ∀ f ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$ 这等价于将对应的概率测度 $μ_ω$ 关于 Hamilton 流 $\Phi_t$ 作 push-forward: $$\begin{equation} μ_{\omega_t} = (\Phi_t)_\# μ_ω. \end{equation}$$ 这是因为 $$\begin{equation} \omega_t(f) = \omega(f ∘ \Phi_t) = \int_\Gamma f( \Phi_t(x)) \, dμ_ω(x) = \int_\Gamma f(y) \, d((\Phi_t)_\# μ_ω)(y). \end{equation}$$

《基础代数学》作业 Week14-2

2025-12-17T00:00:00+08:00

计算 $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^n(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z})$, 其中 $m \ge 1$, $n \ge 0$.

我们有 $\mathbb{Z}_m$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots → 0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\times m} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}_m \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(- ,\mathbb{Z})$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形($()^*$ 表示在右边复合): $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) \xrightarrow{(\times m)^*} \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) \rightarrow 0 \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^0_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) = 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) / \mathrm{Im}((\times m)^*) \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_m, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) = 0, \quad \forall n \ge 2. \end{equation}$$

设 $D$ 是主理想整环. 令 $M = D/\langle a \rangle$, $N$ 是 $D$-模. 证明 $\operatorname{Ext}_D^1(M,N) \cong N/aN$. 特别地, 如果 $N = D/\langle b \rangle$, 则 $\operatorname{Ext}_D^1(M,N) \cong D/\langle \gcd(a,b) \rangle$.

我们有 $M$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow D \xrightarrow{\times a} D \xrightarrow{\pi} M \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_D(- ,N)$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_D(D,N) \xrightarrow{(\times a)^*} \mathrm{Hom}_D(D,N) \rightarrow 0. \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^1_D(M,N) \cong \mathrm{Hom}_D(D,N) / \mathrm{Im}((\times a)^*) \cong N/aN. \end{equation}$$ (因为有 $\mathrm{Hom}_D(D,N) \cong N$.)

特别地, 如果 $N = D/\langle b \rangle$, 则 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^1_D(M,N) \cong (D/\langle b \rangle)/a(D/\langle b \rangle) \cong D/(⟨b⟩ + ⟨a⟩) \cong D/\langle \gcd(a,b) \rangle. \end{equation}$$

设 $A := k[x]/\langle x^s \rangle$ $(r \ge 2)$, $M := k[x]/\langle x^r \rangle$, $N := k[x]/\langle x^t \rangle$, 其中 $1 \le r,t \le s$. 计算 $\operatorname{Ext}_A^n(M,N)$ $(n \ge 0)$.

我们有 $M$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow A \xrightarrow{\times x^{s-r}}A \xrightarrow{\times x^r} A \xrightarrow{\times x^{s-r}} A \xrightarrow{\times x^r} A \xrightarrow{\pi} M \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_A(- ,N)$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_A(A,N) \xrightarrow{(\times x^{r})^*} \mathrm{Hom}_A(A,N) \xrightarrow{(\times x^{s-r})^*} \mathrm{Hom}_A(A,N) \rightarrow \cdots \end{equation}$$

根据 $\mathrm{Hom}_A(A,N) \cong N$, 我们有 $$\begin{equation} 0 \rightarrow N \xrightarrow{\times x^{r}} N \xrightarrow{\times x^{s-r}} N \xrightarrow{\times x^{r}} N \xrightarrow{\times x^{s-r}} N \rightarrow \cdots \end{equation}$$

为了方便, 记 $[f(x)] = ⟨f(x) + ⟨x^s⟩⟩$, 则 $N≅[x^{s-t}]$. 于是上述链复形可写为 $$\begin{equation} 0 \rightarrow [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{r}} [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{s-r}} [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{r}} [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{s-r}} [x^{s-t}] \rightarrow \cdots \end{equation}$$

从而, 我们有 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^0_A(M,N) \cong \mathrm{Ker}(\times x^{r}) = \begin{cases} [x^{s-t}], & r \ge t ;\\ [x^{s-r}], & r < t ; \end{cases} = [x^{s-\min(r,t)}], \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^{2n+1}_A(M,N) \cong \mathrm{Ker}(\times x^{s-r}) / \mathrm{Im}(\times x^{r}) = \begin{cases} [x^t], & r + t > s \text{且} r < t ;\\ [x^r], & r + t > s \text{且} r ≥ t ;\\ [x^{s-t}], & r + t ≤ s \text{且} t < r ;\\ [x^{s-r}], & r + t ≤ s \text{且} t ≥ r ; \end{cases}=[x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^{2n}_A(M,N) \cong \mathrm{Ker}(\times x^{r}) / \mathrm{Im}(\times x^{s-r}) = [x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \end{equation}$$

综上可得,

$$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_A(M,N) = [x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \quad \forall n \ge 1. \end{equation}$$

设 $\mathcal{A}$ 是有无限余积并且有足够多投射对象的 Abel 范畴. 则对于任意一簇对象 $M_i$, $i \in I$, 和任意对象 $N$, 有同构 $\operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(\bigoplus_{i \in I} M_i, N) \cong \prod_{i \in I} \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M_i,N)$, $\forall n \ge 0$.

对于每一个 $M_i$, 取其投射分解 $P_i\xrightarrow{\pi_i} M_i→ 0$, 下面我们来构造 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限余积且有足够多投射对象, 故 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0$ 存在且为投射对象. 于是我们有系列满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → P_j^0 → M_j$, 从而由余积的泛性质, 可以得到满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → \bigoplus_{i∈I} M_i$. 记其为 $\pi$, 并且(态射余积的定义) $π = \bigoplus_{i∈ I}\pi_i$, 容易发现它的 kernel 为 $\bigoplus_{i∈I} \operatorname{Ker} \pi_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \xrightarrow{\pi} \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(- ,N)$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^0,N) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^1,N) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^n,N) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^n,N) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^n,N)$, 故上式同构于 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^0,N) \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^1,N) \rightarrow \cdots \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^n,N) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)). \end{equation}$$ 由于链复形的 product 是逐度取积, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{H}^n(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M_i,N). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M_i,N). \end{equation}$$

Remark. 一般而言, 上同调函子 $\mathrm{H}^n$ 不保持积. 但是题目里面的 $\mathrm{H}^n$ 和 $\prod$ 交换并不是保持积的意思, 因为上面题目里面的 $\mathrm{H}^n$ 是作用在特定复形 $\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)$ 上的上同调函子, 而不是作用在任意对象上的函子(也就是说不是 $\mathrm{H}^n:\mathcal{A}→\mathbf{Ab}$, 只是混用了符号). 事实上, 由于每一个 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)$ 都是一个链复形, 故 $\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)$ 也是一个链复形, 因此我们可以定义作用在该链复形上的上同调函子 $\mathrm{H}^n$. 不过我不是很清楚我上面是不是说清楚了.

设 $\mathcal{A}$ 是有无限积并且有足够多内射对象的 Abel 范畴. 则对于任意对象 $M$ 和任意一簇对象 $N_i$, $i \in I$, 有同构 $\operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M,\prod_{i \in I} N_i) \cong \prod_{i \in I} \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M,N_i)$, $\forall n \ge 0$.

对于每一个 $N_i$, 取其内射分解 $0→ N_i \xrightarrow{\varepsilon_i} I_i^0 → I_i^1 → ⋯$. 下面我们来构造 $\prod_{i∈I} N_i$ 的内射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限积且有足够多内射对象, 故 $\prod_{i∈I} I_i^0$ 存在且为内射对象. 于是我们有系列单态射 $N_j \xrightarrow{\varepsilon_j} I_j^0 \to \prod_{i∈I} I_i^0$, 从而由积的泛性质, 可以得到单态射 $\prod_{i∈I} N_i \xrightarrow{\varepsilon} \prod_{i∈I} I_i^0$. 记其为 $ε$, 并且(态射积的定义) $ε = \prod_{i∈ I}\varepsilon_i$, 容易发现它的 cokernel 为 $\prod_{i∈I} \operatorname{Coker} \varepsilon_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\prod_{i∈I} N_i$ 的内射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \prod_{i \in I} N_i \xrightarrow{\varepsilon} \prod_{i \in I} I_i^0 \rightarrow \prod_{i \in I} I_i^1 \rightarrow \cdots \rightarrow \prod_{i \in I} I_i^n \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M , -)$ 作用到删项内射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^0) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^n) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^n)$, 故上式同构于

$$\begin{equation} 0 \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^0) \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$

从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,\prod_{i \in I} N_i) \cong \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^\bullet)). \end{equation}$$ 由于链复形的 product 是逐度取积, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^\bullet)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{H}^n(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^\bullet)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,N_i). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,\prod_{i \in I} N_i) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,N_i). \end{equation}$$

设 $R$ 是(左)Noether 环. 则对于任意有限生成(左)$R$-模 $M$ 和任意一簇(左)$R$-模 $N_i$, $i \in I$, 有同构 $\operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M,N_i)$, $\forall n \ge 0$.

这题关键在于左 Noether 环上的有限生成模是紧的, 即有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, N_i). \end{equation}$$

取 $N_i$ 的内射分解 $0→ N_i \xrightarrow{\varepsilon_i} I_i^0 → I_i^1 → ⋯$. 由于左 Noether 环上的有限生成模是紧的, 故有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^n) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^n). \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_R(M , -)$ 作用到删项内射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^0) \rightarrow \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于上面同构, 故上式同构于 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^0) \rightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_R(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \mathrm{H}^n(\bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^\bullet)). \end{equation}$$ 由于链复形的 direct sum 是逐度取直和, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^\bullet)) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{H}^n(\mathrm{Hom}_R(M, I_i^\bullet)) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_R(M,N_i). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_R(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_R(M,N_i). \end{equation}$$

《基础代数学》作业 Week14-1

2025-12-15T00:00:00+08:00

设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, 且 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象. 设 $F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是反变加法函子. 则左导出(反变)函子 $L_n F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}, \quad n \ge 0$ 满足如下性质.

(LD1) 如果 $F$ 右正合, 则 $L_0 F \cong F$.

(LD2) 如果 $M$ 是内射对象, 则 $(L_n F)(M) = 0, \quad \forall n \ge 1$.

(LD3) 设

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \longrightarrow 0 \end{equation}$$

是 $\mathcal{A}$ 中的正合列. 则在 $\mathcal{B}$ 中存在长正合列

$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow (L_{n+1}F)(X) \xrightarrow{c_n} (L_n F)(Z) \xrightarrow{(L_n F)g} (L_n F)(Y) \xrightarrow{(L_n F)f} (L_n F)(X) \longrightarrow \cdots \end{equation}$$

$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow (L_1 F)(X) \xrightarrow{c_0} (L_0 F)(Z) \xrightarrow{(L_0 F)g} (L_0 F)(Y) \xrightarrow{(L_0 F)f} (L_0 F)(X) \longrightarrow 0 \end{equation}$$

(LD4) 连接态射 $c_n : (L_{n+1}F)(X) \longrightarrow (L_n F)(Z)$ 是自然的.

(LD1) 如果 $F$ 右正合, 则 $$\begin{equation} ⋯→ FI_1 \xrightarrow{Fd^0} FI_0 \xrightarrow{F\varepsilon} FM → 0 \end{equation}$$ 是正合列, 因此 $$\begin{equation} (L_0 F)M = \mathrm{Ker}(F\varepsilon) / \mathrm{Im}(Fd^0) \cong FM. \end{equation}$$ 并且这个同构对于 $M$ 是函子的, 即 $L_0 F \cong F$.

(LD2) 因为 $M$ 是内射对象, 于是可以取内射分解使得 $I^0=M, \varepsilon=\mathrm{Id}_M, I^i=0, ∀ i≥1$. 于是根据定义即得.

(LD3) 设 $0→X→I_X$ 和 $0→Z→I_Z$ 分别是 $X$ 和 $Z$ 的内射分解. 由内射分解的马蹄引理, 存在 $Y$ 的内射分解 $0→Y→I_Y$, 并且有 $\mathcal{A}$ 上链复形的链可裂短正合列(未必是复形范畴上的可裂短正合列) $0→I_X→I_Y→I_Z→0$. 由于 $F$ 是反变加法函子, 有 $\mathcal{B}$ 上链复形的链可裂短正合列 $0→FI_Z→FI_Y→FI_X→0$. 由同调代数基本定理就得到所要的长正合列.

(LD4) 给定 $\mathcal{A}$ 中的短正合列的交换图

我们断言有复形短正合列的交换图

这个直接在态射范畴里面看就行. 有了这个交换图之后, 我们作用 $F$, 就可以得到复形短正合列的交换图

这样长正合列中连接态射的自然性就由同调代数基本定理中的连接态射的自然性保证.

[维数移位] 设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, 且 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象. 设 $F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是反变加法函子, $M$ 是 $\mathcal{A}$ 中对象. 设

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \xrightarrow{d^0} I^1 \longrightarrow \cdots \xrightarrow{d^{n-1}} I^n \xrightarrow{d^n} I^{n+1} \longrightarrow \cdots \end{equation}$$

是 $M$ 的一个内射分解. 令 $K_m := \operatorname{Im} d^m , \quad m \ge 0$. 则有

$$\begin{equation} (L_n F)M = (L_{n-1} F)K_0 , \forall n \ge 2 ;\quad (L_n F)M = (L_{n-m-1} F)K_m , \forall n \ge m + 2. \end{equation}$$

直接注意到 $0→ K_0↪I^1→ ⋯→I^m→ \xrightarrow{d^m} I^{m+1}\to\cdots$ 是 $K_0$ 的内射分解. 由左导出函子的定义即知 $(L_nF)M=(L_{n-1}F)K_0, ∀ n≥2$. 反复应用此式即可得出 $(L_n F)M = (L_{n-m-1} F)K_m , \forall n \ge m + 2$.

右正合反变函子的左导出函子由 (LD1)–(LD4) 这四条性质在自然同构的意义下唯一确定. 具体地说, 设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, 且 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象. 设 $F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是右正合反变函子. 如果有一列反变函子 $F_n : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B} , \quad n \ge 0$ 也满足 (LD1)–(LD4) 这四条性质(特别地, 由于 $F$ 右正合, 有 $F_0 \cong F$), 则 $F_n \cong L_n F , \quad \forall n \ge 0$.

对 $n$ 运用数学归纳法. 当 $n=0$ 时, 由 (LD1) 可知 $F_0 \cong F \cong L_0 F$.

设 $f:N→M$ 是 $\mathcal{A}$ 中态射. 考虑如下两行均正合的态射图, 其中 $I^0, J^0$ 均为内射对象(取为内射对象是为了用到 (LD2), 从而使得得到的长正合列后面每三项有一个 $0$, 从而得到一堆同构):

从而存在态射 $g,h$ 使得上图交换. 由 (LD1)–(LD4) 得到如下行正合的态射图:

由于 $(Fc)\delta_0=0$ 以及 $F_1M$ 是 $Fc$ 的 kernel, 知存在态射 $\eta_M$ 使得前两行交换. 由五引理知 $\eta_M$ 是同构. 同理, 存在同构 $\eta_N$ 使得上图后两行交换. 下面证明最左边的平行四边形交换, 即 $(F_1f)\eta_M=\eta_N(L_1F)f$. 事实上, $$\begin{equation} \partial'_0(\eta_N(L_1F)f - (F_1f)\eta_M) = (Fh)\delta_0\eta_M - \delta'_0(Fg)\eta_M = (Fh)(Fc) - (Fd^0)(Fg) = 0, \end{equation}$$ 由于 $\partial'_0$ 是单态射, 故 $\eta_N(L_1F)f = (F_1f)\eta_M$. 这就证明了 $F_1≅ L_1F$.

当 $n≥2$, 由 (LD3) 得到 $F_n M≅ F_{n-1} C^0$; 由 $L_nF$ 的维数移位得到 $(L_nF)M ≅ (L_{n-1}F)C^0$. 由归纳假设 $F_{n-1}≅ L_{n-1}F$, 故 $F_n M≅ (L_nF)M$. 每一步都是自然的, 从而得到 $F_n≅ L_nF$.

《基础代数学》作业 Week13-2

2025-12-10T00:00:00+08:00

设 $m$ 是正整数. 写出 $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}_m$ 的一个投射分解.

注意到 $\mathbb{Z}$ 是自由模从而是投射模, 我们有如下投射分解:

设 $D$ 是主理想整环, $M$ 是有限生成 $D$-模. 写出 $M$ 的一个投射分解.

主理想整环上的投射模都是自由模, 于是就有如下交换图给出的投射分解:

(使用的每一个(自由)投射模都是有限生成的(有限秩), 关键在于主理想整环上的有限生成模的子模也是有限生成模.)

写出 $\mathbb{Z}_4$-模 $\mathbb{Z}_2$ 的一个投射分解.

注意到 $\mathbb{Z}_4$-模 $\mathbb{Z}_4$ 是投射模, 我们有如下投射分解:

证明内射分解的比较定理.

先陈述要证明的内容: 设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴. 给定态射 $f:M→N$, 以及 $N$ 的内射分解 $0→N→J$ 以及正合列 $0→M→I$, 则有链复形 $I$ 和 $J$ 之间的链映射 $\alpha$ 使得下面的交换图交换:

并且这样的链映射 $\alpha$ 在同伦意义下是唯一的.

首先证明这样链映射的存在性.

由于 $i$ 是单态射, 由 $J_0$ 是内射对象, 存在态射 $\alpha_0 : I_0 → J_0$ 使得 $\alpha_0 i = i' f$.

现在假设我们已经有了态射 $\{\alpha_k : I_k → J_k\}_{k=0}^n$ 使得对任意的 $0≤ k ≤ n$ 有 $d'^{k-1} \alpha_{k-1} = \alpha_{k} d^{k-1}$ ($\alpha_{-1}$ 代表 $f$, $d^{-1}$ 和 $d'^{-1}$ 分别代表 $i$ 和 $i'$).

如上图考虑 $d^n$ 的满单分解, 注意到 $\widetilde{d^n}$ 是 $d^{n-1}$ 的 cokernel, 以及 $d'^n\alpha_n d^{n-1} = d'^n d'^{n-1}\alpha_{n-1}=0$, 因此存在态射 $t_n : \operatorname{Im} d^n \to J_{n+1}$ 使得 $t_n \widetilde{d^n} = d'^n \alpha_n$. 由于 $J_{n+1}$ 是内射对象, 存在态射 $\alpha_{n+1} : I_{n+1} \to J_{n+1}$ 使得 $\alpha_{n+1} \sigma_n = t_n$. 于是有 $$\begin{equation} \alpha_{n+1} d^n = \alpha_{n+1} \sigma_n \widetilde{d^n} = t_n \widetilde{d^n} = d'^n \alpha_n. \end{equation}$$

由数学归纳法, 我们就得到了链映射 $\alpha : I \to J$.

下面证明这样的链映射在同伦意义下是唯一的.

假设还有链映射 $\beta : I \to J$ 也使得最开始的交换图交换.

首先, 由于 $(\alpha_0 - \beta_0) i = i' f - i' f = 0$, 以及 $i'$ 是 $\widetilde{d^0}$ 的 kernel, 存在态射 $h_0 : \operatorname{Im} d^0 \to J_0$ 使得 $h_0 \widetilde{d^0} = \alpha_0 - \beta_0$. 由于 $\sigma_0$ 是单态射以及 $J_0$ 是内射对象, 存在态射 $s_0 : I_1 \to J_0$ 使得 $s_0 \sigma_0 = h_0$. 于是有 $$\begin{equation} (\alpha_0 - \beta_0) = h_0 \widetilde{d^0} = s_0 \sigma_0 \widetilde{d^0} = s_0 d^0. \end{equation}$$ 这实际上给出了 $\alpha\overset{s}{\sim}\beta$ 的第一步.

假设已经有 $\{s_k: I_{k+1}→ J_k\}_{k=0}^{n}$ 使得对任意的 $0≤ k ≤ n$ 有 $\alpha_k - \beta_k = s_k d^k + d'^{k-1} s_{k-1}$ (其中 $s_{-1}$ 代表零态射). 于是有 $$\begin{equation} (\alpha_{n+1}-\beta_{n+1}) d^n = d'^{n} (\alpha_n - \beta_n) = d'^{n} (s_n d^n + d'^{n-1} s_{n-1}) = d'^{n} s_n d^n, \end{equation}$$ 从而有 $$\begin{equation} (\alpha_{n+1}-\beta_{n+1}-d'^ns_n) d^n = 0. \end{equation}$$

由于 $\widetilde{d^{n+1}}$ 是 $d^n$ 的 cokernel, 以及 $(\alpha_{n+1}-\beta_{n+1}-d'^ns_n) d^n = 0$, 存在态射 $h_{n+1} : \operatorname{Im} d^{n+1} \to J_{n+1}$ 使得 $h_{n+1} \widetilde{d^{n+1}} = \alpha_{n+1}-\beta_{n+1}-d'^ns_n$. 由于 $\sigma_{n+1}$ 是单态射以及 $J_{n+1}$ 是内射对象, 存在态射 $s_{n+1} : I_{n+2} \to J_{n+1}$ 使得 $s_{n+1} \sigma_{n+1} = h_{n+1}$. 于是有 $$\begin{equation} \alpha_{n+1}-\beta_{n+1} = h_{n+1} \widetilde{d^{n+1}} + d'^n s_n = s_{n+1} \sigma_{n+1} \widetilde{d^{n+1}} + d'^n s_n = s_{n+1} d^{n+1} + d'^n s_n. \end{equation}$$

由数学归纳法, 我们就得到了 $\alpha\overset{s}{\sim}\beta$.

证明内射分解的唯一性.

对于有足够多内射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 中的任意对象 $M$, 其内射分解在同伦意义下是唯一的: 若 $0 \to M \xrightarrow{i} I$ 和 $0 \to M \xrightarrow{i'} I'$ 是 $M$ 的两个内射分解, 则存在链映射 $\alpha : I \to I'$ 以及 $\beta : I' \to I$ 使得 $\alpha i = i'$ 以及 $\beta i' = i$. 这样 $\alpha\beta$ 给出了内射分解 $I'$ 到其自身的一个链映射, 并且满足 $\alpha\beta i' = i'$. 同时, 恒等映射 $\mathrm{Id}_{I'}$ 也是内射分解 $I'$ 到其自身的一个链映射, 并且满足 $\mathrm{Id}_{I'} i' = i'$. 由内射分解的比较定理, 我们有 $\alpha\beta \overset{s}{\sim} \mathrm{Id}_{I'}$. 同理可得 $\beta\alpha \overset{t}{\sim} \mathrm{Id}_{I}$. 因此任意两个内射分解之间有同伦等价, 因此内射分解在同伦意义下是唯一的.

证明内射分解的马蹄引理.

给定有足够多内射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 中的正合列 $0 \rightarrow X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \rightarrow 0$,以及内射分解 $0→X\xrightarrow{i'}I'$ 和 $0→Z\xrightarrow{i''}I''$, 下面来证明有内射分解 $0→Y\xrightarrow{i}I$ 使得 $I^n=I'^n⊕I''^n$.

注意到 $f$ 是单态射, 由 $I'^0$ 是内射对象, 存在态射 $h : Y → I'^0$ 使得 $h f = i'$. 定义态射 $i : Y → I'^0 ⊕ I''^0$ 为 $i=\begin{pmatrix}h\\i'' g \end{pmatrix}$, 容易验证我们就得到了如上两行正合列的交换图. 由于 $i'$ 和 $i''$ 都是单态射, 由蛇引理 (或者五引理) 可知 $i$ 也是单态射. 并且进一步由蛇引理有如下正合列的交换图:

这样就只要重复上面的步骤就完成了证明.

《基础代数学》作业 Week13-1

2025-12-07T00:00:00+08:00

设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴. 同伦关系是 $C(\mathcal{A})$ 中的一个等价关系, 并验证

$$\begin{equation} f \sim g \Longrightarrow fh \sim gh, \quad \forall h \text{(如果可以合成)} \end{equation}$$

$$\begin{equation} f \sim g \Longrightarrow kf \sim kg, \quad \forall k \text{(如果可以合成)} \end{equation}$$

自反性和交换性由定义是直接的. 对于传递性, 若 $f∼g, g∼h$, 那么就有 $f-g∼0, g-h∼0$, 于是由加法范畴显然可得 $f-h∼0$, 也即是 $f∼h$.

对于第一个蕴含式, 设 $f∼g$, 则存在态射系 $s^n : X^n → Y^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $f^n - g^n = d_Y^{n-1} s^n + s^{n+1} d_X^n$. 对任意的 $m$ 有 $$\begin{equation} (fh)^m - (gh)^m = (f^m - g^m) h^m = d_Y^{m-1} s^m h^m + s^{m+1} d_X^m h^m = d_Y^{m-1} (s^m h^m) + (s^{m+1} h^{m+1}) d_Z^m, \end{equation}$$ 于是 $fh ∼ gh$ (这里设 $h$ 是从上链复形 $Z$ 到 $X$ 的链映射). 另一个同理.

两个复形通常的直和仍是这两个复形在同伦范畴中的直和.

对于任意一族链复形映射 $\{\varphi_i: X_i→ Y \}_{i∈ I}$, 存在唯一的态射 $\varphi:\bigoplus_{i∈I}X_i→ Y$ 使得对任意的 $i∈ I$ 有 $\varphi e_i = \varphi_i$, 其中 $e_i:X_i→\oplus_{i∈I}X_i$ 是嵌入结构态射.

考虑满函子 $$\begin{equation} [\bullet] : C(\mathcal{A}) → K(\mathcal{A}), \quad X \mapsto X, \quad f \mapsto [f]:=\{ g ∣ g∼ f \}. \end{equation}$$

于是任取 $K(\mathcal{A})$ 里面的一族链复形态射 $\{ [\varphi_i]: [X_i] → [Y] \}_{i∈ I}$, 由满性可知存在 $\varphi_i: X_i → Y$ 使得 $[\varphi_i]$ 是其同伦类. 由上面的性质可知存在唯一的态射 $\varphi:\bigoplus_{i∈I}X_i→ Y$ 使得对任意的 $i∈ I$ 有 $\varphi e_i = \varphi_i$. 于是有 $$\begin{equation} [\varphi] [e_i] = [\varphi e_i] = [\varphi_i], \quad ∀ i∈ I. \end{equation}$$

下面只要证明 $[\varphi]$ 的唯一性: 若存在 $\psi:\bigoplus_{i∈I}X_i→ Y$ 使得对任意的 $i∈ I$ 有 $[\psi] [e_i] = [\varphi_i]$, 则有 $[(ψ - φ) e_i] = 0]$, 从而 $(ψ - φ) e_i ∼ 0$. 由同伦定义知, 存在态射系 $s_i^n : X_i^n → Y^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $$\begin{equation} (ψ^n-φ^n)e_i^n=((ψ - φ) e_i)^n = d_Y^{n-1} s_i^n + s_i^{n+1} d_{X_i}^n. \end{equation}$$ 考虑态射系 $s^n : (\bigoplus_{i∈I}X_i)^n → Y^{n-1}$ 定义为 $s^n|_{X_i^n} = s_i^n$. 则对任意的 $n$ 有 $$\begin{equation} (ψ^n-φ^n) = d_Y^{n-1} s^n + s^{n+1} d_{\bigoplus_{i∈I}X_i}^n. \end{equation}$$ 于是 $ψ ∼ φ$, 也即是 $[ψ] = [φ]$. 综上所述, 直和在同伦范畴中也是直和.

设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 则

$$\begin{equation} H^n : K(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A} \end{equation}$$

是共变加法函子.

显然是共变函子(同伦的链映射诱导出相同的同调群态射). 只要证明 $H^n$ 保持加法结构即可. 设 $[f], [g] : X \to Y$ 是 $K(\mathcal{A})$ 中的两个态射. 则有 $$\begin{equation} H^n([f] + [g]) = H^n([f + g]) = H^n(f + g) = H^n(f) + H^n(g) = H^n([f]) + H^n([g]). \end{equation}$$

若链映射 $\alpha$ 与 $\beta$ 同伦, 则在同伦范畴中有

$$\begin{equation} \operatorname{Cone}(\alpha) \cong \operatorname{Cone}(\beta) \end{equation}$$

设 $\alpha, \beta : X \to Y$ 是同伦的链映射. 则存在态射系 $s^n : X^n \to Y^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $$\begin{equation} \alpha^n - \beta^n = d_Y^{n-1} s^n + s^{n+1} d_X^n. \end{equation}$$ 定义态射系 $h^n : \operatorname{Cone}(\alpha)^n \to \operatorname{Cone}(\beta)^n$ 如下: $$\begin{equation} h^n = \begin{pmatrix} \operatorname{Id}_{X^{n+1}} & 0 \\ s^{n+1} & \operatorname{Id}_{Y^n} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ 则 $h = \{ h^n \}$ 是链映射(直接验证即可). 类似地, 定义态射系 $k^n : \operatorname{Cone}(\beta)^n \to \operatorname{Cone}(\alpha)^n$ 如下: $$\begin{equation} k^n = \begin{pmatrix} \operatorname{Id}_{X^{n+1}} & 0 \\ - s^{n+1} & \operatorname{Id}_{Y^n} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ 则 $k = \{ k^n \}$ 也是链映射. 显然有 $kh = \operatorname{Id}_{\operatorname{Cone}(\alpha)}$ 且 $hk = \operatorname{Id}_{\operatorname{Cone}(\beta)}$. 于是在同伦范畴中有 $\operatorname{Cone}(\alpha) \cong \operatorname{Cone}(\beta)$.

Remark. 按照我的证明, 似乎这个同构在链复形范畴里面也成立? 这个让我十分奇怪.

设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴, $(C,d)$ 是 $\mathcal{A}$ 上的复形. 称 $(C,d)$ 为可裂复形, 如果存在 $\mathcal{A}$ 中态射

$$\begin{equation} s^{n+1} : C^{n+1} \longrightarrow C^n, \quad \forall n \in \mathbb{Z} \end{equation}$$

使得对每个 $n$ 有

$$\begin{equation} d^n s^{n+1} d^n = d^n. \end{equation}$$

举例说明可裂复形未必是无环复形. 验证 Abel 群的复形

$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \cdots \end{equation}$$

是无环复形, 但不是可裂复形.

考虑复形 $$\begin{equation} ⋯→\mathbb{C}^2\xrightarrow{P_1}\mathbb{C}^2\xrightarrow{P_2}\mathbb{C}^2\xrightarrow{P_1}\mathbb{C}^2→⋯, \end{equation}$$ 令 $s^n=\mathrm{Id}_{\mathbb{C}^2}, ∀ n$, 则这个复形是可裂复形. 但显然它不是无环复形, 因为 $H^n(C) \cong \mathbb{C}^2 / \mathrm{Im} P_i \cong \mathbb{C} \neq 0$ 对任意的 $n$ 成立.

显然复形 $$\begin{equation} \cdots \longrightarrow \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \cdots \end{equation}$$ 是无环复形. 下面证明它不是可裂复形. 假设存在态射系 $s^{n+1} : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$ 使得对每个 $n$ 有 $2 s^{n+1} (2) = 2$. 则 $2=4s^{n+1}(1)=0$, 矛盾.

设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 证明无环的可裂复形恰是 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象.

首先证明 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象是无环的可裂复形. 设 $(C,d)$ 是 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象, 即 $\mathrm{Id}_C$ 是零伦的, 即存在态射系 $s^n : C^n \to C^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $\mathrm{Id}_{C^n} = d^{n-1} s^n + s^{n+1} d^n$, 于是 $d^n = d^n s^{n+1}d^n$, 故 $(C,d)$ 是可裂复形. 另外, 由于 $Id_C$ 与零态射同伦, 它与零态射也诱导出相同的同调群态射, 即 $\mathrm{Id}_{H^n(C)} = 0$, 故 $H^n(C) = 0$ 对任意的 $n$ 成立, 也即是 $(C,d)$ 是无环复形.

下面证明无环的可裂复形是 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象. 设 $(C,d)$ 是无环的可裂复形, 只要证明它到其他复形以及其他复形到它的态射都是零伦的即可, 这只需要证明 $\mathrm{Id}_C$ 是零伦的. 由可裂性, 存在态射系 $s^{n+1} : C^{n+1} \to C^n$ 使得对每个 $n$ 有 $d^n s^{n+1} d^n = d^n$. 由于 $(C,d)$ 是无环复形, 故有 $\mathrm{Im} d^{n-1} = \mathrm{Ker} d^n$.

先证明 $K(\mathcal A)$ 中的零对象是无环的可裂复形. 设 $(C,d)$ 是 $K(\mathcal A)$ 中的零对象，即 $\mathrm{Id}_C$ 为零伦. 因此存在态射系 $s^n : C^n \to C^{n-1}$ 使得对任意 $n$ 有 $$ \mathrm{Id}_{C^n}=d^{n-1}s^n+s^{n+1}d^n. $$ 两侧同时右乘 $d^n$ 得 $$ d^n=d^n s^{n+1} d^n, $$ 故 $(C,d)$ 为可裂复形. 另一方面，由于 $\mathrm{Id}_C$ 与零态射同伦，它们作用在同调群上相同，即 $$ \mathrm{Id}_{H^n(C)}=0, $$ 从而 $H^n(C)=0$ 对任意 $n$ 成立，即 $(C,d)$ 为无环复形. 因此，$K(\mathcal A)$ 中的零对象必为无环的可裂复形.

现在证明无环的可裂复形为 $K(\mathcal A)$ 中的零对象. 设 $(C,d)$ 为无环的可裂复形. 只需证明 $\mathrm{Id}_C$ 为零伦. 由可裂性，存在态射系 $s^{n+1}:C^{n+1}\to C^n$ 使得 $d^n s^{n+1} d^n = d^n$. 定义 $$ \varphi^n := s^{n+1} d^n : C^n \to C^n. $$ 则有 $\varphi^n$ 是幂等的. 不妨设 $\mathrm{Im}\varphi^n\xrightarrow{m_{\varphi^n}}X_n\xrightarrow{\widetilde{\varphi^n}}\mathrm{Im}\varphi^n$ 是恒等态射, 即有下面的交换图

从而有可裂短正合列 $$\begin{equation} 0 \longrightarrow \mathrm{Ker} \varphi^n \xrightarrow{m_{\varphi^n}'} C^n \xrightarrow{\widetilde{\varphi^n}} \mathrm{Im} \varphi^n \longrightarrow 0, \end{equation}$$ 其中 $m_{\varphi^n}'$ 是 $\mathrm{Ker} \varphi^n$ 的嵌入结构态射. 注意到 $$\begin{equation} \mathrm{Ker} d^n⊆ \mathrm{Ker} \varphi^n ⊆ \mathrm{Ker} (d^n\varphi^n) = \mathrm{Ker} d^n, \end{equation}$$ 因此 $\mathrm{Ker} \varphi^n = \mathrm{Ker} d^n$. 从而有 $$\begin{equation} C^n \cong \mathrm{Ker} d^n \oplus \mathrm{Im} \varphi^n = \mathrm{Ker} d^n \oplus \mathrm{Im} d^{n-1}. \end{equation}$$

于是复形 $X$ 可以写成如下直和 $$\begin{equation} \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \left[ \cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow \operatorname{im}(\varphi^n) \xrightarrow{\,d^n\,} \ker(d^{n+1}) \longrightarrow 0 \longrightarrow \cdots \right]. \end{equation}$$

注意到每个直和分支都是零伦的, 因为

从而 $X$ 是零对象.

《基础代数学》作业 Week12-2

2025-12-03T00:00:00+08:00

设有 $k$-代数 $A$ 的模范畴上复形短正合列

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \longrightarrow 0 \end{equation}$$

若 $Y$ 是无环复形, 且 $H^{100}(X) = k$ 求 $H^{99}(Z)$.

由同调代数基本定理, 有长正合列 $$\begin{equation} \cdots \longrightarrow H^{99}(Y) \longrightarrow H^{99}(Z) \longrightarrow H^{100}(X) \longrightarrow H^{100}(Y) \longrightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于 $Y$ 是无环复形, 故 $H^{99}(Y) = H^{100}(Y) = 0$. 由此可知 $H^{99}(Z) \cong H^{100}(X) \cong k$.

设 $f : X \to Y$ 是链映射. 如果 $\ker f$ 和 $\operatorname{Coker} f$ 均为无环复形, 则 $f$ 是拟同构.

有上链复形的短正合列 $0→\mathrm{Ker}f →X→\mathrm{Im}f→ 0$ 和 $0→\mathrm{Im}f →Y→\mathrm{Coker}f→ 0$. 由同调代数基本定理, 以及 $\mathrm{Ker}f$ 和 $\mathrm{Coker}f$ 均为无环复形, 可知 $H^n(X) \cong H^n(\mathrm{Im}f) \cong H^n(Y)$ 对任意的 $n$ 成立(两个同构由 $f$ 满单分解的两个态射作用上同调函子之后得到). 因此 $f$ 是拟同构(要用一下 $\mathrm{H}^n$ 是函子).

设在一个 Abel 范畴中有如下三个短正合行构成的交换图:

证明:

(1) 如果中间的列正合, 则右端的列为正合当且仅当左端的列为正合.

(2) 如果两端的列都正合, 而且复合态射 $B' \to B''$ 是零态射, 则中间的列也正合.

(1) 由中间的列正合 (从而复合态射 $B'→ B''$ 是零态射) 和交换图可知, $B'→ C'→C''$ 是零态射, 而 $B'→C'$ 是满态射 (由第一行正合), 所以复合态射 $C'→C''$ 是零态射. 同理可证复合态射 $A'→A''$ 是零态射.

于是, 可以看作上链复形的短正合列 $0→A_*→B_*→C_*→0$, 其中 $A_*, B_*, C_*$ 分别是左、中、右端的列构成的复形. 注意到, 正合性等价于复形是无环复形.

由同调代数基本定理可知 (其实是课本给出的推论), 若中间的列正合 ($B_*$ 是无环复形), 则左端的列为无环复形当且仅当右端的列为无环复形.

(2) 同理, 可看作上链复形的短正合列 $0→A_*→B_*→C_*→0$. 由同调代数基本定理可知, 若两端的列都正合 ($A_*, C_*$ 均为无环复形), 则中间的列也为正合列 ($B_*$ 也是无环复形).

《基础代数学》第三章习题

2025-12-02T00:00:00+08:00

3.1 复形范畴

上同调函子 $̋\mathrm{H}^n:C(\mathcal{A})→\mathcal{A}$ 保持余积, 即 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\prod_{\alpha} X_{\alpha}^\bullet) \cong \prod_{\alpha} \mathrm{H}^n(X_{\alpha}^\bullet). \end{equation}$$

上同调函子 $̋\mathrm{H}^n:C(\mathcal{A})→\mathcal{A}$ 和正合函子可交换.

习题 3.1

设 $f : X \to Y$ 是链映射. 则有复形的正合列

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \ker f \longrightarrow X \longrightarrow \operatorname{Im} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \operatorname{Im} f \longrightarrow Y \longrightarrow \operatorname{Coker} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$

和

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \ker f \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow \operatorname{Coker} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$

上述都是显然的, 因为我们已经证明了在复形范畴中取 kernel 和 cokernel 是逐分支进行的.

设 $M$ 是 $R$-模. 对每个 $n \in \mathbb{Z}$, 定义 $C^n = M$. 求复形

$$\begin{equation} C^\bullet := (C^n, 0) \end{equation}$$

的各次上同调群 $H^n(C^\bullet)$.

对于任意的 $n$, 由于微分全为零, 故有 $H^n(C^\bullet) = \ker 0 / \mathrm{Im} 0 \cong M$.

给定 $R$-模短正合列

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M' \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} M'' \longrightarrow 0 \end{equation}$$

将其视为 $M$ 是零次分支的复形, 求这个复形的各次上同调群.

由于是正合列, 于是所有上同调群都是 $0$.

设 $\delta$ 是模 $M$ 的一个微分, 即 $\delta$ 是 $M$ 的自同态且满足 $\delta^2 = 0$. 求复形

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M \xrightarrow{\delta} M \longrightarrow 0 \end{equation}$$

的各次上同调群.

不妨记第一个 $0$ 是第 0 次分支. 于是有 $H^1 \cong \mathrm{Ker} \delta$ 且 $H^2 \cong \mathrm{Coker} \delta$. 其他次上同调群均为零.

设 $u : (C^\bullet, d) \longrightarrow (C'^\bullet, d')$ 是链映射. 定义 $u$ 的映射锥 $\operatorname{Cone}(u)$ 如下复形:

其第 $n$ 次分支为

$$\begin{equation} \operatorname{Cone}(u)^n = C^{n+1} \oplus C'^n, \quad \forall n \in \mathbb{Z} \end{equation}$$

第 $n$ 次微分为

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} - d^{n+1} & 0 \\ u^{n+1} & d'^n \end{pmatrix} : C^{n+1} \oplus C'^n \longrightarrow C^{n+2} \oplus C'^{n+1} \end{equation}$$

验证 $\operatorname{Cone}(u)$ 确是复形.

只要验证微分的平方为零即可. 对任意的 $(x,y) \in C^{n+1} \oplus C'^n$, 有 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} - d^{n+2} & 0 \\ u^{n+2} & d'^{n+1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - d^{n+1} & 0 \\ u^{n+1} & d'^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d^{n+2} d^{n+1} & 0 \\ - u^{n+2} d^{n+1} + d'^{n+1} u^{n+1} & d'^{n+1} d'^n \end{pmatrix}=0. \end{equation}$$

其中左上和右下是 0 因为 $d$ 和 $d'$ 是复形的微分, 右上是 0 是显然的, 左下是 0 是因为 $u$ 是链映射.

设 $(C,d)$ 是 $k$-模上的有界复形, 其中 $k$ 是域. 令

$$\begin{equation} r_i = \dim_k C^i, \qquad \rho_i = \dim_k H^i(C) \end{equation}$$

证明

$$\begin{equation} \sum (-1)^i r_i = \sum (-1)^i \rho_i \end{equation}$$

由于 $\mathrm{Im}d^i≅C^i / \mathrm{Ker}d^i$, 以及 $H^i=\mathrm{Ker}d^i / \mathrm{Im}d^{i-1}$, 我们有 $$\begin{equation} r_i = \dim_k \mathrm{Im} d^i + \dim_k \mathrm{Ker} d^i = \dim_k \mathrm{Im} d^i + \dim_k H^i + \dim_k \mathrm{Im} d^{i-1}, \end{equation}$$ 从而 (这个求和依赖于有界性, 都是有限求和) $$\begin{equation} \sum (-1)^i r_i = \sum (-1)^i \rho_i + \sum (-1)^i \dim_k \mathrm{Im} d^i + \sum (-1)^i \dim_k \mathrm{Im} d^{i-1} = \sum (-1)^i \rho_i. \end{equation}$$

3.2 同调代数基本定理

习题 3.2

设有 $k$-代数 $A$ 的模范畴上复形短正合列

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \longrightarrow 0 \end{equation}$$

若 $Y$ 是无环复形, 且 $H^{100}(X) = k$ 求 $H^{99}(Z)$.

设 $f : X \to Y$ 是链映射. 如果 $\ker f$ 和 $\operatorname{Coker} f$ 均为无环复形, 则 $f$ 是拟同构.

设在一个 Abel 范畴中有如下三个短正合行构成的交换图:

证明:

(1) 如果中间的列正合, 则右端的列为正合当且仅当左端的列为正合.

(2) 如果两端的列都正合, 而且复合态射 $B' \to B''$ 是零态射, 则中间的列也正合.

于是, 可以看作上链复形的短正合列 $0→A_*→B_*→C_*→0$, 其中 $A_*, B_*, C_*$ 分别是左、中、右端的列构成的复形. 注意到, 正合性等价于复形是无环复形.

由同调代数基本定理可知 (其实是课本给出的推论), 若中间的列正合 ($B_*$ 是无环复形), 则左端的列为无环复形当且仅当右端的列为无环复形.

3.3 同伦范畴

习题 3.3

设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴. 同伦关系是 $C(\mathcal{A})$ 中的一个等价关系, 并验证

$$\begin{equation} f \sim g \Longrightarrow fh \sim gh, \quad \forall h \text{(如果可以合成)} \end{equation}$$

$$\begin{equation} f \sim g \Longrightarrow kf \sim kg, \quad \forall k \text{(如果可以合成)} \end{equation}$$

自反性和交换性由定义是直接的. 对于传递性, 若 $f∼g, g∼h$, 那么就有 $f-g∼0, g-h∼0$, 于是由加法范畴显然可得 $f-h∼0$, 也即是 $f∼h$.

两个复形通常的直和仍是这两个复形在同伦范畴中的直和.

考虑满函子 $$\begin{equation} [\bullet] : C(\mathcal{A}) → K(\mathcal{A}), \quad X \mapsto X, \quad f \mapsto [f]:=\{ g ∣ g∼ f \}. \end{equation}$$

设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 则

$$\begin{equation} H^n : K(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{A} \end{equation}$$

是共变加法函子.

若链映射 $\alpha$ 与 $\beta$ 同伦, 则在同伦范畴中有

$$\begin{equation} \operatorname{Cone}(\alpha) \cong \operatorname{Cone}(\beta) \end{equation}$$

Remark. 按照我的证明, 似乎这个同构在链复形范畴里面也成立? 这个让我十分奇怪.

设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴, $(C,d)$ 是 $\mathcal{A}$ 上的复形. 称 $(C,d)$ 为可裂复形, 如果存在 $\mathcal{A}$ 中态射

$$\begin{equation} s^{n+1} : C^{n+1} \longrightarrow C^n, \quad \forall n \in \mathbb{Z} \end{equation}$$

使得对每个 $n$ 有

$$\begin{equation} d^n s^{n+1} d^n = d^n. \end{equation}$$

举例说明可裂复形未必是无环复形. 验证 Abel 群的复形

$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \cdots \end{equation}$$

是无环复形, 但不是可裂复形.

设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 证明无环的可裂复形恰是 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象.

注意到每个直和分支都是零伦的, 因为

从而 $X$ 是零对象.

3.4 投射分解和内射分解

习题 3.4

设 $m$ 是正整数. 写出 $\mathbb{Z}$-模 $\mathbb{Z}_m$ 的一个投射分解.

注意到 $\mathbb{Z}$ 是自由模从而是投射模, 我们有如下投射分解:

设 $D$ 是主理想整环, $M$ 是有限生成 $D$-模. 写出 $M$ 的一个投射分解.

主理想整环上的投射模都是自由模, 于是就有如下交换图给出的投射分解:

(使用的每一个(自由)投射模都是有限生成的(有限秩), 关键在于主理想整环上的有限生成模的子模也是有限生成模.)

写出 $\mathbb{Z}_4$-模 $\mathbb{Z}_2$ 的一个投射分解.

注意到 $\mathbb{Z}_4$-模 $\mathbb{Z}_4$ 是投射模, 我们有如下投射分解:

证明内射分解的比较定理.

并且这样的链映射 $\alpha$ 在同伦意义下是唯一的.

首先证明这样链映射的存在性.

由于 $i$ 是单态射, 由 $J_0$ 是内射对象, 存在态射 $\alpha_0 : I_0 → J_0$ 使得 $\alpha_0 i = i' f$.

由数学归纳法, 我们就得到了链映射 $\alpha : I \to J$.

下面证明这样的链映射在同伦意义下是唯一的.

假设还有链映射 $\beta : I \to J$ 也使得最开始的交换图交换.

由数学归纳法, 我们就得到了 $\alpha\overset{s}{\sim}\beta$.

证明内射分解的唯一性.

证明内射分解的马蹄引理.

这样就只要重复上面的步骤就完成了证明.

3.5 导出函子

习题 3.5

(LD1) 如果 $F$ 右正合, 则 $L_0 F \cong F$.

(LD2) 如果 $M$ 是内射对象, 则 $(L_n F)(M) = 0, \quad \forall n \ge 1$.

(LD3) 设

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \longrightarrow 0 \end{equation}$$

是 $\mathcal{A}$ 中的正合列. 则在 $\mathcal{B}$ 中存在长正合列

$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow (L_{n+1}F)(X) \xrightarrow{c_n} (L_n F)(Z) \xrightarrow{(L_n F)g} (L_n F)(Y) \xrightarrow{(L_n F)f} (L_n F)(X) \longrightarrow \cdots \end{equation}$$

$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow (L_1 F)(X) \xrightarrow{c_0} (L_0 F)(Z) \xrightarrow{(L_0 F)g} (L_0 F)(Y) \xrightarrow{(L_0 F)f} (L_0 F)(X) \longrightarrow 0 \end{equation}$$

(LD4) 连接态射 $c_n : (L_{n+1}F)(X) \longrightarrow (L_n F)(Z)$ 是自然的.

(LD2) 因为 $M$ 是内射对象, 于是可以取内射分解使得 $I^0=M, \varepsilon=\mathrm{Id}_M, I^i=0, ∀ i≥1$. 于是根据定义即得.

(LD4) 给定 $\mathcal{A}$ 中的短正合列的交换图

我们断言有复形短正合列的交换图

这个直接在态射范畴里面看就行. 有了这个交换图之后, 我们作用 $F$, 就可以得到复形短正合列的交换图

这样长正合列中连接态射的自然性就由同调代数基本定理中的连接态射的自然性保证.

是 $M$ 的一个内射分解. 令 $K_m := \operatorname{Im} d^m , \quad m \ge 0$. 则有

$$\begin{equation} (L_n F)M = (L_{n-1} F)K_0 , \forall n \ge 2 ;\quad (L_n F)M = (L_{n-m-1} F)K_m , \forall n \ge m + 2. \end{equation}$$

对 $n$ 运用数学归纳法. 当 $n=0$ 时, 由 (LD1) 可知 $F_0 \cong F \cong L_0 F$.

从而存在态射 $g,h$ 使得上图交换. 由 (LD1)–(LD4) 得到如下行正合的态射图:

3.6 $\mathrm{Ext}^n$ 函子

习题 3.6

计算 $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^n(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z})$, 其中 $m \ge 1$, $n \ge 0$.

设 $A := k[x]/\langle x^s \rangle$ $(r \ge 2)$, $M := k[x]/\langle x^r \rangle$, $N := k[x]/\langle x^t \rangle$, 其中 $1 \le r,t \le s$. 计算 $\operatorname{Ext}_A^n(M,N)$ $(n \ge 0)$.

综上可得,

$$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_A(M,N) = [x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \quad \forall n \ge 1. \end{equation}$$

3.7 $\mathrm{Tor}_n$ 函子

习题 3.7

设 $s,t$ 均为正整数. 计算 $\operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t)$.

对任意 Abel 群 $M$, 计算 $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Z}_t)$, 并说明其是扭群.

设 $M$ 是右 $R$-模. 则下述等价:

(i) $M$ 是平坦模.

(ii) $\operatorname{Tor}_n^R(M,-)=0$, 对所有 $n \ge 1$ 成立.

(iii) $\operatorname{Tor}_1^R(M,-)=0$.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

3.8 同调维数

习题 3.8

写出并证明内射维数的刻画.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数. 则下述命题等价:

(i) $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$;

(ii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{n}(M,N) = 0, ∀n ≥ d+1$;

(iii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0$;

(i) $\Rightarrow$ (ii): 由定义显然.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数. 则下述命题等价:

(i) $\operatorname{inj.dim}(N) = d$;

(ii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{n}(M,N) = 0, ∀n ≥ d+1$, 且存在对象 $M'$ 使得 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M',N) \neq 0$;

(iii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0$, 且存在对象 $M'$ 使得 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M',N) \neq 0$;

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

Reamrk. 课本推论 3.8.4 有错误.

设 $A$ 是有限维代数. 则 $\operatorname{gl.dim} A = 0$ 当且仅当 $A$ 是半单代数.

由此前习题可知, 有限维代数 $A$ 是半单代数当且仅当任意 $A$-模都是投射模, 根据整体维数定义可知 $\operatorname{gl.dim} A = 0$ 当且仅当 $A$ 是半单代数.

证明下一题需要一个引理, 它是课本定理 1.10.4 的推广. 课本应对有限秩情形使用了归纳法, 这里使用超限归纳(transfinite induction) 来处理任意秩情形.

主理想整环 $D$ 上的自由模的非零子模都是自由 $D$-模.

(1) 有限情形在课本定理 1.10.4 中已证明.

(2) 证明后继步保持结论: 固定一个 $\alpha<\kappa$, 设 $N_{α}$ 是自由模, 我们来证明 $N_{α+1}$ 也是自由模.

Claim: $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $D$ 的理想.

(3) 证明极限步保持结论: 固定一个极限序数 $\lambda ≤ \kappa$, 设对所有 $\beta < \lambda$, $N_{\beta}$ 都是自由模, 我们来证明 $N_{\lambda}$ 也是自由模.

下面我们来证明 $$\begin{equation} N_{\lambda} \cong \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta}. \end{equation}$$

综上, 由超限归纳法可知, $N = N_{\kappa}$ 是自由模.

证明 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} = 1$.

设 $R$ 是环, $\operatorname{inj.dim}(_R R) < \infty$, $P$ 是投射左 $R$-模的双边无限的无环复形. 则复形 $\operatorname{Hom}_R(P,R)$ 是正合列.

设 $R$ 是环, $I$ 是内射左 $R$-模的双边无限的无环复形. 若 $\operatorname{proj.dim}(_R M) < \infty$, 则 $\operatorname{Hom}_R(M,I)$ 是正合列.

《基础代数学》作业 Week12-1

2025-12-01T00:00:00+08:00

设 $f : X \to Y$ 是链映射. 则有复形的正合列

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \ker f \longrightarrow X \longrightarrow \operatorname{Im} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \operatorname{Im} f \longrightarrow Y \longrightarrow \operatorname{Coker} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$

和

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \ker f \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow \operatorname{Coker} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$

上述都是显然的, 因为我们已经证明了在复形范畴中取 kernel 和 cokernel 是逐分支进行的.

设 $M$ 是 $R$-模. 对每个 $n \in \mathbb{Z}$, 定义 $C^n = M$. 求复形

$$\begin{equation} C^\bullet := (C^n, 0) \end{equation}$$

的各次上同调群 $H^n(C^\bullet)$.

对于任意的 $n$, 由于微分全为零, 故有 $H^n(C^\bullet) = \ker 0 / \mathrm{Im} 0 \cong M$.

给定 $R$-模短正合列

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M' \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} M'' \longrightarrow 0 \end{equation}$$

将其视为 $M$ 是零次分支的复形, 求这个复形的各次上同调群.

由于是正合列, 于是所有上同调群都是 $0$.

设 $\delta$ 是模 $M$ 的一个微分, 即 $\delta$ 是 $M$ 的自同态且满足 $\delta^2 = 0$. 求复形

$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M \xrightarrow{\delta} M \longrightarrow 0 \end{equation}$$

的各次上同调群.

不妨记第一个 $0$ 是第 0 次分支. 于是有 $H^1 \cong \mathrm{Ker} \delta$ 且 $H^2 \cong \mathrm{Coker} \delta$. 其他次上同调群均为零.

设 $u : (C^\bullet, d) \longrightarrow (C'^\bullet, d')$ 是链映射. 定义 $u$ 的映射锥 $\operatorname{Cone}(u)$ 如下复形:

其第 $n$ 次分支为

$$\begin{equation} \operatorname{Cone}(u)^n = C^{n+1} \oplus C'^n, \quad \forall n \in \mathbb{Z} \end{equation}$$

第 $n$ 次微分为

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} - d^{n+1} & 0 \\ u^{n+1} & d'^n \end{pmatrix} : C^{n+1} \oplus C'^n \longrightarrow C^{n+2} \oplus C'^{n+1} \end{equation}$$

验证 $\operatorname{Cone}(u)$ 确是复形.

其中左上和右下是 0 因为 $d$ 和 $d'$ 是复形的微分, 右上是 0 是显然的, 左下是 0 是因为 $u$ 是链映射.

设 $(C,d)$ 是 $k$-模上的有界复形, 其中 $k$ 是域. 令

$$\begin{equation} r_i = \dim_k C^i, \qquad \rho_i = \dim_k H^i(C) \end{equation}$$

证明

$$\begin{equation} \sum (-1)^i r_i = \sum (-1)^i \rho_i \end{equation}$$

论文精读 - Operator-Level Quantum Acceleration of Non-Logconcave Sampling

2025-12-01T00:00:00+08:00

论文背景

问题: 给定一个势函数 $V:\mathbb{R}^d→\mathbb{R}$ 和一个 inverse temperature $\beta>0$, 目标是从 Gibbs 分布 $$\begin{equation} σ \propto e^{-βV} \end{equation}$$ 采样 (有时称为 classical Gibbs sampling).

看上去这个概率分布是直接给出的, 但是高维的时候直接采样会遇到高维积分等本质难题.

基础知识补充

随机过程基础知识(发现这些全都用不上)

基本定义

可测空间: $(S, \mathcal{S})$, 其中 $S$ 是集合, $\mathcal{S}$ 是 $S$ 上的 σ-代数.

测度: 测度是一个特殊的可测映射 $μ:(S, \mathcal{S})→([0,+∞], \mathcal{B}([0,+∞]))$, 满足:

$μ(∅) = 0$.
可数可加性: 对任意可数个两两不交的集合 $A_1, A_2, ... ∈ \mathcal{S}$, 有 $$\begin{equation} μ\left(\bigcup_{i=1}^{∞} A_i\right) = \sum_{i=1}^{∞} μ(A_i). \end{equation}$$

测度空间: $(S, \mathcal{S}, μ)$, 其中 $μ$ 是定义在 $(S, \mathcal{S})$ 上的测度.

概率空间: $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, 其中 $\mathbb{P}$ 是定义在 $(\Omega, \mathcal{F})$ 上的概率测度, 满足 $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.

随机变量: 定义在概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上, 值域为可测空间 $(S, \mathcal{S})$ 的可测映射 $X:(\Omega, \mathcal{F})→(S, \mathcal{S})$.

随机变量(狭义): 定义在概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上, 值域为实数集 $\mathbb{R}$ 的可测映射 $X:(\Omega, \mathcal{F})→(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

概率分布: 随机变量 $X$ 的概率分布是测度 $μ$ 定义为概率测度的 push-forward: $$\begin{equation} μ(A) = \mathbb{P}(X^{-1}(A)), \quad ∀ A ∈ \mathcal{S}. \end{equation}$$

Markov process

$$\begin{equation} \mathbf{P}\left\{X_{t+1}=y\mid H_{t-1}\cap\{X_t=x\}\right\}=\mathbf{P}\left\{X_{t+1}=y\mid X_t=x\right\}=P(x,y). \end{equation}$$

因为“马尔可夫性”是一种关于“信息”的性质，而不是关于“路径值”的性质。所以必须用 filtration（信息随时间增长的 σ-域流）才能精确定义。

布朗运动

[Brownian motion, Wiener process]

一个随机过程 $\{W_t\}_{t≥0}$ 被称为标准布朗运动, 如果满足以下四条性质:

$W_0 = 0$ 几乎必然成立.
对于任意的 $0 ≤ s < t$, 增量 $W_t - W_s$ 服从正态分布 $\mathcal{N}(0, t-s)$.
对于任意的 $0 ≤ t_0 < t_1 < ... < t_n$, 增量 $W_{t_1} - W_{t_0}, W_{t_2} - W_{t_1}, ..., W_{t_n} - W_{t_{n-1}}$ 相互独立.
对于几乎所有(almost surely)的样本路径, $t \mapsto W_t(ω)$ 是连续函数.

布朗运动 = 从 0 开始、增量是独立的高斯随机变量，并且路径连续的随机过程.

路径虽然连续但是几乎处处不可微.

重要的性质是: $(\mathrm{d}W_t)^2 ≈ \mathrm{d}t$, 其中 $\mathrm{d}W_t$ 的意思是 $W_{t+\mathrm{d}t} - W_t$.

随机微积分 (Itô calculus)

最基础的构造:

$$\begin{equation} \int_0^t f(s)\mathrm{d}W_s := \lim_{n→∞} \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(W_{t_{i+1}} - W_{t_i}), \end{equation}$$

这里必须在左端点取值, 这是 Itô 积分的定义. (与前向欧拉相关联)

SDE

SDE 给的是样本轨迹 / path dynamics.

(stochastic differential equation, SDE)
设 $b:\mathbb{R}^d→\mathbb{R}^d$, $σ:\mathbb{R}^d→\mathbb{R}^{d×m}$. 考虑如下的随机微分方程: $$\begin{equation} \mathrm{d}X_t = b(X_t)\mathrm{d}t + σ(X_t)\mathrm{d}W_t, \end{equation}$$ 其中 $W_t$ 是 $m$ 维标准布朗运动. 该方程称为 $d$ 维 Itô SDE.

SDE 描述了一个随机过程的演化. 其中 $b$ 称为 drift coefficient, $σ$ 称为 diffusion coefficient.

概率分布

一个随机变量的概率分布是样本集 $\Omega$ 上的概率测度 $\mathbb{P}$ 由随机变量 push-forward 到值域上的测度.

具体形式化:

设 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是概率空间, $X:\Omega→ S$ 是值域为可测空间 $(S, \mathcal{S})$ 的随机变量. 则 $X$ 的概率分布是测度 $\mu$ 定义为 $$\begin{equation} \mu(A) = \mathbb{P}(X^{-1}(A)), \quad ∀ A ∈ \mathcal{S}. \end{equation}$$

平稳分布 (stationary distribution)

对于一个随机过程 $X_t$ (通常是马尔可夫过程), 如果存在一个概率分布 $π$ 满足: 当 $X_0$ 服从 $π$ 时, 对任意的 $t≥0$, $X_t$ 仍然服从 $π$. 则称 $π$ 是该随机过程的平稳分布.

Fokker-Planck equation

Fokker–Planck 给的是分布 dynamics / law 的演化.

给定 SDE $$\begin{equation} \mathrm{d}X_t = b(X_t)\mathrm{d}t + σ(X_t)\mathrm{d}W_t, \end{equation}$$ Fokker-Planck 方程描述了 $X_t$ 的概率密度函数 $ρ(x,t)$ 随时间的演化: $$\begin{equation} \partial_t ρ(t,x) = L^* ρ(t,x), \end{equation}$$ 其中 $L^*$ 是生成元 $L$ 的伴随算子.

平稳分布是 Fokker-Planck 方程的稳态解, 即满足 $L^* ρ = 0$ 的概率密度函数 $ρ$.

Detailed balance condition

Langevin dynamics

Langevin dynamics 是一种马尔可夫过程, 它的平稳分布是目标分布 $σ$. 它的 SDE 形式为 $$\begin{equation} dX_t = -∇V(X_t)dt + \sqrt{2/β}dW_t, \end{equation}$$ 其中 $W_t$ 是标准布朗运动. 它的 Fokker-Planck 方程为 $$\begin{equation} \frac{∂ρ}{∂t} = ∇⋅(ρ∇V) + \frac{1}{β}Δρ. \end{equation}$$

解决总体思路

Gibbs 采样的分布其实是 overdamped Langevin equation $$\begin{equation} dX_t = -∇V(X_t)dt + \sqrt{2/β}dW_t \end{equation}$$ 的平稳分布.

下面的 Fokker-Planck equation 描述了概率密度函数 $ρ(x,t)$ 的演化: $$\begin{equation} \frac{∂ρ}{∂t} = \mathcal{L}(\rho) := ∇⋅(ρ∇V) + \frac{1}{β}Δρ. \end{equation}$$ 里面的 $\mathcal{L}$ 是半群生成元 (semigroup generator). (P.S. 这篇文章里面用的记号和大部分常用教材不一致, 通常这里是 $\mathcal{L}^*$) $\mathcal{L}$ 的标准 $L^2$ 伴随算子是 $$\begin{equation} \mathcal{L}^† = -∇V⋅∇ + \frac{1}{β}Δ. \end{equation}$$

一个重要的性质是 $\mathcal{L}^†$ 关于 $σ$-weighted inner product 自伴.

Gibbs 测度就是这个 dynamics 的平稳分布, 即满足 $\mathcal{L}(\sigma) = 0$ 的概率密度函数 $\sigma$.

论文里面定义了一个 Witten Laplacian $$\begin{equation} \mathcal{H} = -σ^{-1/2}∘ \mathcal{L} ∘ σ^{1/2} = -\frac{1}{β}Δ + \left(\frac{\beta \Vert∇V\Vert^2}{4} - \frac{1}{2} ΔV\right), \end{equation}$$ 它关于标准 $L^2$ 内积自伴.

(它是 metastability 研究中的标准工具)

在 detailed balance 情况下(等价于 $\mathcal{L}^†$ 关于 $σ$-inner product 是自伴的), $\mathcal{H}$ 在 $L^2(\mathrm{d}x)$ 上的 spectra 与 $-\mathcal{L}$ (或者 $-\mathcal{L}^†$) 在 $L^2(σ\mathrm{d}x)$ 上的 spectra 一致.

$\mathcal{H}$ 的 kernel 就是 encoded Gibbs state $|\sqrt{σ}⟩$, 满足 $⟨x|\sqrt{σ}⟩=\sqrt{\sigma(x)}$ (这是一个标准 $L^2$-inner product 下的归一化态).

这里说 encoded 是因为并不是直接得到 Gibbs distribution, 而是把它的平方根编码到一个量子态里面, 使得“测量=抽样”.

在理论模型里面, 我们有 $|\sqrt{σ}⟩∈L^2(\mathbb{R}^d, \mathrm{d}x)$, $|x⟩$ 其实不是 $L^2(\mathbb{R}^d, \mathrm{d}x)$ 里面的一个态, 它其实是 Dirac 泛函 (分布) $δ_x$, 并且这里的 $x$ 是一个参量, 表示位置, $⟨x|\sqrt{σ}⟩$ 也不是通常的内积, 结果不是一个值, 而是表示输入不同 $x$ 时的函数值, 从而 $⟨x|\sqrt{σ}⟩$ 表示的是位置表象下的波函数 $\sqrt{σ(x)}$.

按照论文的 assumption, 当 Langevin dynamics 是 ergodic 的时候, $|\sqrt{\sigma}⟩$ 是 $\mathcal{H}$ 的唯一基态, 它有 spectral gap (谱隙, 表示离它的本征值, 也就是 $0$, 最近的本征值和它的差距) $\text{Gap}(\mathcal{H}) = \text{Gap}(\mathcal{L}^†)$.

所以现在, 我们就把采样 Gibbs distribution 的问题, 转化成了制备 $\mathcal{H}$ 的基态 $|\sqrt{σ}⟩$ 的问题.

在 $\mathcal{H}$ 的形式化定义里面, 需要对 $V$ 求二阶导, 而 Langevin dynamics 只需要对 $V$ 求一阶导. 下面的分解顺便解决了这个问题: $$\begin{equation} \mathcal{H} = \sum_{j=1}^d L_j^† L_j, \quad L_j = -i\frac{1}{\sqrt{β}} ∂_{x_j} -i \frac{\sqrt{β}}{2} ∂_{x_j}V, ∀ j=1,2,...,d. \end{equation}$$

注意到每个 $L_j$ 都零化 $|\sqrt{σ}⟩$, 也就是说 $|\sqrt{\sigma}⟩$ 是每一项 $L_j^† L_j$ 的基态 (但此时未必是唯一的基态), 只要将每一项 $L_j^† L_j$ 的基态空间作交, 就得到 $|\sqrt{σ}⟩$. 把所有的 $L_i$ 放到一起, 定义 $$\begin{equation} \mathbb{L}:= [L_1^T, L_2^T, ..., L_d^T]^T, \end{equation}$$ 这样就有 $\mathcal{H} = \mathbb{L}^†\mathbb{L}$. (构造 $\mathbb{L}$ 只需要一阶导数)

进一步, 寻找 $\mathcal{H}$ 的基态 (encoded Gibbs state) $|\sqrt{\sigma}⟩$ 相当于准备 $\mathbb{L}$ 的唯一的对应于 singular value $0$ 的 right singular vector. $\mathbb{L}$ 的 singular value gap 是 $\text{Gap}(\mathbb{L}) = \sqrt{\text{Gap}(\mathcal{H})} = 1 / \sqrt{C_{\text{PI}}}$. 这是 operator level 的 quantum speedup 的来源(我觉得这个是一个需要理解的关键点, 似乎这个技术可以扩展). 这里 speedup 是源于 QSVT 算法的特性, 它的时间复杂度与 singular value gap 成反比, 所以如果 singular value gap 变大, 就可以加速制备基态的过程(详情可见 https://doi.org/10.1145/3313276.3316366. 的 3.4).

并且我觉得还有一个需要理解的问题是, 如果进行这样的分解(类似于取平方根, 关键在于让 spectral gap 取根号)就可以加速, 为什么不直接在传统方法(也就是直接解 Fokker-Planck 方程)上进行类似的分解呢? (感觉主要需要去分析两个复杂度和 $C_{\text{PI}}$ 有关的 Classical algorithm: ULA 和 Proximal (https://chewisinho.github.io))

ULA (Unadjusted Langevin Algorithm) 就是直接对 Langevin dynamics 进行 Euler-Maruyama 离散化, 我感觉就是模拟动力学过程, 直观上是梯度下降 + 高斯噪声. 这时 spectral gap 是和动力学过程本身有关的, 没有办法取根号.

Proximal 算法是一个 Gibbs 采样的增广变量技巧, $C_{\text{PI}}$ 出现在迭代的分析里面. (还没有仔细看)

回到算法, 算法的主要步骤是:

准备一个 warm start 态 $|\phi⟩$ (与目标态有较大重叠的态), 这一点容易做到, 因为我们不可能对于目标分布没有一点点知识.
用量子电路对离散化的矩阵 $\mathbb{L}$ 进行 block-encoding, 也就是把 $\mathbb{L}$ 嵌入到一个更大的酉矩阵里面.
使用 QSVT 去 filter out $|\phi⟩$ 中的非零 singular value 部分, 得到目标态 $|g⟩≈|\sqrt{σ}⟩$.
在计算基上测量 $|g⟩$, 得到 Gibbs 采样结果.

下面具体要说明一下在量子计算框架(我们的框架是门模型(qubit)框架)下, 第四步是什么意思: 上述步骤得到的量子态 $|g⟩$ 假设是 $n$ 个 qubit 的, 它在计算基上的表示为 $$\begin{equation} |g⟩ ≈ \sum_{k\in\{0,1\}^n} g_k |k⟩, \end{equation}$$ 其中 $|k⟩$ 是 computational basis. 一次测量就是对每个 qubit 进行一次标准读出, 每次会得到一个 $n$ 位的二进制字符串 $k$. Born 规则告诉我们, 有分布 $$\begin{equation} P(\text{输出} k) = |g_k|^2, \end{equation}$$ 所以第四步采样的本质是在概率分布 $\{p_k = |g_k|^2\}$ 中抽样一个索引 $k$. 下面要做的就是解码, 在做这一点之前, 首先要进行一些概念上的澄清.

在理论上, $|\sqrt{σ}⟩$ 是一个连续的对象, 在空间 $L^2(\mathbb{R}^d, \mathrm{d}x)$ 里面. 但是在门模型量子电路上, 我们处理的是有限维的 $(\mathbb{C}^{2})^{⊗n}≅ \mathbb{C}^{2^n}$. 为了让连续的函数进入我们的量子电路, 需要以下两个步骤:

截断 (truncation): 把 $\mathbb{R}^d$ 截断到一个有限的区域 (通常是一个大立方体) $Ω = [-a,a]^d$ 里面.
离散化 (discretization): 把 $Ω$ 的每一维都划分成 $N=2^q$ 个等距小格, 于是 $Ω$ 被划分成 $N^d$ 个小立方体单元格, 或者网格点, 这时就得到一个有限维空间 $\mathbb{C}^{N^d}$, 从而可以嵌入到 $n=qd$ 个 qubit 的计算空间里面.

这时, 每个索引 $k$ (一个 $n$ 位的二进制字符串) 可以被看作是 $d$ 维空间里面的一个网格点的坐标, 记为 $x_k∈Ω$. 于是我们就可以把 $|g_k|^2$ 看作是位置 $x_k$ 处的概率密度值. 而在这样的计算基下, $|g⟩$ 近似于截断和离散化之后的 $$\begin{equation} |\sqrt{σ}⟩ ≈ \sum_{k} \sqrt{σ(x_k)} |x_k⟩, \end{equation}$$ 从而 $|g_k|^2≈\sigma(x_k)$. 也就是说对于得到的 $|g⟩$ 进行计算基测量, 得到的索引 $k$ 就是从截断和离散化之后的 Gibbs 分布中采样得到的结果, 从而这时测量就自动实现了 Gibbs 采样.

《基础代数学》作业 Week11-2

2025-11-27T00:00:00+08:00

设 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, $F:\mathcal{A}→\mathcal{B}$ 是正合、满忠实函子. 令 $\operatorname{Im}F=\{Y\in\mathcal{B}∣ FX,X∈\mathcal{A}\}$. 则 $\operatorname{Im}F$ 是 Abel 范畴.

由于 $F$ 是加法函子, 从而 $F$ 将零对象映为零对象并且保持有限余积, 从而 $\operatorname{Im} f$ 有零对象和有限余积, 并且态射集的加法结构自然从 $\mathcal{B}$ 继承, 于是 $\operatorname{Im}F$ 是加法范畴.

由于 $F$ 是正合函子, 故 $F$ 保持正合列, 从而保持 kernel 和 cokernel, 于是 $\operatorname{Im}F$ 有 kernel 和 cokernel.

并且由于 $F$ 是满忠实函子, 根据 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, 可知 $\operatorname{Im}F$ 中的任意态射的 image 和 coimage 自然同构.

Remark. 题目中虽然没有直接说 $\operatorname{Im}F$ 是满子范畴, 但是这由 $F$ 是满忠实函子可知.

Remark. 这里值得注意的一件事情是, 与 Abel 范畴等价的范畴未必是 Abel 范畴. 所以虽然注意到 $F:\mathcal{A}→\operatorname{Im}F$ 是满忠实稠密函子, 从而是范畴等价, 也没法直接说明 $\operatorname{Im}F$ 是 Abel 范畴.

设 $F:\mathcal{A}→\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴之间正合、满忠实的函子. 则 $F$ 反射正合列. 即, 若 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ 是 $\mathcal{A}$ 中的态射序列且 $FX\xrightarrow{Ff}FY\xrightarrow{Fg}FZ$ 是 $\mathcal{B}$ 中的正合列, 则 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ 也是 $\mathcal{A}$ 中的正合列.

注意到 $F:\mathcal{A}\to\operatorname{Im}F$ 满忠实稠密, 从而是范畴等价. 设拟逆为 $G$. 由于 $F$ 还是正合函子, 从而 $FX\xrightarrow{Ff}FY\xrightarrow{Fg}FZ$ 在 $\operatorname{Im}F$ 中是正合列当且仅当在 $\mathcal{B}$ 中是正合列. 作用 $G$ 即可得 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ 在 $\mathcal{A}$ 中是正合列.

Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 中的态射序列 $0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z→0$ 是可裂短正合列当且仅当对于任一对象 $W$, 下述 Abel 群的同态序列 $$\begin{equation} 0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Z, W) \overset{\mathrm{Hom}(g,W)}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y, W) \overset{\mathrm{Hom}(f,W)}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X, W) \longrightarrow 0 \end{equation}$$ 是 $\mathbf{Ab}$ 中的正合列.

(⇒) 由 Hom 函子是左正合函子可知序列在 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Z, W)$ 和 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y, W)$ 处正合. 只要证明 $\mathrm{Hom}(f,W) = - ∘ f$ 是满态射. 由于短正合列可裂, 存在态射 $f':Y\to X$ 使得 $f'f=\mathrm{Id}_X$. 于是, 对于任意的态射 $s\in\mathrm{Hom}_\mathcal{A}(X,W)$, 存在态射 $sf'∈ \mathrm{Hom}_\mathcal{A}(Y,W)$ 使得 $$\mathrm{Hom}(f,W)(sf')=sf'f= s\mathrm{Id}_X=s.$$ 于是 $\mathrm{Hom}(f,W)$ 是满态射.

(⇐) 根据 Hom 函子的反射正合性可知 $0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z→0$ 是正合列. 下面只要证明该列可裂. 令 $W=X$, 由于 $\mathrm{Hom}(f,W)$ 是满态射, 于是存在 $f'\in\mathrm{Hom}_\mathcal{A}(Y,X)$ 使得 $f'f=\mathrm{Hom}(f,W)(f')=\mathrm{Id}_X$. 于是该列可裂.

《基础代数学》作业 Week11-1

2025-11-24T00:00:00+08:00

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 对于态射列 $0 \rightarrow X \overset{x}{\hookrightarrow} Y \xrightarrow{y} Z$, 它是正合列当且仅当 $x$ 是 $y$ 的核.

(⇒) 由于在 $X$ 处正合, 于是 $\mathrm{Ker}x=0$, 于是 $x$ 是单态射. 由于在 $Y$ 处正合, 于是有 $\mathrm{Ker}y=\mathrm{Im}x$. 考虑交换图:

由于 $yx=0$, 存在唯一的态射 $s:X→\mathrm{Ker}y$ 使得 $x=k_ys$, 由于 $x$ 是单态射, 于是 $s$ 是单态射. 同时由于 $\mathrm{Ker}y≅\mathrm{Im}x$, 这个 $s$ 同时也是满单分解给出的态射, 于是 $s$ 也是满态射, 从而 $s$ 是同构. 于是 $x$ 是 $y$ 的 kernel.

(⇐) 只需要验证在 $Y$ 处正合, 即验证 $\mathrm{Ker}y=\mathrm{Im}x$. 考虑如下交换图:

取 $x$ 的满单分解, 由于 $ym_x=0$ (由 $ym_x\widetilde{x}=0$ 及 $\widetilde{x}$ 单可得), 根据 $x$ 是 $y$ 的 kernel, 存在唯一的态射 $s$ 使得 $xs=m_x$. 于是 $x=m_x\widetilde{x}=xs\widetilde{x}$, 根据 $x$ 单可得 $s\widetilde{x}=\mathrm{Id}_X$. 同理可得 $\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}(x)}=\widetilde{x}s$. 从而 $s, \widetilde{x}$ 是同构, 即得 $\mathrm{Im}x≅\mathrm{Ker}y$.

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 对于态射列 $X \xrightarrow{x} Y \overset{x}{\twoheadrightarrow} Z \rightarrow 0$, 它是正合列当且仅当 $y$ 是 $x$ 的余核.

与上一题完全类似.

设下图的两行均是 Abel 范畴中的正合列, 且左边的方块交换：

则存在唯一的态射 $h$ 使得右边的方块也交换.

由上面的习题知 $y$ 是 $x$ 的 cokernel, 于是由 $y'gx=y'x'f=0$ 得存在唯一的态射 $h$ 使得 $y'g=hy$.

设下图的两行均是 Abel 范畴中的正合列, 且右边的方块交换：

则存在唯一的态射 $f$ 使得左边的方块也交换.

由上面的习题知 $x'$ 是 $y'$ 的 kernel, 于是由 $y'gx=hyx=0$ 得存在唯一的态射 $f$ 使得 $gx=x'f$.

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $P$ 是投射对象. 若任意短正合列 $0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$ 都是可裂短正合列; 当 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象时, 逆命题也成立.

考虑态射 $\mathrm{Id}_P:P→ P$, 由于 $P$ 是投射对象, 以及 $N\xrightarrow{g}P$ 是满态射, 于是存在 $s:P→N$ 使得 $\mathrm{Id}_P=gs$. 从而该列是短正合列.

当 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象时, 对于任意的满态射 $g:M→N$ 及态射 $p:P→N$, 考虑交换图

其中 $Q$ 是投射对象, $q:Q→P$ 是满态射, 根据可裂条件可得存在 $t:P→Q$ 使得 $qt=\mathrm{Id}_P$. 由于 $Q$ 是投射对象, 故存在 $s:Q→ M$ 使得 $gs=pq$. 由于 $p=pqt=gst$, 从而 $P$ 是投射对象.

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $I$ 是内射对象. 若任意短正合列 $0 \longrightarrow I \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow 0$ 都是可裂短正合列; 当 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象时, 逆命题也成立.

与上一题证明完全类似.

《基础代数学》作业 Week10-2

2025-11-19T00:00:00+08:00

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 证明态射范畴 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 也是 Abel 范畴.

已经知道 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 是加法范畴, 下面只需要证明 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 有 kernel 和 cokernel, 且 image 和 coimage 自然同构.

给定 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 中的任一态射 $(\alpha,\beta):(X,f,Y)→(X',f',Y')$, 自然有下面的交换图, 其中虚线都是由 kernel 和 cokernel 的泛性质自然诱导出来的.

下面先证明 $(k_\alpha, k_\beta)$ 是 $(\alpha, \beta)$ 的 kernel (即逐分量取 kernel 就是 kernel). 首先显然有 $(\alpha, \beta)\circ(k_\alpha, k_\beta) = (0,0)$. 设有态射 $(s,t):(Z,h,W)→(X,f,Y)$ 满足 $(\alpha,\beta)∘(s,t)=(0,0)$. 则有 $\alpha s=0$ 且 $\beta t=0$. 由 $k_\alpha$ 和 $k_\beta$ 是分别是 $\alpha$ 和 $\beta$ 的 kernel, 存在唯一态射 $u:Z→\ker \alpha$ 和 $v:W→\ker \beta$ 使得 $k_\alpha u=s$ 且 $k_\beta v=t$. 由此得到态射 $(u,v):(Z,h,W)→(\ker \alpha, k_\alpha, \ker \beta)$ (这确实是态射范畴中的态射, 因为 $k_{\beta}k_{\alpha,\beta}u=fk_α u=fs=th=k_β vh$, 由于 $k_\beta$ 是单态射, 于是有 $k_{\alpha,\beta}u=vh$). 这样 $(u,v)$ 的唯一性由 $u$ 和 $v$ 的唯一性保证. 这样就证明了 $(\alpha,\beta)$ 的 kernel 是 $(k_\alpha, k_\beta)$.

同理可以证明, 逐项求 cokernel 也得到态射范畴中的 cokernel.

从而对于 image 和 coimage 也是逐项求即可. 由于在 Abel 范畴中 image 和 coimage 自然同构, 故在态射范畴中也自然同构.

设 $\mathcal{A}$ 是有足够多投射对象的 Abel 范畴. 则 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 的任意投射对象 $(U,f,V)$ 均是 $(P, \mathrm{Id}_P,P)⊕(0,0,Q)$ 的直和项, 其中 $P$ 和 $Q$ 是 $\mathcal{A}$ 的投射对象. 特别地, $U$ 和 $V$ 均是 $\mathcal{A}$ 的投射对象.

由于 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象, 存在 $\mathcal{A}$ 中的投射对象 $P$ 和满态射 $p:P→U$, 以及投射对象 $Q$ 和满态射 $q:Q→V$. 考虑如下 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 中的态射 $(p, (fp,q))$:

注意到 $P⊕Q$ 是投射对象并且 $(fp,q):P⊕Q→V$ 是满态射. 于是上面的态射是满态射, 由于 $(U,f,V)$ 是投射对象, 于是 $(U,f,V)$ 是 $(P,\begin{pmatrix}\mathrm{Id}_P \\ 0\end{pmatrix}, P⊕Q)≅(P,\mathrm{Id}_P,P)⊕(0,0,Q)$ 的直和项.

凸优化笔记

2025-11-18T00:00:00+08:00

既凸又凹就是线性. 故等式约束一定是线性约束.

凸优化的任何局部最优为全局最优.

设 $f_0$ 可微. 则 $x∈ D$ 最优当且仅当 $∀ y∈D, ∇f_0(x)⋅(y-x)≥0$.

无约束凸优化问题里面 $∇f_0(x)=0$ 当且仅当 $x$ 是最优解.

对于带有等式约束 $Ax=b$ 的凸优化问题, 最优解 $x$ 满足 $∇f_0(x)⟂\mathrm{Ker}A$. 即存在 $\nu$ 使得 $∇f_0(x)+A^T ν=0$. 这是 KKT 条件的特例.

带约束优化问题基础: KKT 条件

问题形式:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \min\quad &f(x)\\ \text{s.t.} &\begin{cases} c_i(x) ≥ 0, \quad i∈\mathcal{I},\\ c_i(x) = 0, \quad i∈\mathcal{E}. \end{cases} \end{aligned} \end{equation}$$

(tangent vector, tangent cone)

tangent vector 就是直接描述的从点 $x$ 出发的可行域中的曲线可能的初始速度方向, 用于刻画局部可行的扰动方向. 即对于 local minimizer, 显然有 $$\begin{equation} ∇ f(x_*)⋅ d≥ 0, ∀ d∈ T_D(x_*). \end{equation}$$

只不过这个定义直接从可行扰动出发, 直观直接, 但是难以处理, 所以我们需要下面的定义. 它给出了在 LICQ 情况下的更好的刻画.

(linearized feasible directions)
$$\begin{equation} \mathcal{F}(x) = \{ d ∣ ∇c_i(x)⋅d=0, ∀ i∈\mathcal{E}; ∇c_i(x)⋅d≥0, ∀ \mathcal{I}∩\mathcal{A}(x) \}. \end{equation}$$

一般情况下只有 $T_D(x)⊆\mathcal{F}(x)$. 只有在满足 LICQ 的时候才成立等式.

($T_D(x)$ 是锥但是未必是凸锥; $\mathcal{F}(x)$ 一定是闭凸锥.)

Remark. 我感觉这里的 LICQ 有非常浓的几何意味, 会和流形上局部切空间的分析相关.

另外值得注意的是, 如果记矩阵 $C=[∇c_i]_{i∈\mathcal{E}}, B=[∇c_i]_{i∈\mathcal{I}∩\mathcal{A}(x)}$ (并排放置列向量), 则有 $$\begin{equation} \mathcal{F}(x) = \{d∣ B^Td≥0, C^Td=0\} = K^*. \end{equation}$$

所以在 LICQ 成立的情况下, 对于任何的 $d∈\mathcal{F}(x_*)$, 一定要有 $∇f(x_*)⋅d≥ 0$, 换一个说法就是 $$\begin{equation} ∇f(x_*)∈ (\mathcal{F}(x_*))^* = (K^*)^*. \end{equation}$$ 这里使用了后面会介绍的对偶说法.

拉格朗日函数定义为

$$\begin{equation} \mathcal{L}(x,\lambda) = f(x) - \sum_{i∈ \mathcal{E}∪\mathcal{I}} \lambda_i c_i(x). \end{equation}$$

KKT 条件就是在 LICQ 情况下取局部最小值的一阶必要条件.

假设所有的函数都可微. 令 $x_*$ 是局部最小值点 (local minimizer), 并且假设 LICQ 条件成立. 则存在 $λ_i$ 使得在 $(x,λ)$ 上有下面的 KKT 条件成立 $$\begin{equation} \begin{aligned} & \nabla_x \mathcal{L} = \nabla f(x_*) - \sum_i \lambda_i∇ c_i(x_*) = 0, \\ & c_i(x_*) = 0, ∀ i∈ \mathcal{E},\quad c_i(x_*)≥ 0, ∀ i∈ \mathcal{I}, \\ & \lambda_i ≥ 0, ∀ i∈ \mathcal{I}, \\ & \lambda_i c_i(x_*) = 0, ∀ i∈ \mathcal{I}. \end{aligned} \end{equation}$$

严谨证明这件事情需要用到 Farkas 引理 (虽然 KKT 条件在直观上非常容易理解).

(Farkas 引理)
令 $B$ 和 $C$ 分别是 $n×m$ 和 $n×p$ 的实矩阵. 令 $p\in\mathbb{R}^n$. 这下面两个命题有且仅有一个成立:

(1) $$\begin{equation} g∈ \{By+Cω∣ y≥ 0\} \end{equation}$$

(2) 存在 $d∈ \mathbb{R}^n$ 使得 $$\begin{equation} g⋅d<0, B^Td≥ 0, C^Td=0. \end{equation}$$

Remark. Farkas 引理本身就很有对偶的意味. 我们定义一个闭凸锥 $$\begin{equation} K = \{By+Cω∣ y≥ 0\}, \end{equation}$$ 考虑它的对偶锥 $$\begin{equation} K^* = \{d ∣ d⋅g≥0,∀g∈ K\}. \end{equation}$$ 我们将可以证明 $$\begin{equation} K^* = \{d∣ B^Td≥ 0, C^Td=0\}. \end{equation}$$

所以上面的 Farkas 引理只不过就是两个情况的罗列: 一个向量在锥 $K$ 里面或者不在 $K$ 里面, 只是在表述的时候表述为在 $K$ 里面或者不在 $(K^*)^*$ 里面.

(KKT 条件的证明)
有了 Farkas 引理, 根据取极小值的必要条件 $ ∇f(x_*)∈ (\mathcal{F}(x_*))^*$ 知道没法成立第二个条件, 所以成立第一个条件, 也就是说 $∇ f(x_*)∈ K$. 换句话说就是 $$\begin{equation} ∇ f(x_*) = \sum_{i\in\mathcal{A}}\lambda_i∇ c_i(x_*), \end{equation}$$ 其中 $\lambda_i≥ 0, ∀ i\in\mathcal{A}∩\mathcal{I}$. 只要定义 $\lambda_i=0, ∀ i∈ \mathcal{I}\backslash \mathcal{A}$ 即可.

对于凸优化而言, KKT 条件(一阶必要条件)也是充分的.

《基础代数学》作业 Week10-1

2025-11-17T00:00:00+08:00

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 若 $f : X \to Y$ 是满态射, 则对于任意态射 $g : Y \to Z$, 典范态射
$$\begin{equation} \operatorname{Im} g \longrightarrow \operatorname{Im}(g f) \end{equation}$$ 是同构.

考虑 $g$ 和 $gf$ 的满单分解.

由于 $\widetilde{g}fk=0$, 根据 $\widetilde{gf}$ 作为 $k$ 的 cokernel 的泛性质, 存在唯一态射 $c:\mathrm{Im}gf → \mathrm{Im}g$ 使得 $c \widetilde{gf} = \widetilde{g} f$. 由于 $\widetilde{g}f$ 是满的, 从而 $c$ 也是满的.

下面证明 $m_gc=m_{gf}$. 计算有 $$\begin{equation} m_g c \widetilde{gf} = m_g \widetilde{g} f = g f = m_{gf} \widetilde{gf}. \end{equation}$$ 由于 $\widetilde{gf}$ 是满的, 故 $m_g c = m_{gf}$. 由 $m_g$ 和 $m_{gf}$ 是单的, 可知 $c$ 也是单的.
综上, $c$ 是同构.

设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 则有典范同构
$$\begin{equation} \prod_{1 \le i \le n} \ker f_i \cong \ker\!\left(\prod_{1 \le i \le n} f_i\right) \end{equation}$$ 若 $\mathcal{A}$ 有无限积, 则此式对无限积也成立. 特别地, 若 $\mathcal{A}$ 有无限积, 则 $\prod_{i \in I} f_i$ 是单态射当且仅当每个 $f_i\,(i \in I)$ 均是单态射.

直接考虑指标集 $I$, 设 $\mathcal{A}$ 有关于指标集 $I$ 的积.

自然有上图右边两个方块. 下面验证 $∏ \ker f_i$ 是 $∏ f_i$ 的核. 设有态射 $g:Z→∏ X_j$ 满足 $∏ f_i ∘ g=0$. 则对于任意 $i$, 有 $f_i ∘ p^X_i ∘ g = p^Y_i ∘ ∏ f_i ∘ g = 0$. 由 $k_i$ 是 $f_i$ 的核, 存在唯一态射 $h_i:Z→\ker f_i$ 使得 $k_i ∘ h_i = p^X_i ∘ g$. 由积的泛性质, 存在唯一态射 $∏ h_i:Z→∏ \ker f_i$ 使得 $p^K_i ∘ ∏ h_i = h_i$.

下面证明 $∏ k_i ∘ ∏ h_i = g$. 计算有 $$\begin{equation} p^X_i ∘ ∏ k_i ∘ ∏ h_i = k_i ∘ p^K_i ∘ ∏ h_i = k_i ∘ h_i = p^X_i ∘ g. \end{equation}$$ 根据 $∏X_i$ 的泛性质, 可知 $∏ k_i ∘ ∏ h_i = g$. $∏ h_i$ 的唯一性由 $\ker f_i$ 的泛性质以及 $\prod\ker f_i$ 的泛性质保证(即每个分量下去都是唯一的, 回来也是唯一的).

设有单态射 $g : Y \hookrightarrow X$ 和态射 $h : Z \to Y$. 则有典范单态射
$$\begin{equation} \operatorname{Coker} h \longrightarrow \operatorname{Coker}(g h). \end{equation}$$

注意到有交换图:

其中 $c$ 是典范同构. 对两列正合列使用五引理得 $c'$ 是单态射.

Remark. 按道理说应该不能用五引理, Abel 范畴里面的版本还没证明. 我不知道这里有没有循环论证.

2025年11月17日杂记 - Optimal Control

2025-11-17T00:00:00+08:00

方法比较

non linear Hamilton-Jacobi partial differential approach
- 理论完备、可以找到全局最小值
- 计算复杂度高, 维数灾难
Lagrange principle
- 计算复杂度低, 适合高维问题
- 只能找到局部最优解, 通常伴随正则化方法会引入额外误差
- (so far) has no efficient implementation in the natural stochastic setting with adapted Markov controls, while the Hamilton-Jacobi PDE approach directly extends to such stochastic controls; as a consequence computations of stochastic controls is basically limited to low dimensional problems.

2025年11月13日杂记 - 输运

2025-11-13T00:00:00+08:00

描述输运有拉格朗日和欧拉两种视角.

拉格朗日视角: 跟踪每一个粒子的运动轨迹, 关注粒子的位置和速度随时间的变化. 适用于粒子数目较少的系统.
欧拉视角: 关注空间中每个位置的流体性质随时间的变化, 适用于粒子数目较多的系统.

最优输运问题

Monge 问题中质量不可分割.

Kantorovich 问题是它的推广, 质量可分割.

感觉需要学习的东西

Convex problems often have strong duality.
优化对偶

《基础代数学》作业 Week9-2

2025-11-12T00:00:00+08:00

对于加法范畴之间的加法函子 $F$, $F$ 是忠实的当且仅当 $F$ 将非零态射映为非零态射.

(⇒) 显然.

(⇐) 设 $f,g:X→Y$ 满足 $Ff=Fg$. 则 $F(f-g)=0$. 由题设 $f-g=0$, 即 $f=g$. 故 $F$ 是忠实的.

设 $F:\mathcal{A}→\mathcal{B}$ 是加法范畴之间的函子. 证明有如下交换图

直接按分量验证, 即考虑右复合 $\tilde{e_i}:FX_i→ FX_1⊕FX_2 (i=1,2)$ 之后的情况 ($(\tilde{e_1},\tilde{e_2})$ 是 $FX_1,FX_2$ 的 coproduct). 注意到 $$\begin{equation} ((Fe_1')p_1+(Fe_2')p_2)\sigma_{FX_1,FX_2}\tilde{e_i}=((Fe_1')p_1+(Fe_2')p_2)( \tilde{e_1}' \tilde{p_1}' + \tilde{e_2}' \tilde{p_2}')\tilde{e_i}=Fe_i' p_i' \tilde{e_i}=Fe_i'. \end{equation}$$

另一方面有,

$$\begin{equation} F\sigma_{X_1,X_2}(Fe_1,Fe_2)\tilde{e_i}=F\sigma_{X_1,X_2}Fe_i=F((e_1' p_1' + e_2' p_2')e_i)=Fe_i'. \end{equation}$$

根据 coproduct 的定义(定义中的唯一性), 交换图成立.

设 $F:\mathcal{A}→\mathcal{B}$ 是加法范畴之间的函子. 则 $F$ 是加法函子当且仅当对于 $\mathcal{A}$ 中任意两个对象 $X$ 与 $Y$, 有 $Fe_1Fp_1'+Fe_2Fp_2'=\mathrm{Id}_{F(X⊕Y)}$.

(⇒) 这是加法函子的定义. $$\begin{equation} \mathrm{Id}_{F(X_1⊕X_2)}=F\mathrm{Id}_{X⊕Y} = F(e_1 p_1' + e_2 p_2') = Fe_1 Fp_1' + Fe_2 Fp_2'. \end{equation}$$

(⇐) 只要证明 $F$ 保持有限余积, 即对于任意对象 $X,Y$, 有同构 $$\begin{equation} (Fe_1, Fe_2): FX ⊕ FY \xrightarrow{\sim} F(X⊕Y). \end{equation}$$

只要证明 $(Fe_1,Fe_2)$ 和 $\binom{Fp_1'}{Fp_2'}$ 互为逆即可. 计算有 $$\begin{equation} \binom{Fp_1'}{Fp_2'}(Fe_1,Fe_2) = \binom{Fp_1'Fe_1 \quad Fp_1'Fe_2}{Fp_2'Fe_1 \quad Fp_2'Fe_2} = \binom{\mathrm{Id}_{FX} \quad 0}{0 \quad \mathrm{Id}_{FY}} = \mathrm{Id}_{FX ⊕ FY}. \end{equation}$$ 另一方面, $$\begin{equation} (Fe_1,Fe_2)\binom{Fp_1'}{Fp_2'} = Fe_1 Fp_1' + Fe_2 Fp_2' = \mathrm{Id}_{F(X⊕Y)}. \end{equation}$$ 从而得证.

《基础代数学》作业 Week9-1

2025-11-10T00:00:00+08:00

加法范畴里面, 态射 $f$ 是单态射当且仅当 $ft=0 ⇒ t=0$.

(⇒)显然.

(⇐) 对于任意的 $fg=fh$, 有 $0 = -fg + fg = -fg + fh = f(h-g)$. 由题设 $h-g=0$, 即 $h=g$. 故 $f$ 是单态射.

[事实 2.1.2] 设范畴 $\mathcal{A}$ 是有余积和零对象的范畴. 则

(投影态射存在唯一性) 存在唯一的态射 $p_i':⨁_{i∈I}X_i → X_i$ 使得 $p_j' e_i = δ_{ij} : X_i→X_j$. (结构态射有左逆)
结构态射是单态射, 投影态射是满态射.
态射 $f:⨁_{i∈I}X_i → Y$ 由 $f e_i$ 唯一决定, 其中 $e_i$ 是余积的结构态射.
(态射直和的存在唯一性) 给定态射 $f_i:X_i → Y_i$, 则存在唯一的态射 $f:⨁_{i∈I}X_i → ⨁_{i∈I}Y_i$ 使得 $ (⨁f_i) e_i^X = e_i^Y f_i $.
(态射直和和复合的相容性) $ (⨁g_i)(⨁f_i) = ⨁(g_i f_i) $.
(态射直和是满态射的判别法) 态射 $⨁f_i$ 是满态射当且仅当每个 $f_i$ 都是满态射.

根据余积泛性质即可.
由 1 立即得到.
余积的泛性质中的唯一性保证.
直接用一下 3 (一个范畴有余积, 就是说我们可以自由地把态射拼起来或者拆开, 并且保证不会损失信息).
按分量验证并考虑 4 的定义就行.
关键在于使用余积的泛性质 (或者说 3) 来把态射拆开来研究. $h(⨁f_i)=g(⨁f_i) ⟺ ∀ i, h(⨁f_i)e_i^X=g(⨁f_i)e_i^X ⟺ ∀ i, h e_i^Y f_i = g e_i^Y f_i$. 若所有的 $f_i$ 都是满的, 则 $h e_i^Y = g e_i^Y$ 对所有 $i$ 都成立, 由 3 可知 $h=g$. 反过来, 若 $⨁f_i$ 是满的. 由 $g f_i = h f_i ⟺ g p_i^Y (⨁f_i) e_i^X = h p_i^Y (⨁f_i) e_i^X ⟺ ∀ j, g p_i^Y (⨁f_i) e_j^X = h p_i^Y (⨁f_i) e_j^X ⟺ g p_i^Y (⨁f_i) = h p_i^Y (⨁f_i).$ 从而 $g=h$.

加法范畴中典范同构 $σ_{X_1,X_2}: X_1 ⊕ X_2 → X_1 ∏ X_2$ 可表达为 $σ = (e_1', e_2') = e_1' p_1' + e_2' p_2'.$

注意到 $σ^{-1} = e_1p_1+e_2p_2$, 直接验证即可.

在加法范畴中有 $c∘ (a,b)=(ca,cb)$.

按分量验证即可 (相当于考虑所有右复合 $-∘ e_i$).

加法范畴中有 $\pmatrix{f\\ g}∘ c=\pmatrix{fc \\ gc}$.

按分量验证即可 (相当于考虑所有左复合 $p_i ∘ -$). (所以这个成立实际上是用的积的性质)

设 $n$ 是正整数. 在加法范畴中, $$\begin{equation} \bigoplus_{1≤i≤n}\eta_i: \bigoplus_{1≤i≤n} X_i → \bigoplus_{1≤i≤n} Y_i \end{equation}$$ 是满态射(单态射, 同构) 当且仅当每个 $\eta_i:X_i → Y_i$ 都是满态射(单态射, 同构).

根据有限余积和有限积的同构, 以及事实 2.1.2 和事实 2.1.4, 以及 Abel 范畴是平衡范畴即得.

设 $n$ 是正整数. 在加法范畴中, $$\begin{equation} \prod_{1≤i≤n}\eta_i: \prod_{1≤i≤n} X_i → \prod_{1≤i≤n} Y_i \end{equation}$$ 是满态射(单态射, 同构) 当且仅当每个 $\eta_i:X_i → Y_i$ 都是满态射(单态射, 同构).

根据有限余积和有限积的同构, 以及事实 2.1.2 和事实 2.1.4, 以及 Abel 范畴是平衡范畴即得.

2025年11月06日杂记 - 采样

2025-11-06T00:00:00+08:00

采样问题

采样(sampling) 简单讲就是从一个给定的概率分布里面去随机生成样本.

生成模型 解决的问题是, 给定一个数据集, 我们想去学习到这个数据背后的概率分布.

GPT 说这两个问题互为反问题. 我从最终目的的角度看, 在真实的世界中, 它们其实要解决的问题是一样的 (因为大部分分布都是无法表达的复杂分布, 就算是在 sampling 问题中, 按道理说我们一开始能有的信息按道理说也就是一些样本点?)

我这里似乎说得不对, 因为一些基于物理问题的采样问题其实应该是有理论支撑的, 比如解决湍流、分子动力学、量子波函数近似(这些具体问题我还不清楚), 应该是有理论, 但是数学上没法明确地解析地解出分布.

所以我总结如下:

生成模型是解决我们之后如何采样的问题 (在一个没有理论的世界中去学习背后的理论, 就比如真实图片的分布规律), 是在从一堆数据中学习概率分布. 往往之后要用学到的这个概率分布去生成和数据集类似的数据, 所以叫生成模型.
采样是解决生成样本的问题. 简单的情况是给定概率分布, 直接采样. 但是很多时候概率分布复杂, 要么由具体理论(难解的公式), 要么是没有理论的数据.
在具体的实践中, 生成模型的方法可以用到采样中去, 因为在具体分布无法表达的情况下, 可以用生成模型学习分布, 当学习到的过程(从无序/噪声到目标分布)是可逆的, 那么就可以用来采样.

感觉下来我需要尝试去学习的事情:

根据具体的物理问题, 基于现有物理理论进行 sampling.
- 比如 SDE 解决天气模拟 (这里能出现 SDE 我很惊讶)
- 量子采样
生成模型的一些方法
- Normalizing Flow
- Diffusion Model
- GAN

附录: 常见采样方法

方法	思想	优点	缺点
直接采样	通过显式分布函数反演采样	精确、简单	仅适用于低维、可反演分布
拒绝采样	从包络分布筛选样本	理论简单、实现容易	高维效率极低
重要性采样	用加权修正近似目标分布	可用于估计期望	权重方差大、不稳定
MCMC	构造马尔可夫链收敛到目标分布	通用、高维适用	收敛慢、样本相关性强
变分近似	优化近似分布最小化 KL 散度	计算快、易并行	存在近似偏差

Flow Matching 笔记

自回归(Autoregressive (AR))相对于整批预测(Parallel (batch) prediction)的好处: 不会出现四不像的问题. 但是用于图像生成效率太低.

《基础代数学》作业 Week8-2

2025-11-05T00:00:00+08:00

设有范畴等价 $F:\mathcal{C}→\mathcal{D}$, $F^{-1}$ 是其拟逆. 则 $(F,F^{-1})$ 和 $(F^{-1},F)$ 是伴随对.

记 $G:=F^{-1}$. 只需证明 $(F,G)$ 是伴随对. 设我们有自然同构 $τ:GF→\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}, θ:FG→\mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$.

构造自然同构 $θ':FG→\mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ 为 $$\begin{equation} Θ_A':=\left[ FGA\xrightarrow{FGθ_A^{-1}}FGFGA\xrightarrow{Fτ_{GA}}FGA\xrightarrow{θ_A}A \right]. \end{equation}$$

构造自然映射(自然性由 $F,G$ 是函子以及自然变换的自然性给出) $$\begin{equation} \Phi_{X,Y}:\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y)→\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY), f↦\left[ X\xrightarrow{τ^{-1}_X} GFX\xrightarrow{Gf}GY \right]. \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Psi_{X,Y}:\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY)→\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y), g↦\left[ FX\xrightarrow{Fg}FGY\xrightarrow{Θ'_Y}Y \right]. \end{equation}$$ 可以证明 $\Psi_{X,Y}$ 和 $\Phi_{X,Y}$ 互为逆映射(关键证明见后面手写推导), 从而得到自然同构(对于 $X,Y$ 自然) $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y)≅\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY). \end{equation}$$

设 $_RM_S$ 和 $_SN_T$ 是双模.
(1) 若 $_SN$ 和 $_RM$ 均是投射模, 则 $M⊗_SN$ 是投射左 $R$-模;
(2) 若 $N_T$ 和 $M_S$ 均是投射模, 则 $M⊗_SN$ 是投射右 $T$-模.

(1) 我们有伴随对 $(M⊗_S-, \mathrm{Hom}_R(M,-))$, 即有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M⊗_SN, L)≅\mathrm{Hom}_S(N, \mathrm{Hom}_R(M,L)) \end{equation}$$ 对于 $L$ 是自然的. 于是, 给定任意 $R$-模满态射 $g:L↠L'$, 要证明映射 $\mathrm{Hom}_R(M⊗_S N,g)$ 是满态射, 只要证明 $\mathrm{Hom}_S(N,\mathrm{Hom}_R(M,g))$ 是满态射. 由于 $M$ 是投射左 $R$-模, 故映射 $\mathrm{Hom}_R(M,g)$ 是满态射. 由于 $N$ 是投射左 $S$-模, 故映射 $\mathrm{Hom}_S(N,\mathrm{Hom}_R(M,g))$ 是满态射, 从而映射 $\mathrm{Hom}_R(M⊗_S N,g)$ 是满态射, 即 $M⊗_S N$ 是投射左 $R$-模.

(2) 类似.

设 $_RM_S$ 和 $_RL_U$ 是双模. 若 $M_S$ 是平坦模且 $_RL$ 是内射模, 则 $\mathrm{Hom}_R(M,L)$ 是内射左 $S$-模.

我们有伴随对 $(M⊗_S-, \mathrm{Hom}_R(M,-))$, 即有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M⊗_SN, L)≅\mathrm{Hom}_S(N, \mathrm{Hom}_R(M,L)) \end{equation}$$ 对于 $N$ 是自然的. 于是, 给定任意 $S$-模单态射 $g:N↪N'$, 要证明映射 $\mathrm{Hom}_S(g,\mathrm{Hom}_R(M,L))$ 是满态射, 只要证明 $\mathrm{Hom}_R(\mathrm{Id}_M⊗_S g,L)$ 是满态射. 由于 $M_S$ 是平坦模, 故映射 $\mathrm{Id}_M⊗_S g$ 是单态射. 由于 $_RL$ 是内射模, 故映射 $\mathrm{Hom}_R(\mathrm{Id}_M⊗_S g,L)$ 是满态射, 从而映射 $\mathrm{Hom}_S(g,\mathrm{Hom}_R(M,L))$ 是满态射, 即 $\mathrm{Hom}_R(M,L)$ 是内射左 $S$-模.

设 $_SN_T$ 和 $_UL_T$ 是双模. 若 $_SN$ 是平坦模且 $L_T$ 是内射模, 则 $\mathrm{Hom}_T(N,L)$ 是内射右 $S$-模.

类似于上一题, 用右模上的 Tensor-Hom 伴随对.

在证明下一个问题之前, 我们证明一个引理:

设有 $R$-模中的态射列 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$, 则这是正合列当且仅当对于任何 $R$-模 $M$, 由函子 $\mathrm{Hom}_R(M,-)$ 作用后得到的列 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M,X)\xrightarrow{f∘-}\mathrm{Hom}_R(M,Y)\xrightarrow{g∘-}\mathrm{Hom}_R(M,Z) \end{equation}$$ 是正合列.

(⇒) 由函子性质.

(⇐) 取 $M=X$, 则 $gf=(g∘-)(f∘-)(\mathrm{Id}_X)$. 从而有典范单态射 $u:\mathrm{Im}f↪\mathrm{Ker}g$, $f=m\tilde{f}$ 是单满分解. 取 $W:=\mathrm{Ker}g$, 则由作用后的列的正合性, 知存在 $σ∈\mathrm{Hom}_R(\mathrm{Ker}g, X)$ 使得 $fσ=k$. 于是有 $ku\tilde{f}\sigma=m\tilde{f}\sigma=f\sigma=k$, 由 $k$ 是单态射可得 $u\tilde{f}\sigma=\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}f}$. 于是 $u$ 是满态射, 故为同构, 从而 $f$ 的像等于 $g$ 的核, 即列 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ 正合.

设 $F:S\mathbf{-Mod}→R\mathbf{-Mod}, G:R\mathbf{-Mod}→S\mathbf{-Mod}$, 且 $(F,G)$ 是伴随对. 则 $F$ 是右正合函子, $G$ 是左正合函子.

我们证明 $G$ 是左正合函子, $F$ 的情形类似.

任意给定 $S$-模的正合列 $$\begin{equation} 0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z, \end{equation}$$

我们要证明 $G$ 作用后得到的列 $$\begin{equation} 0→GX\xrightarrow{Gf}GY\xrightarrow{Gg}GZ \end{equation}$$ 是正合列. 由引理, 只需证明对于任意 $R$-模 $M$, 由函子 $\mathrm{Hom}_R(M,-)$ 作用后得到的列 $$\begin{equation} 0→\mathrm{Hom}_R(M,GX)\xrightarrow{Gf∘-}\mathrm{Hom}_R(M,GY)\xrightarrow{Gg∘-}\mathrm{Hom}_R(M,GZ) \end{equation}$$ 是正合列. 由于 $(F,G)$ 是伴随对, 故有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M,GN)≅\mathrm{Hom}_S(FM,N) \end{equation}$$ 对于 $N$ 是自然的. 于是, 由函子 $\mathrm{Hom}_R(M,-)$ 作用后得到的列同构于列 $$\begin{equation} 0→\mathrm{Hom}_S(FM,X)\xrightarrow{f∘-}\mathrm{Hom}_S(FM,Y)\xrightarrow{g∘-}\mathrm{Hom}_S(FM,Z), \end{equation}$$ 由 $\mathrm{Hom}_S(FM,-)$ 函子的左正合性知这是正合列. 由此可知 $G$ 作用后得到的列是正合列, 即 $G$ 是左正合函子.

《基础代数学》作业 Week8-1

2025-11-03T00:00:00+08:00

设 $M$ 和 $N$ 是 $k$ 上的线性空间, 分别有 $k$-基 $\{a_i\}_{i∈ I}, \{b_j\}_{j∈ J}$. 证明 $M⊗_k N$ 有 $k$-基 $\{a_i⊗ b_j\}_{i∈ I,j∈ J}$.

由张量积的定义可知 $\{a_i⊗ b_j\}_{i∈ I,j∈ J}$ 生成 $M⊗_k N$. 现证明其线性无关. 设 $$\begin{equation} \sum_{i∈ I,j∈ J} k_{ij}(a_i⊗ b_j)=0, \text{仅有有限项可能非零}. \end{equation}$$ 对于任意的 $k$ 线性映射 $f:M→k,g:N→k$, 可以得到 $k$-平衡映射 $$\begin{equation} h:M×N→k, (m,n)↦f(m)g(n). \end{equation}$$ 由张量积的定义可知存在唯一的 $k$-线性映射 $\bar{h}:M⊗_k N→k$ 使得 $\bar{h}(m⊗ n)=h(m,n)$. 于是 $$\begin{equation} 0=\bar{h}(\sum_{i∈ I,j∈ J} k_{ij}(a_i⊗ b_j))=\sum_{i∈ I,j∈ J} k_{ij}f(a_i)g(b_j). \end{equation}$$ 取 $f,g$ 使得 $f(a_{i_0})=1,f(a_i)=0 (i≠i_0), g(b_{j_0})=1,g(b_j)=0 (j≠j_0)$, 可得 $k_{i_0j_0}=0$. 由于 $i_0,j_0$ 任意, 故所有 $k_{ij}=0$. 于是 $\{a_i⊗ b_j\}_{i∈ I,j∈ J}$ 线性无关, 从而是 $M⊗_k N$ 的 $k$-基.

证明 $\mathbb{Z}_m(m≥2)$ 作为 $\mathbb{Z}$-模不是平坦模.

考虑短正合列 $0→\mathbb{Z}↪\mathbb{Q}↠\mathbb{Q}/\mathbb{Z}→0$, 作用张量函子 $\mathbb{Z}_m⊗_{\mathbb{Z}}-$ 后得到列 $0→\mathbb{Z}_m→ 0→0→0$, 不是正合列, 故 $\mathbb{Z}_m$ 不是平坦模.

证明主理想整环 $D$ 上的模 $M$ 是平坦模当且仅当 $M$ 是无挠模, 即若 $0≠d∈D, 0≠m∈M$, 则 $dm≠0$.

(⇒) (只用到 $D$ 是整环). 假设存在 $0≠d∈D, 0≠m∈M$ 使得 $dm=0$. 考虑单态射 (由整性保证) $$\begin{equation} f:D→D, x↦dx. \end{equation}$$ 作用张量函子 $-⊗_D M$ 后得到映射 $$\begin{equation} f⊗ 1_M:M→M, m'↦dm', \end{equation}$$ 不是单射, 矛盾. 于是 $M$ 是无挠模.

(⇐) 设 $M$ 是无挠模. 考虑使用 Baer 判别法. 对于 $D$ 的任一非平凡理想 $\mathfrak{a}$, 由于 $D$ 是主理想整环, 存在 $0≠a∈D$ 使得 $\mathfrak{a}=⟨a⟩=Da$. 我们有嵌入 $i:Da↪D$. 作用张量函子 $-⊗_D M$ 后, 进一步由同构 $D⊗_DM≅ M$ 得到交换图

于是 $i⊗ 1_M$ 是单态射, 故 $M$ 是平坦模.

OT-Flow

2025-11-02T00:00:00+08:00

概述

OT-Flow 是用最优传输(optimal transport, OT)理论求解归一化流(normalizing flow)的一种方法.

归一化流

什么是归一化流

归一化流是一个可逆映射 $f:\mathbb{R}^d→\mathbb{R}^d$, 可以将一个概率分布变换为标准正态分布. 核心是满足公式

$$\begin{equation} \log ρ_0(\mathbf{x}) = \log ρ_1(f(\mathbf{x})) + \log |\det J_f(\mathbf{x})|. \end{equation}$$

求归一化流的方式

1. 组合可逆层形成神经网络并训练其权重

这个看上去求出来的就是所谓的“离散归一化流”, 但是我没有很清楚.

2. 通过神经常微分方程 (Neural ODE) 求解

论文中说在连续归一化流(CNF)的情况下可以使用 Neural ODE 来求解. 但是我的疑惑在于是不是对于所有的概率分布都能用 Neural ODE 来求解? 还是说只能求解某一类概率分布? (因为感觉在归一化流在求解出来之前不太好给它分类说是不是 CNF)

Neural ODE 如下:

$$\begin{equation} \partial_t \begin{bmatrix} \mathbf{z}(\mathbf{x},t) \\[4pt] \ell(\mathbf{x},t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}(\mathbf{z}(\mathbf{x},t), t; \boldsymbol{\theta}) \\[4pt] \operatorname{tr}\!\big(\nabla \mathbf{v}(\mathbf{z}(\mathbf{x},t), t; \boldsymbol{\theta})\big) \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} \mathbf{z}(\mathbf{x},0) \\[4pt] \ell(\mathbf{x},0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\[4pt] 0 \end{bmatrix}. \end{equation}$$

这个玩意有两个变量但是却是 ODE 应该是因为我们是可以对于每一个 $x$ 单独去求解.

这里多的一个 $l(\mathbf{x},t)$ 分量我感觉很奇特, 因为按照我一开始的想法, 有了 $z$ 按道理说就知道了流长什么样子, 求 $z$ 的时候也没用到 $l$, 说明这个 $l$ 在理论上是多余的.

往后看我知道这个 $l$ 是为了帮助我们用模型去训练参数 θ ($l$ 在训练目标中出现).

问题: z 是怎么被求出来的?

我目前没想通的一个点: 为什么要训练出来一个特定的 $f$, 解出来的随便的一个 $f$ 不行吗?

背景知识补充: 对数似然与负对数似然

在机器学习, 特别是密度估计和生成模型中, 对数似然 (log-likelihood) 和负对数似然 (negative log-likelihood, NLL) 是衡量模型好坏的核心指标.

似然
设模型由参数 $θ$ 描述, 给出一个概率分布 $p_M(x;θ)$. 似然函数定义为在给定参数 $θ$ 下, 观测数据 $D={x_1,x_2,...,x_n}$ 出现的概率: 假设数据点独立同分布, 则似然函数为 $$\begin{equation} L(θ;D) = \prod_{i=1}^n p_M(x_i;θ). \end{equation}$$
对数似然
似然的缺点是数值上可能非常小, 容易导致浮点数下溢. 为了克服这个问题, 通常使用对数似然函数: $$\begin{equation} \log L(θ;D) = \sum_{i=1}^n \log p_M(x_i;θ). \end{equation}$$ 对数似然将乘积转化为求和, 计算更加稳定.
负对数似然
在机器学习中, 大家习惯于最小化损失函数, 于是通常使用负对数似然: $$\begin{equation} \text{NLL}(θ;D) = -\log L(θ;D) = -\sum_{i=1}^n \log p_M(x_i;θ). \end{equation}$$
期望负对数似然
当数据量非常大或者从一个真实数据分布 $p_0(x)$ 中采样数据时, 常考虑期望的负对数似然: 从真实分布 $p_0(x)$ 中随机抽取一个数据点 $x$ 时, 它在模型下的负对数概率的平均值是多少, 即 $$\begin{equation} \mathbb{E}_{x∼p_0}[-\log p_M(x;θ)] = -\int p_0(x) \log p_M(x;θ) \, dx. \end{equation}$$

背景知识补充: KL (Kullback-Leibler) 散度

KL 散度 $D_{KL}(p_0 || p_M)$ 衡量两个概率分布 $p_0$ 和 $p_M$ 之间的差异. 它定义为 $$\begin{equation} D_{KL}(p_0 || p_M) = \mathbb{E}_{x∼p_0}\left[\log \frac{p_0(x)}{p_M(x;θ)}\right] = \int p_0(x) \log \frac{p_0(x)}{p_M(x;θ)} \, dx. \end{equation}$$

量子力学基础

2025-10-30T00:00:00+08:00

量子力学的假设

状态空间

最简单也是我们最关心的量子力学系统是量子比特. 描述量子比特的物理系统是真实存在的, 目前我们可以忽略特定实现进行抽象的讨论.

演化

封闭量子系统的演化可用酉变换来描述.

封闭量子系统中态的演化由薛定谔方程描述: $$\begin{equation} \mathrm{i}ħ\frac{\mathrm{d}|\psi⟩}{\mathrm{d}} = H |\psi⟩, \end{equation}$$

《基础代数学》作业 Week7

2025-10-29T00:00:00+08:00

Let $M$ be a finite dimensional left module over a finite dimensional algebra $A$. Let $D=\mathrm{Hom}_k(-,k)$. Then $M$ is a projective module if and only if $D(M)$ is an injective right $A$-module.

Functors

are contravariant functors between the category of finite dimensional left $A$-modules and the category of finite dimensional right $A$-modules. It is clear that $D$ is a duality, i.e., $D∘D≅1$.

(⇒) Suppose that $_AM$ is projective. Consider any injective homomorphism $i:N→N'$ of right $A$-modules and any homomorphism $f:N→D(M)$. By applying $D$, we have

Since $_AM$ is projective, there exists a homomorphism $M→ D(N')$ such that the above diagram commutes. By applying $D$ again, we have the following commutative diagram:

Thus, $D(M)$ is an injective right $A$-module.

(⇐) Similar.

Remark. 似乎只能在小模范畴上做.

Let $e$ be an idempotent element of a finite dimensional $k$-algebra $A$. Then $D(eA)$ is an injective left $A$-module, and any injective left $A$-module is of this form.

Since $eA$ is a projective right $A$-module ($A_A≅eA⊕(1-e)A$), by the previous problem, $D(eA)$ is an injective left $A$-module.

For any injective left $A$-module $I$, by the previous problem, $D(I)$ is a projective right $A$-module. Since any projective right $A$-module is a direct summand of a free right $A$-module, say $A^{⊕n}$, there exists an idempotent element $e∈A^{⊕n}$ such that $D(I)≅eA$. Thus, $I≅D(eA)$.

Let $S$ be a simple module over a finite dimensional algebra $A$. Then $S$ can be embedded into an indecomposable injective $A$-module.

We have that $D(S)$ is a finite dimensional right $A$-module. There exists a projective right $A$-module $P$ such that $D(S)$ is a quotient module of $P$. By applying $D$ again, we have an injective homomorphism $S→D(P)$. Since $P$ is a projective right $A$-module, $D(P)$ is an injective left $A$-module. Decomposing $D(P)$ into a direct sum of indecomposable injective left $A$-modules (fintie direct sum is the same as finite product), we see that $S$ can be embedded into one of them (since $S$ is simple).

Let $A$ be a finite dimensional algebra. Then TFAE:

(1) $A$ is semisimple;

(2) Every left $A$-module is projective;

(3) Any short exact sequence of $A$-modules splits;

(4) Every left $A$-module is injective.

(1) ⇒ (2) Since $A$ is semisimple, every left $A$-module is semisimple. Then all surjective homomorphisms are split surjective (this is because the homomorphic image of $\pi$ will be isomorphic to the direct complement of $\ker \pi$), so every left $A$-module is projective (by an earlier problem).

(2) ⇒ (3) By the property of split short exact sequences in abelian categories.

(3) ⇒ (4) For any left $A$-module $I$, any short exact sequence $0→I→M→N→0$ splits, so $I$ is injective.

(4) ⇒ (1) We want to show that $_AA$ is semisimple. For any submodule $M$ of $_AA$, consider the short exact sequence $0→M→A→A/M→0$. Since $M$ is injective, the above short exact sequence splits, so that $A≅M⊕A/M$. Thus, $_AA$ is semisimple.

Solve the indecomposable injective modules of $A=k[x]/⟨x^n⟩ (n≥2)$.

We have shown that the only finite dimensional indecomposable projective module of $A$ is $A$ itself. By an earlier problem, the only indecomposable injective module of $A$ is $D(A)$.

Prove that $\mathbb{Z}_m$ is an injective $\mathbb{Z}_m$-module by using Baer’s criterion. If $d ∣ m$ and $d$ and $m/d$ has common prime factor, then $\mathbb{Z}_d$ is not an injective $\mathbb{Z}_m$-module.

(1) We first show that $\mathbb{Z}_m$ is an injective $\mathbb{Z}_m$-module. By Baer’s criterion, we need to show that for any ideal $I$ of $\mathbb{Z}_m$ and any homomorphism $h:I→\mathbb{Z}_m$, it can be extended to a homomorphism $h':\mathbb{Z}_m→\mathbb{Z}_m$. Since $\mathbb{Z}_m$ is a principal ideal ring, we have $I=⟨\bar{d}⟩$ for some $d∣m$. Let $h(\bar{d})=\bar{c}$. Since $\bar{c}⋅\overline{m/d}=h(\bar{m})=\bar{0}$, $\overline{c/d}$ is well defined in $\mathbb{Z}_m$.

We define a homomorphism $h':\mathbb{Z}_m→\mathbb{Z}_m$ by $h'(\bar{1})=\overline{c/d}$. It is clear that $h'$ is an extension of $h$. Thus, by Baer’s criterion, $\mathbb{Z}_m$ is an injective $\mathbb{Z}_m$-module.

(2) Now we show that if $d ∣ m$ and $d$ and $m/d$ has common prime factor, then $\mathbb{Z}_d$ is not an injective $\mathbb{Z}_m$-module. We only need to find an ideal $I$ of $\mathbb{Z}_m$ and a homomorphism $h:I→\mathbb{Z}_d$ such that it can not be extended to a homomorphism $h':\mathbb{Z}_m→\mathbb{Z}_d$. Since $d$ and $m/d$ has common prime factor, there exists a prime number $p$ such that $p∣d$ and $p∣m/d$. Let $I=⟨\overline{m/d}⟩$. We define a homomorphism $h:I→\mathbb{Z}_d$ by $h(\overline{m/d})=\bar{1}$. If there exists an extension homomorphism $h':\mathbb{Z}_m→\mathbb{Z}_d$, then we have $$\begin{equation} \bar{1}=h(\overline{m/d})=h'(\overline{m/d})=p h'(\overline{\frac{m}{dp}}). \end{equation}$$ So $$\begin{equation} 0≠ \overline{d/p} = \overline{d/p}h(\overline{m/d})= \overline{d/p}h'(\overline{m/d})= \overline{d} h'(\overline{\frac{m}{dp}}) = \bar{0}. \end{equation}$$ Thus, such extension homomorphism $h'$ does not exist, and by Baer’s criterion, $\mathbb{Z}_d$ is not an injective $\mathbb{Z}_m$-module.

Prove that $R$-module $M$ is an injective module if and only if for any left ideal $L$ of $R$ and any homomorphism $h:L→M$, there exists $m∈M$ such that $h(l)=lm,∀ l∈ L$.

(⇒) Since $M$ is injective, the homomorphism $h:L→M$ can be extended to a homomorphism $h':R→M$. Let $m=h'(1)$. Then for any $l∈L$, we have $h(l)=h'(l)=h'(l⋅1)=l⋅h'(1)=lm$.

(⇐) We use Baer’s criterion to prove this. For any left ideal $L$ of $R$ and any homomorphism $h:L→M$, by the assumption, there exists $m∈M$ such that $h(l)=lm,∀ l∈ L$. Now we can define a homomorphism $h':R→M$ by $h'(r)=rm$. It is clear that $h'$ is an extension of $h$. Thus, by Baer’s criterion, $M$ is injective.

《基础代数学》作业 Week6-2

2025-10-25T00:00:00+08:00

Prove that finite dimensional algebras are IBN rings.

Just consider the dimension.

The following statements about a module $P$ are equivalent:
(1) $P$ is projective;
(2) For any surjective homomorphism $\pi:M→P$, $\pi$ is split surjective;
(3) For any surjective homomorphism $\pi:M→P$, $P$ is a direct summand of $M$.

(1) ⇒ (2) Given a surjective homomorphism $\pi:M→P$, consider the identity homomorphism $1_P:P→P$. By the definition of projective module, there exists a homomorphism $f:P→M$ such that $\pi∘f=1_P$. Thus, $\pi$ is split surjective.

(2) ⇒ (3) Given a surjective homomorphism $\pi:M→P$, by (2), there exists a homomorphism $f:P→M$ such that $\pi∘f=1_P$. It is clear that $M= \ker \pi ⊕ \operatorname{im} f$, so that $P≅\operatorname{im} f$ is a direct summand of $M$.

(3) ⇒ (1) Consider a surjective homomorphism $\pi:F→P$ where $F$ is a free module. By (3), $P$ is a direct summand of $F$. Since free modules are projective, $P$ is also projective (direct summands of a projective module are also projective).

Let $e$ be an idempotent element of a ring $R$. Prove that the left $R$-module $Re$ is projective.

We have $$\begin{equation} Re⊕R(1-e)=R(e+1-e)=R. \end{equation}$$ Since $_RR$ is a free module, it is projective. Thus, its direct summand $Re$ is also projective.

Prove that a finite dimensional algebra $A$ is semisimple if and only if every finite dimensional $A$-module is projective.

(⇒) Since $A$ is semisimple, every finite dimensional $A$-module is semisimple. Then all surjective homomorphisms are split surjective (this is because the homomorphic image of $\pi$ will be isomorphic to the direct complement of $\ker \pi$), so every finite dimensional $A$-module is projective (by the previous problem).

(⇐) We want to show that $_AA$ is semisimple. For any submodule $M$ of $_AA$, consider the surjective homomorphism $\pi:A→A/M$. Since $A/M$ is projective, $\pi$ is split surjective, so that $A≅M⊕\operatorname{im} f$ for some homomorphism $f:A/M→A$. Thus, $_AA$ is semisimple.

Find all the finite dimensional indecomposable projective modules of $A=k[x]/⟨x^n⟩ (n≥2)$.

The only finite dimensional indecomposable projective module of $A$ is $A$ itself. Now we prove this.

We have shown in class that all the finite dimensional indecomposable modules of $A$ are $M_i = ⟨x^{n-i}⟩/⟨x^n⟩, i = 1, 2, \cdots, n$. It is clear that $M_n = A$ is projective. Now we show that for any $1 ≤ i < n$, $M_i$ is not projective. Consider the surjective homomorphism $\pi:A→M_i$ defined by $\pi(1 + ⟨x^n⟩) = x^{n-i} + ⟨x^n⟩$. If $M_i$ is projective, then $\pi$ is split surjective, and $M_i$ will be a direct summand of $A$. However, since $A$ is indecomposable, this is impossible. Thus, $M_i$ is not projective for any $1 ≤ i < n$.

《代数拓扑》第一次作业

2025-10-23T00:00:00+08:00

[P330, T1] Show that if $h, h' : X \to Y$ are homotopic and $k, k' : Y \to Z$ are homotopic, then $k \circ h$ and $k' \circ h'$ are homotopic.

Suppose $H : X \times I \to Y$ is a homotopy from $h$ to $h'$, and $K : Y \times I \to Z$ is a homotopy from $k$ to $k'$. Define a map $F : X \times I \to Z$ by $$\begin{equation} F(x,t)=K(H(x,t),t). \end{equation}$$ It is clear that $F$ is continuous, and $$\begin{equation} F(x,0) = K(H(x,0),0) = K(h(x),0) = k(h(x)), \end{equation}$$ $$\begin{equation} F(x,1) = K(H(x,1),1) = K(h'(x),1) = k'(h'(x)). \end{equation}$$ Thus, $F$ is a homotopy from $k \circ h$ to $k' \circ h'$, as desired.

[P330, T2] Given spaces $X$ and $Y$, let $[X, Y]$ denote the set of homotopy classes of maps of $X$ into $Y$.

(a) Let $I = [0, 1]$. Show that for any $X$, the set $[X, I]$ has a single element.

(b) Show that if $Y$ is path connected, the set $[I, Y]$ has a single element.

This problem is a special case of the next problem. So we only prove the next problem.

[P331, T3] A space $X$ is said to be contractible if the identity map $i_X : X \to X$ is nullhomotopic.

(a) Show that $I$ and $\mathbb{R}$ are contractible.

(b) Show that a contractible space is path connected.

(d) Show that if $X$ is contractible and $Y$ is path connected, then $[X, Y]$ has a single element.

(a) We will prove that any star-shaped subset of $\mathbb{R}^n$ is contractible, which includes $I$ and $\mathbb{R}$ as special cases. Suppose $X \subseteq \mathbb{R}^n$ is star-shaped with respect to a point $x_0 \in X$. Define a homotopy $H : X \times I \to X$ by $$\begin{equation} H(x,t) = (1-t)x + t x_0. \end{equation}$$ It is clear that $H$ is continuous, and $$\begin{equation} H(x,0) = x, \end{equation}$$ $$\begin{equation} H(x,1) = x_0. \end{equation}$$ Thus, $H$ is a homotopy from the identity map on $X$ to the constant map at $x_0$, showing that $X$ is contractible.

(b) Let $X$ be a contractible space. For any two points $x_1, x_2 \in X$, since the identity map on $X$ is nullhomotopic, there exists a homotopy $H : X \times I \to X$ such that $$\begin{equation} H(x,0) = x, \end{equation}$$ $$\begin{equation} H(x,1) = x_0, \end{equation}$$ for some fixed point $x_0 \in X$. Define a path $\gamma : I \to X$ by $$\begin{equation} \gamma(t) = \begin{cases} H(x_1, 2t), & \text{if } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, \\ H(x_2, 2-2t), & \text{if } \frac{1}{2} \leq t \leq 1. \end{cases} \end{equation}$$ It is clear that $\gamma$ is continuous, and $\gamma(0) = x_1$, $\gamma(1) = x_2$. Thus, $X$ is path connected.

(c) Let $Y$ be a contractible space, and let $f, g : X \to Y$ be any two continuous maps. Since the identity map on $Y$ is nullhomotopic, there exists a homotopy $H : Y \times I \to Y$ such that $$\begin{equation} H(y,0) = y, \end{equation}$$ $$\begin{equation} H(y,1) = y_0, \end{equation}$$ for some fixed point $y_0 \in Y$. Define a homotopy $F : X \times I \to Y$ by $$\begin{equation} F(x,t) = \begin{cases} H(f(x), 2t), & \text{if } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, \\ H(g(x), 2-2t), & \text{if } \frac{1}{2} \leq t \leq 1. \end{cases} \end{equation}$$ It is clear that $F$ is continuous (use the pasting lemma [Theorem 18.3]), and $$\begin{equation} F(x,0) = f(x), \end{equation}$$ $$\begin{equation} F(x,1) = g(x). \end{equation}$$ Thus, $F$ is a homotopy from $f$ to $g$, showing that $[X, Y]$ has a single element.

(d) Let $X$ be a contractible space and $Y$ be a path connected space. Let $f, g : X \to Y$ be any two continuous maps. Since $X$ is contractible, there exists a homotopy $H : X \times I \to X$ such that $$\begin{equation} H(x,0) = x, H(x,1) = x_0, \end{equation}$$
for some fixed point $x_0 \in X$. Since $Y$ is path connected, there exists a path $\gamma : I \to Y$ such that $$\begin{equation} \gamma(0) = f(x_0), \gamma(1) = g(x_0). \end{equation}$$
Define a homotopy $F : X \times I \to Y$ by $$\begin{equation} F(x,t) = \begin{cases} f(H(x, 3t)), & \text{if } 0 ≤ t ≤ \frac{1}{3}, \\ \gamma(3t-1), & \text{if } \frac{1}{3} ≤ t ≤ \frac{2}{3}, \\ g(H(x, 3-3t)), & \text{if } \frac{2}{3} ≤ t ≤ 1. \end{cases} \end{equation}$$ It is clear that $F$ is continuous (use the pasting lemma [Theorem 18.3]), and $$\begin{equation} F(x,0) = F(H(x,0)) = f(x), \end{equation}$$ $$\begin{equation} F(x,1) = F(H(x,0)) = g(x). \end{equation}$$ Thus, $F$ is a homotopy from $f$ to $g$, showing that $[X, Y]$ has a single element.

模型范畴的历史

2025-10-22T00:00:00+08:00

经典同伦论

拓扑上的同伦

代数上的同伦

模型范畴的提出

现代新进展

《基础代数学》作业 Week6-1

2025-10-20T00:00:00+08:00

设 $R$ 是域 $k$ 上所有对角元相等的上三角矩阵全体 (固定阶数) 作成的集合. 证明 $R$ 是局部环.

注意到 $R$ 中的不可逆元为全体严格上三角矩阵, 显然是一个理想, 于是 $R$ 是局部环.

Let $R$ be an Artinian ring or a Noetherian ring. Then $M$ can be decomposed into a finite direct sum of indecomposable modules.

If $M$ is itself indecomposable, then we are done. Otherwise, we have a nontrivial decomposition $M=M_1⊕M_2$. If one of $M_1,M_2$ is indecomposable, we keep it and decompose the other one. If both of them are decomposable, we decompose both of them. Since $R$ is Artinian or Noetherian, this process must stop in finite steps, yielding a decomposition of $M$ into a finite direct sum of indecomposable modules.

Prove that the homomorphic image of a local ring is still a local ring.

Let $R$ be a local ring with unique maximal ideal $\mathfrak{m}$ (also the the set of all non-invertible elements of $R$), and let $f:R→S$ be a surjective ring homomorphism. We want to show that $S$ is also a local ring. Notice that $S≅R/I$ for some ideal $I$ of $R$, and we have $I⊆\mathfrak{m}$. It is obvious that $\mathfrak{m}/I$ is an ideal of $R/I$. Now we want to show that it is exactly the set of non-invertable elements in $R/I$.

First, any element in the ideal $\mathfrak{m}/I$ is non-invertible, since otherwise $\mathfrak{m}/I=R/I$.

Conversely, if an element $r+I∈R/I, r∉I$ is non-invertible, then $r$ is non-invertible in $R$, hence $r∈\mathfrak{m}$, so that $r+I∈\mathfrak{m}/I$, as desired.

Prove that a finite dimensional algebra $A$ is a local ring if and only if the left regular module $_AA$ is indecomposable.

Since $A$ is a finite dimensional, $A$ has composition series.

(⇒) If $_AA$ is decomposable, i.e., $_AA=M_1⊕M_2$ for some nontrivial submodules $M_1,M_2$, then consider the idempotent endomorphism $e:A→A$ defined by $e(a)=a_1$ where $a=a_1+a_2$ with $a_i∈M_i$. It is clear that $e$ is neither $0$ nor $1$, contradicting the fact that in a local ring, the only idempotent elements are $0$ and $1$.

(⇐) If $A$ is not a local ring, then there exists an idempotent element $e∈A$ such that $e≠0,1$. Consider the left ideals $Ae$ and $A(1-e)$. It is clear that $_AA=Ae⊕A(1-e)$, contradicting the indecomposability of $_AA$.

《基础代数学》作业 Week5-2

2025-10-15T00:00:00+08:00

设 $M_1, M_2, N$ 都是 $M$ 的子模, 且 $M_2⊆ M_1$, $N+M_1=N+M_2, N∩M_1=N∩ M_2$. 则 $M_1=M_2$.

考虑如下交换图:

其中第一列是由嵌入 $M_2↪M_1$ 自然诱导的嵌入(故左边方块交换), 由条件知它是相等(同构); 最后一列是由嵌入 $M_2↪M_1$ 自然诱导的嵌入(故右边方块交换), 根据同构定理(见图中括号)以及条件知它是相等(同构). 故上图的确是两行正合列构成的交换图. 由五引理可知中间的嵌入也是同构, 从而 $M_1=M_2$.

证明 Noether 模的满自同态是同构.

设 $M$ 是 Noether 模, $f:M→M$ 是满同态. 考虑如下自然的子模升链: $$\begin{equation} \ker f ⊆ \ker f^2 ⊆ ⋯ ⊆ \ker f^n ⊆ ⋯ \end{equation}$$ 由 $M$ 是 Noether 模可知上面子模升链驻定, 即存在 $s\in\mathbb{N}$ 使得 $\ker f^s=\ker f^{s+1}$. 由 $f$ 是满同态可知 $f^s$ 也是满同态. 对于任意 $m∈\ker f$, 存在 $v∈ M$ 使得 $f^s(v)=m$, 从而 $0=f(m)=f^{s+1}(v)=f^s(v)=m$, 即 $\ker f = 0$, 故 $f$ 是单同态. 于是 $f$ 是同构.

Remark. 这里用到了一个论断: 单态射 + 满态射 = 同构. 这个论断在一般的范畴中不成立, 具有这种性质的范畴叫做 平衡范畴 (balanced category). 环范畴不是平衡范畴; 加法范畴也未必是平衡范畴. Abel 范畴都是平衡范畴, 一个简单的看法是考虑短正合列的可裂性, 例如, 考虑 Abel 范畴中既是满又单的态射 $f$, 考虑短正合列:

显然 $N→0$ 是可裂满, 所以 $f$ 是可裂单, 即 $f$ 有左逆 (也就是说在 Abel 范畴里面单态射等价于有左逆). 同理在 Abel 范畴里面满态射等价于有右逆. 于是 $f$ 有左逆又有右逆, 故 $f$ 是同构.

证明主理想整环是 Noether 环.

主理想整环的每个理想都是主理想, 从而是有限生成的, 于是主理想整环是 Noether 环.

设 $f:A→B$ 是环的满同态且 $A$ 是 Artin 环. 则 $B$ 是 Artin 环.

对于任意的 Abel 群 $M$, 我们有自同态环 $\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M)$ (赋予自然的环结构), 从而有反变 Hom 函子 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(-, \mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))$

, 将其作用到满同态 $A→B$ 上, 以得到单同态 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B,\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))\xrightarrow{-∘f}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A,\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))$. 从而所有的 $B$-模 $M$ 可以自然地视为 $A$-模且结构保持不变 (其实上述给出了一个 $B$-Mod 到 $A$-Mod 的忠实函子). 特别地, 左正则模 $_BB$ 可以自然地视为左 $A$-模 $_AB$. 由于 $A$ 是 Artin 环, 故 $_AB$ (由 $A↠B$ 是满态射知这是有限生成 $A$-模) 是 Artin 模, 从而 $_BB$ 也是 Artin 模(*), 故 $B$ 是 Artin 环.

(不使用函子语言的证明) 由提升, 做正则模 $_BB$ 自然就是左 $A$-模 $_AB$. 由于 $A$ 是 Artin 环, 故 $_AB$ (由 $A↠B$ 是满态射知这是有限生成 $A$-模) 是 Artin 模. 任意取 $_BB$ 的子模降链, 也是 $_AB$ 的子模降链, 故驻定. 于是 $_BB$ 也是 Artin 模, 故 $B$ 是 Artin 环.

Remark. 如果从$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(-,\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))$是“反变左正合函子”考虑是行不通的, 因为环范畴 $\mathbf{Ring}$ 不是 Abel 范畴, 没有正合列概念. 但是实际上, Hom 函子的左正合性只是它在能定义正合列的范畴里面的方便说法, 其实 $\mathrm{Hom}(-,?)$ 将满态射 $A→ B$ 变为单态射 $\mathrm{Hom}(B,?)↪\mathrm{Hom}(A,?)$ 是 (反变) Hom 函子的一个普遍性质, 因为它本质上是满态射的定义.

Q: 如何从范畴角度刻画有限生成? 如何从模范畴中读出环的信息, 如 Noether, Artin 等性质?

我的想法: Artin 性质就是模范畴中不可以一直有非平凡的子对象. Noether 和有限生成暂时看不出来.

设 $f:A→B$ 是环的满同态且 $A$ 是 Noether 环. 则 $B$ 是 Noether 环.

由提升, 做正则模 $_BB$ 自然就是左 $A$-模 $_AB$. 由于 $A$ 是 Noether 环, 故 $_AB$ (由 $A↠B$ 是满态射知这是有限生成 $A$-模) 是 Noether 模. 任意取 $_BB$ 的子模升链, 也是 $_AB$ 的子模升链, 故驻定. 于是 $_BB$ 也是 Artin 模, 故 $B$ 是 Artin 环.

Remark. 上面两个习题中的满态射条件其实都可以加强到 $_AB$ 是有限生成的.

设 $R$ 是左 Artin 环, 则任一有限生成左 $R$-模 $M$ 有合成因子.

因为 $R$ 是左 Artin 环, 从而 $R$ 也是左 Noether 环. 由于 $M$ 是有限生成左 $R$-模, 故 $M$ 是左 Artin 模也是左 Noether 模, 从而 $M$ 有合成因子.

Haynes Miller 代数拓扑讲义习题 - Chapter 1 Singular Homology

2025-10-14T00:00:00+08:00

《基础代数学》作业 Week5-1

2025-10-13T00:00:00+08:00

设 $S$ 是单 $R$-模, $M$ 是任一 $R$-模. 若 $nS≅nM$, 则 $S≅M$.

显然 $nS$ 的合成因子是 $n$ 个 $S$, 合成列如下 $$\begin{equation} 0⊊S⊊S^2⊊⋯⊊nS, \end{equation}$$

由 Jordan-Hölder 定理知 $nM$ 的合成因子也是 $n$ 个 $S$.

$nM$ 有子模序列 $$\begin{equation} 0⊊M⊊M^2⊊⋯⊊nM, \end{equation}$$ 它和上面的合成列有等价的加细, 而合成列已经无法加细且两个子模序列长度相同, 故这也是合成列. 从而合成因子 $M=M/0≅S$.

设 $M$ 是有合成列的 $R$-模, $S$ 是单 $R$-模且 $\mathrm{Hom}_R(M,S)≠0$. 则 $S$ 是 $M$ 的一个合成因子.

设 $M=M_0⊋M_1⊋⋯⊋M_t=0$ 是 $M$ 的一个合成列. 于是我们有短正合列 $$\begin{equation} 0→M_{i+1}→M_i→M_i/M_{i+1}→0, \quad i=0,1,⋯,t-1. \end{equation}$$ 作用左正合函子 $\mathrm{Hom}_R(-,S)$ 在上面短正合列上, 得到正合列 $$\begin{equation} 0→\mathrm{Hom}_R(M_i/M_{i+1},S)→\mathrm{Hom}_R(M_i,S)→\mathrm{Hom}_R(M_{i+1},S), \quad i=0,1,⋯,t-1. \end{equation}$$ 如果所有的 $\mathrm{Hom}_R(M_i/M_{i+1},S)=0$, 则由正合列可知 $\mathrm{Hom}_R(M_i,S)↪\mathrm{Hom}_R(M_{i+1},S)$ 是嵌入, 从而由 $\mathrm{Hom}_R(M_0,S)≠0$ 可以得到 $\mathrm{Hom}_R(M_t,S)≠0$, 矛盾.

《基础代数学》作业 Week3-2

2025-10-10T00:00:00+08:00

设 $0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z→0$ 是左 $R$-模短正合列. 设 $M$ 是左 $R$-模, $h:M→Y$ 是模同态且满足 $gh=0$. 则存在唯一的模同态 $α:M→X$, 使得 $fα=h$.

(这实际上就是 kernel 的泛性质)
对任意的 $m∈M$, 由于 $g(h(m))=0$ 且 $\ker g = \operatorname{im} f$, 故存在唯一的(唯一性由 $f$ 单保证) $x_m∈X$, 使得 $f(x_m)=h(m)$. 定义映射 $α:M→X,\ m↦x_m$. 容易验证 $α$ 是模同态且 $fα=h$.

这样的态射的唯一性由 $f$ 是单态射保证.

设 $0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z→0$ 是左 $R$-模短正合列. 设 $M$ 是左 $R$-模, $h:Y→M$ 是模同态且满足 $hf=0$. 则存在唯一的模同态 $β:Z→M$, 使得 $βg=h$.

(这实际上就是 cokernel 的泛性质)
对任意的 $z∈Z$, 由于 $g$ 是满射, 故存在 $y∈Y$, 使得 $g(y)=z$. 定义映射 $β:Z→M,\ z↦h(y)$. 由于 $hf=0$, 故 $h(y)$ 不依赖于 $y$ 的选取 ($y$ 的选取只会差一个 $\ker g=\operatorname{im}f$ 里面的元素). 容易验证 $β$ 是模同态且 $βg=h$.
这样的态射的唯一性由 $g$ 是满态射保证.

说明不存在非零同态 $π:\mathbb{Z}_m\to\mathbb{Z} (m>1)$.

$mf(1)=f(m)=f(0)=0$, 从而 $f(1)=0$, 故 $f=0$.

说明正合列 $0→m\mathbb{Z}\xrightarrow{i} \mathbb{Z} (m>1)$ 在反变函子 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{Z})$ 作用下不是正合列. 从而 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{Z})$ 不是反变正合函子.

如果是正合列, 则存在同态 $g:\mathbb{Z}→\mathbb{Z}$ 使得 $gi=f$, 其中 $f:m\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, mn↦n$, 这是不可能的 (因为 $f(1)$ 只能是整数, 不可能使得 $f(m)=1$).

在如下 $R$-模同态的图中

上下两行是短正合列且左边方块交换. 则存在唯一的模同态 $h:Z→Z'$ 使得右边方块交换. 并且, 若 $f$ 是满同态, 则有正合列 $0\to\ker f\xrightarrow{\widetilde{a}}\ker g\xrightarrow{\widetilde{b}}\ker h→ 0$. 若 $h$ 是单同态, 则有正合列 $0\to\mathrm{coker} f\xrightarrow{\overline{a}}\mathrm{coker} g\xrightarrow{\overline{b}}\mathrm{coker} h→ 0$.

根据上面证明过的 cokernel 的泛性质, 以及短正合列的定义, 可知 $h$ 的存在性和唯一性.
剩下两个是蛇引理的自然推论.

在如下 $R$-模同态的图中

上下两行是短正合列且右边方块交换. 则存在唯一的模同态 $f:X→X'$ 使得左边方块交换.

根据上面证明过的 kernel 的泛性质, 以及短正合列的定义, 可知 $f$ 的存在性和唯一性.

Monoidal Model Categories

2025-10-04T00:00:00+08:00

对于环上的模范畴进行推广, 环范畴的推广是 monoidal category, 模范畴的推广是 model category.

mondial model category 的例子:

Simplicial sets
Pointed simplicial sets
chain complexes of modules over a commutative ring
chain complexs of comodules over a commutative Hopf algebra

拓扑空间范畴不是 monoidal model category. 但是 $k$-spaces 和 compactly generated topological spaces 是 monoidal model category.

4.1 Closed Monoidal Categories and Closed Modules

Algebra	Category
rings	monoidal categories
commutative rings	symmetric monoidal categories
modules over a ring	modules over a monoidal category
algebras over a ring	algebras over a monoidal category
central and commutative algebras over a commutative ring	central and symmetric algebras over a symmetric monoidal category

一个范畴 $\mathcal{C}$ 上的 monoidal structure 是

一个 tensor product bifunctor $$\begin{equation} \mathcal{C}\times\mathcal{C} \xrightarrow{\otimes} \mathcal{C}, \end{equation}$$
一个 unit onject $S∈\mathcal{C}$,
一个 natural associativity isomorphism $$\begin{equation} a: (X⊗Y)⊗Z \xrightarrow{\cong} X⊗(Y⊗Z), \end{equation}$$
一个 natural left unit isomorphism $$\begin{equation} l: S⊗X \xrightarrow{\cong} X, \end{equation}$$
一个 natural right unit isomorphism $$\begin{equation} r: X⊗S \xrightarrow{\cong} X, \end{equation}$$

满足交换图:

设 $\mathcal{C},\mathcal{D},\mathcal{E}$ 是范畴. 一个从 $\mathcal{C}×\mathcal{D}$ 到 $\mathcal{E}$ 的 adjunction of two variables 是一个五元组 $(\otimes,\mathrm{Hom}_r,\mathrm{Hom}_l,φ_r,φ_l)$, 其中

$\otimes: \mathcal{C}×\mathcal{D} \to \mathcal{E}$ 是双函子,
$\mathrm{Hom}_r: \mathcal{D}^{op}×\mathcal{E} \to \mathcal{C}$ 是双函子,
$\mathrm{Hom}_l: \mathcal{C}^{op}×\mathcal{E} \to \mathcal{D}$ 是双函子,
$φ_r$ 和 $φ_l$ 是自然同构 $$\begin{equation} \mathcal{C}(C, \mathrm{Hom}_r(D,E)) \xrightarrow[\cong]{\varphi_r^{-1}} \mathcal{E}(C \otimes D, E) \xrightarrow[\cong]{\varphi_\ell} \mathcal{D}(D, \mathrm{Hom}_\ell(C,E)). \end{equation}$$

Simplicial Sets 上的模型结构

2025-10-03T00:00:00+08:00

3.1 Simplicial Sets

Simplicial category $Δ$ 的对象是 $$\begin{equation} [n]=\{ 0,1,\cdots,n \},\quad n≥0, \end {equation}$$ 态射是 weekly order-preserving maps (单调递增, 不要求严格). 显然 $Δ$ 构成一个范畴.

$Δ$ 有两个子范畴 $Δ_{+}, Δ_{-}$, 它们的态射分别是单射和满射. $Δ$ 中所有的态射都可以分解为一个单射复合一个满射.

$Δ$ 的生成元是 coface maps $d^i$ 和 codegeneracy maps $s^i$ :

$$\begin{equation} d^i: [n-1]→[n]∈Δ_+, \text{where the image of } d^i \text{ misses } i, \end{equation}$$ $$\begin{equation} s^i: [n]→[n-1]∈Δ_-, \text{where } s^i \text{ maps } i \text{ and } i+1 \text{ to } i. \end{equation}$$

这些态射满足以下 cosimplicial identities:

$$\begin{equation} d^j d^i = d^i d^{j-1}, \quad i< j, \end{equation}$$

$$\begin{equation} s^j d^i = \begin{cases} d^i s^{j-1}, & i< j \\ \mathrm{Id}, & i=j \text{ or } i=j+1 \\ d^{i-1} s^j, & i>j+1 \end{cases}, \end{equation}$$

$$\begin{equation} s^j s^i = s^{i-1} s^j, \quad i>j, \end{equation}$$

设 $\mathcal{C}$ 是任意一个范畴, 则定义 the category of cosimplicial objects in $\mathcal{C}$ 为函子范畴 $\mathcal{C}^Δ$, the category of simplicial objects in $\mathcal{C}$ 为函子范畴 $\mathcal{C}^{Δ^{op}}$. 最重要的例子是集合范畴上的 simplicial objects, 我们使用记号 $\mathbf{SSet}=\mathcal{C}^{\Delta^{^{\mathrm{op}}}}$, $\mathbf{SSet}$ 称为 the category of simplicial sets.

对于一个 simplicial set $K$, 记 $$\begin{equation} K_n := K[n], \end{equation}$$ 并称 $K_n$ 是 $K$ 的 $n$-simplices 的集合.

每个 simplicial set 都 small.

Finite simplicial set 都 finite.

(我还没搞清楚第一个 finite 是什么意思)

有一个非常重要的函子 $$\begin{equation} Δ[-]: Δ → \mathbf{SSet}, \quad [n] \mapsto Δ[n] = Δ(-,[n]) = \mathrm{Hom}_Δ(-,[n]). \end{equation}$$ 每一个 $Δ[n]$ 其实就是一个反变的 Yoneda 函子 (看成从 $Δ^{^{\mathrm{op}}}$ 出发的话就是共变的). 于是根据 Yoneda Lemma 我们有自然同构 $$\begin{equation} \mathbf{SSet}(Δ[n], K)≅ K_n, \end{equation}$$

Hopf Algebra 基础知识

2025-10-02T00:00:00+08:00

Algebra 的图表刻画

设 $A$ 是一个 $k$-vector space, 连同 $k$-linear maps $$\begin{equation} m:A⊗A→A, \quad u:k→A. \end{equation}$$ 这两个 maps 给出 $A$ 上的一个 $k$-algebra 结构(此时 $m$ 称为 multiplication, $u$ 称为 unit map) , 当且仅当满足如下交换图:

Coalgebra

有了 algebra 的图表刻画, 那么我们就可以容易地得到 coalgebra 的概念.

(Coalgebra)
设 $C$ 是一个 $k$-vector space, 连同 $k$-linear maps $$\begin{equation} \Delta: C→C⊗C, \quad \epsilon: C→k. \end{equation}$$ $C$ 称为一个 coalgebra (此时 $Δ$ 称为 comultiplication(或 coproduct), $ε$ 称为 counit), 如果满足如下交换图:

Remark. The second diagram is called “coassociativity” of ∆.

Coalgebra 的 Sweedler notation

Algebra 和 Coalgebra 的对偶性

简单来讲, 给定一个 coalgebra, 它的向量空间对偶有自然的 algebra 的结构. 反之未必.

Coalgebra 的对偶是 Algebra

设 $C$ 是一个 $k$ 上的 coalgebra. Claim: 对偶空间 $C^*$ 上有自然的 $k$-algebra 结构.

对于 $f,g∈C^*=\mathrm{Hom}_k(C,k)$, 定义 $fg∈ C^*$ 为 $$\begin{equation} [fg](c)=\sum f(c_{(1)})⊗ g(c_{(2)})=(f⊗g)∘Δ(c), \end{equation}$$

模型范畴例子

2025-10-01T00:00:00+08:00

四个不同的例子:

Frobenius ring 上的模范畴
环上的模的 chain complexes
拓扑空间范畴
Hopf algebra 上的 comodules 的 cochain complexes

2.1 Cofibrantly Generated Model Categories

这个部分是为后面讨论例子作的准备: 证明一个范畴有模型结构是很难的, 这个部分我们尝试去减少我们要 check 的条件.

主要工具: small object argument, 它告诉我们如何去构造 functorial factorizations. 为了引入这个工具, 我们需要一些处理 infinite compositions 的技术.

2.1.1 Ordinals, Cardinals, and Transfinite Compositions

对于一个 ordinal, 我们可以自然地将它看成一个范畴: $α$ 到 $β$ 有唯一的一个态射当且仅当 $α≤β$.

设 $\mathcal{C}$ 是一个有所有 small colimits 的范畴, $λ$ 是一个 ordinal. 一个 $λ$-sequence in $\mathcal{C}$ 是一个 colimit-preserving functor $X:λ→\mathcal{C}$, 通常写作 $$\begin{equation} X_0 → X_1 → \cdots → X_β → \cdots \end{equation}$$ 由于 $X$ preserves colimits, 对于所有的 limit ordinals $γ<λ$, 诱导的态射 $$\begin{equation} \mathrm{colim}_{β<γ} X_β \rightarrow X_γ \end{equation}$$ 是一个同构. 我们称态射 $X_0→\mathrm{colim}_{β<λ} X_β$ 为这个 $λ$-sequence 的 composition.

回忆一下 cardinal 的定义: 对于一个集合 $A$, 它的 cardinality 是所有与 $A$ 有双射的 ordinals 中最小的 ordinal $|A|$. 一个 cardinal 是一个满足 $|κ|=κ$ 的 ordinal $κ$.

令 $γ$ 是一个 cardinal. 一个 ordinal $α$ 是 $γ$-filtered, 如果它是一个 limit ordinal, 并且对于所有的 $A⊆α, |A|≤γ$, 都有 $\sup A<α$.

设 $\mathcal{C}$ 是一个有所有 small colimits 的范畴, $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的一些态射的 collection, $A$ 是 $\mathcal{C}$ 的一个对象. 设 $κ$ 是一个 cardinal. 我们说 $A$ 是 $κ$-small relative to $\mathcal{D}$, 如果对于所有的 $κ$-filtered ordinals $λ$ 和所有的 $λ$-sequences $X$ 使得对于 $β+1<λ$ 都有 $X_β→X_{β+1}$ 属于 $\mathcal{D}$, 集合之间的映射 $$\begin{equation} \mathrm{colim}_{β<λ} \mathcal{C}(A,X_β) \rightarrow \mathcal{C}(A, \mathrm{colim}_{β<λ} X_β) \end{equation}$$ 是一个同构. 我们说 $A$ 是 small relative to $\mathcal{D}$, 如果存在一个 cardinal $κ$, 使得 $A$ 是 $κ$-small relative to $\mathcal{D}$. 我们说 $A$ 是 small, 如果它 small relative to $\mathcal{C}$.

(Every set is small)

($R$-module is small, fintiely presented module is finite)
设 $A$ 是一个 $R$-module. 令 $κ=|A|(|A|+|R|)$.

2.1.2 Relative $I$-cell complexes and the Small Object Argument

知道某些对象是 small 的好处是可以帮助我们构造 functorial factorizations.

设 $I$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 里的一个态射类.

一个态射是 $I$-injective,

设 $(F,U,φ):\mathcal{C}→\mathcal{D}$ 是一个 adjunction, $I$ 是 $\mathcal{C}$ 里的一个态射类, $J$ 是 $\mathcal{D}$ 里的一个态射类. 则

$U(FI\text{-inj})⊆ I\text{-inj}$.
$F(I\text{-cof})⊆FI\text{-cof}$.
$F(UJ\text{-proj})⊆J\text{-proj}$.
$U(J\text{-fib})⊆UJ\text{-fib}$.

Remark. 显然以上几个态射类都对于 pushout (或 pullback) 以及 transfinite composition 封闭, 这主要是 LLP 或 RLP 的性质.

(relative $I$-cell complex)

Relative $I$-cell complexes 有以下性质:

它是特殊的一类 $I$-cof, 即 $I$-cell ⊆ $I$-cof (一般的 $I$-cof 我们难以描述, 但是 relative $I$-cell complexes 我们可以比较容易地描述).
$I$-cell 满足对于 transfinite composition 的封闭性.
$I$ 中态射的 coproduct 的 pushout 都在 $I$-cell 里面 (特别地, pushout 都在).

Remark. 第三点的证明很有意思, 态射的 coproduct 的 pushout 可以看成 (随便取一个次序, 具体操作是将指标集合对应到一个 ordinal) 每一个单项的 pushout 的 transfinite composition.

(The Small Object Argument)
设 $C$ 是一个有所有 small colimit 的范畴. $I$ 是 $C$ 里面的一个态射类. 如果 $I$ 里面的每一个态射的 domain 相对于 $I$-cell 都是 small 的. 则对于任意态射 $f$, 都有函子性分解 $(\gamma,\delta)$, 即 $f=δ(f)∘γ(f)$, 使得 $δ(f)∈I$-inj, $γ(f)∈I$-cell.

Remark. 我觉得这个特别神奇, 因为居然只要知道 $I$ 这样一个随意的一个态射类, 就可以给所有的态射都构造出一个 functorial factorization.

推论的证明使用了 The Retract Argument ($f$ 如果有函子性分解 $f=pi$, 如果 $f$ 对于 $p$ 有 LLP, 则 $f$ 是 $i$ 的 retract).

2.1.3 Cofibrantly Generated Model Categories

关键技术点:

什么是 cofibrantly generated model category.
什么是 generating cofibrations 的集合 $I$.
什么是 generating trivial cofibrations 的集合 $J$.

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴. 我们说 $\mathcal{M}$ 是 cofibrantly generated, 如果存在两个集合 $I$ 和 $J$ 的态射, 使得

$I$ 中态射的 domain 都 small relative to $I$-cell.
$J$ 中态射的 domain 都 small relative to $J$-cell.
$𝖥𝗂𝖻 = J\text{-inj}$.
$𝖳𝖥𝗂𝖻 = I\text{-inj}$. 这里的 $I$ 和 $J$ 分别是 generating cofibrations 和 generating trivial cofibrations 的集合.

知道一个模型范畴是 cofibrantly generated 有很多好处:

更容易 check 一个函子是不是 Quillen functor.

设 $\mathcal{C}$ 是一个有 small colimits and limits 的范畴. 设 $\mathcal{W}$ 是 $\mathcal{C}$ 的一个子范畴, $I$ 和 $J$ 是 $\mathcal{C}$ 的态射集合. 则当且仅当以下条件成立时, 存在一个 $\mathcal{C}$ 上的 cofibrantly generated 模型结构, 使得 $\mathcal{W}$ 是 weak equivalences, $I$ 是 generating cofibrations, $J$ 是 generating trivial cofibrations:

$\mathcal{W}$ 满足 2-out-of-3 且对于 retract 封闭.
$I$ 的 domain 都 small relative to $I$-cell.
$J$ 的 domain 都 small relative to $J$-cell.
$J\text{-cell}⊆\mathcal{W}∩I\text{-cof}$.
$I\text{-inj}⊆\mathcal{W}∩J\text{-inj}$.
Either $\mathcal{W}∩I\text{-cof}⊆J\text{-inj}$ or $\mathcal{W}∩J\text{-inj}⊆I\text{-inj}$.

2.2 模范畴的稳定范畴

最简单的非平凡模型结构: Frobenius 环上的模范畴, 上面有稳定模型结构.

一个环 $R$ 是 (left) Frobenius ring, 如果所有的 projective left $R$-modules 都是 injective left $R$-modules, 反之亦然.

(Examples of Frobenius rings)

有限群的群代数 $k[G]$.
finite graded connected Hopf algebra over a field.

$f,g$ 稳定等价 (stably equivalent) , 如果 $f-g$ 通过一个 projective module 分解.

Remark. 我们一般只对 Frobenius ring 的模范畴里面的稳定等价感兴趣.

稳定等价是等价关系且与复合相容.

$R$-modules 的 stable category 是一个 category, 它的对象是所有的 left $R$-modules, 态射是 stable equivalence classes of morphisms.

一个态射 $f$ 被称为 stable equivalence, 如果它在 stable category 里面是同构.

目标: 给 $R$ 上的环范畴一个 (cofibrantly generated) 模型结构, 使得它的 homotopy category 就是 stable category.

stable equivalences 对于 retract 封闭.
stable equivalences 满足 2-out-of-3.
对于投射模 $P$, 自然嵌入 $M→M⊕P$ 是 stable equivalence.
对于投射模 $P$, 自然投影 $M⊕P→M$ 是 stable equivalence.

证明使用了两个很重要的事实: 一是同构对于 retract 封闭, 二是函子保持 retract.

Remark. 我觉得这里的 stable equivalences 不仅满足 2-out-of-3, 如果两个态射的复合是 stable equivalence, 那么这两个态射都是 stable equivalences. 这是同构的性质.

Remark. 第四个 Hovey 上写的是 $M⊕P→P$, 我觉得他写错了.

为了给定 $R$-mod 上一个 cofibrantly generated 模型结构, 我们需要一个 generating cofibrations 的集合 $I$ 和一个 generating trivial cofibrations 的集合 $J$.

为此, 我们定义:

$I$ 是集合 $\mathfrak{a}→R$, 其中 $\mathfrak{a}$ 取遍所有的 left ideals of $R$.
$J$ 是集合 $0→R$.
𝖥𝗂𝖻 = $J$-inj.
𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = $I$-cof.
𝖶𝖾𝗊 = stable equivalences.

下面我们证明上述定义的 𝖥𝗂𝖻, 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻, 𝖶𝖾𝗊 构成一个模型结构.

𝖥𝗂𝖻 = surj.

设 $R$ 是 Frobenius ring. 则 𝖳𝖥𝗂𝖻 = surjection with projective kernel.

Remark. 这里是不是自然出现了遗传性条件?

设 $R$ 是任意一个环. 则一个态射 $p∈I\text{-inj}$ 当且仅当 $p$ 是一个 surjection with injective kernel.
从而如果 $R$ 是 Frobenius ring, 则 $I\text{-inj} = 𝖳𝖥𝗂𝖻$.

另一个方向的证明要用到 Baer 判别法.

对于 cofibrations 也有类似的一些结果:

设 $R$ 是任意 ring. $I$-cof = injection.

主要是根据上面证明过的 $I$-inj 就是 surjection with injective kernel. 所以只要证明 injection 等价于 LLP with respect to 所有的 surjection with injective kernel 就可以了.

证明 injection 对于所有的 surjection with injective kernel 有 LLP, 直接根据上面一条引理的证明即可. 也就是说, 我们可以总结出如下交换图表:

对于另外一个方向, 即证明对于所有 subjection with injective kernel 都有 LLP 的态射是 injection. 考虑从 domain 嵌入到一个 injective module, 这时 LLP 相当于给出一个提升, 而一个态射前项复合一个态射是 injection 意味着它自己是 injection. 图表如下:

设 $R$ 是 Frobenius ring. 则 $J$-cof = injection with projective cokernel. 特别地, $J$-cof 里面的态射都是 stable equivalences.

设 $R$ 是 Frobenius ring. 则 $R$-mod 上有一个 cofibrantly generated model structure, 其中 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻=inj, 𝖥𝗂𝖻=surj, 𝖶𝖾𝗊=stable equivalences.
如果 $R$ 是 Noetherian, 则这个模型结构 finitely generated.

事实上, 只有 Frobenius 环上的模范畴能作为这样的 $I$ 和 $J$ 给出的 cofibrantly generated 模型范畴. 可以证明 $I$ 和 $J$ 给出的几种态射类的定义保证了 injective module 等价于 projective module, 并且保证了只有 stable equivalneces 可以作为 weak equivalences.

Frobenius 环范畴上的每个对象都是 fibrant 和 cofibrant.

2.3 Chain Complexes of Modules over a Ring

考虑 $R$ 上的 chain complexes 范畴, 记作 $\text{Ch}(R)$. (这里的复形都是降链的)

$\text{Ch}(R)$ 里面所有的 objects 都 small. 每个有限表现模的有界复形都 finite.

给定一个 $R$-模 $M$, 我们定义以下两个复形 (更可以看成是从模范畴到复形范畴到函子):

$S^n(M)$ : 在度数 $n$ 处是 $M$, 其他度数都是零, 所有的微分都是零.
$D^n(M)$ : 在度数 $n$ 和 $n-1$ 处是 $M$, 其他度数都是零, 唯一非零的微分是 $d_n=\mathrm{Id}_M$.

并且记 $S^n=S^n(R), D^n=D^n(R)$.

我们定义:

$I=\{S^{n-1}→D^n\}$
$J=\{0→D^n\}$
𝖥𝗂𝖻 = $J$-inj.
𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = $I$-cof.
𝖶𝖾𝗊 = quasi-isomorphisms (homological isomorphisms).

𝖶𝖾𝗊 对于 retract 封闭且满足 2-out-of-3.

定义函子 $D^n$ 的一个非常重要的点是, $D^n$ 是 evalution 函子 $\mathrm{Ev}_n$ 点左伴随.

2.4 Topological Spaces

$\mathbf{Top}$ 和集合范畴、环的模范畴、环的模的 chain complexes 范畴的一个区别是: 不是所有 $\mathbf{Top}$ 中的对象都是 small 的.

我们定义:

𝖶𝖾𝗊 = $\{f:X→Y∣ π_n(f,x) \text{ is an isomorphism, }∀n≥0,∀ x∈X\}$.
$I' = \{\text{boundary inclusions }S^{n-1}→D^n,∀n≥0\}$.
$J' = \{\text{inclusions }D^n→D^n×I \text{ which take } x \text{ to } (x,0),∀n≥0\}$.
𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = $I'$-cof.
𝖥𝗂𝖻 = $J$-inj.

2.5 Chain Complexes of Comodules over a Hopf Algebra

《基础代数学》作业 Week3-1

2025-09-29T00:00:00+08:00

在一个范畴中, 如果存在零对象, 则它在同构意义下是唯一的.

设 $0,0'$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 中的两个零对象. 则存在唯一的态射 $f:0→0'$, $g:0'→0$. 由零对象的定义知 $f,g$ 的复合只能是恒等态射(因为零对象到自己只有唯一的态射, 只能是恒等态射). 故 $0\cong 0'$.

左 $R$-模范畴 $R-\mathrm{Mod}$ 中的态射是单态射(满态射)当且仅当它是模的单同态(满同态).

(⇐) 同态是单同态(满同态)自然是集合意义下的单射(满射), 从而自然有集合意义下的左逆(右逆), 从而自然是范畴意义下的单态射(满态射).

(有右逆可能要用到选择公理)

(单, ⇒) 设 $f:M→N$ 是单态射. 对于任意 $m∈M$, 考虑态射(模同态) $φ_m:R→M, r↦rm$. 若 $f(m)=0$, 则 $(f∘φ_m)(r)=f(rm)=rf(m)=0,∀ r∈ R$, 即有 $f∘φ_m=0=f∘φ_m$. 由 $f$ 是单态射可得 $φ_m=0$, 从而 $m=φ_m(1)=0$. 故 $f$ 是单同态.

(或者也可以用下面一题一样的方法, 更方便)

(满, ⇒) 设 $f:M→N$ 是满态射. 考虑自然投射 $π:N→N/\mathrm{Im}f$, 则 $π∘f=0$. 由 $f$ 是满态射可知 $π=0$, 从而 $\mathrm{Im}f=N$. 故 $f$ 是满同态.

群范畴 $\mathbf{Grp}$ 中的态射是单态射(满态射)当且仅当它是群的单同态(满同态).

(⇐) 同态是单同态(满同态)自然是集合意义下的单射(满射), 从而自然有集合意义下的左逆(右逆), 从而自然是范畴意义下的单态射(满态射).

(有右逆可能要用到选择公理)

(单, ⇒) 设 $f:G→H$ 是单态射. 考虑自然嵌入 $i:\mathrm{Ker}f↪G$ 以及平凡同态 $0: \mathrm{Ker}f→G, g↦ e_G$, 则 $f∘i=f∘0$. 由 $f$ 是单态射可得 $i=0$, 从而 $\mathrm{Ker}f=\{e_G\}$. 故 $f$ 是单同态.

(满, ⇒) 设 $f:A→B$ 是满态射. 考虑反证, 假设 $f$ 不是群满同态.

如果 $\mathrm{Im}f \lhd B$, 则考虑自然投射 $π:B→B/\mathrm{Im}f$, 则 $π∘f=0$. 由 $f$ 是满态射可知 $π=0$, 从而 $\mathrm{Im}f=B$. 矛盾.

故考虑 $[B : \mathrm{Im}f]>2$. 下面来证明存在不同的两个群同态 $g,h: B→\mathrm{Sym}B$ 使得 $g∘f=h∘f$.

考虑右陪集空间 $\mathrm{Im} f\backslash B$, 由于其元素个数大于 $2$, 故存在 $σ∈\mathrm{Sym}(\mathrm{Im}f\backslash B)$ 使得 $σ≠1$ 且 $σ$ 有不动点. 下面我们定义 $p∈\mathrm{Sym}(B)$. 首先固定一个右陪集的代表元集 $R$, 即对于任意的 $b∈ B$, $b$ 可以唯一地表示成 $b=cr$, 其中 $r∈R, c∈\mathrm{Im}f$. 现在对于任意的 $b=cr∈B$, 定义 $p(b)=cr'$, 其中 $r'∈R$ 是 $σ((\mathrm{Im}f) r)$ 的代表元. 显然 $p\in\mathrm{Sym}(B)$, 同时满足 $p≠1$ 且 $p$ 有不动点.

下面定义 $$ g: B\to\mathrm{Sym}(B),\quad b\mapsto [x\mapsto bx], $$ 以及 $$ h: B\to\mathrm{Sym}(B),\quad b\mapsto pg(b)p^{-1}. $$

首先注意到 $g≠h$, 否则对于任意的 $b∈B$, 都有 $pg(b)=g(b)p$, 并且对于任意的 $x∈B$, 有 $p(bx)=bp(x)$, 取 $x$ 为 $p$ 的不动点, 则有 $p(bx)=bx$, 而 $p≠1$, 存在 $b∈B$ 使得等式不成立. 从而 $g≠h$.

另外, 注意到对于任意的 $b∈B, x∈B$, 有 $$\begin{equation} (h∘f)(b)(x)= pg(f(b))p^{-1}(x)=p(f(b)p^{-1}(x))\overset{(*)}{=}f(b)p(p^{-1}(x))=f(b)x=(g∘f)(b)(x). \end{equation}$$

$(*)$ 这一步使用了 $p$ 的定义. 从而 $g∘f=h∘f$. 矛盾.

环范畴 $\mathbf{Ring}$ 中的态射是单态射当且仅当它是环的单同态; 但是, 环范畴 $\mathbf{Ring}$ 中的满态射未必是环的满同态.

(⇐) 同态是单同态(满同态)自然是集合意义下的单射(满射), 从而自然有集合意义下的左逆(右逆), 从而自然是范畴意义下的单态射(满态射).
(有右逆可能要用到选择公理)

(单, ⇒) 设 $f:R→S$ 是单态射. 考虑自然嵌入 $i:\mathrm{Ker}f↪R$ 以及平凡同态 $0: \mathrm{Ker}f→R, r↦ 0_R$, 则 $f∘i=f∘0$. 由 $f$ 是单态射可得 $i=0$, 从而 $\mathrm{Ker}f=\{0_R\}$. 故 $f$ 是单同态.

(满, ⇏) 设 $f:\mathbb{Z}→\mathbb{Q}$ 是自然嵌入. 则 $f$ 是满态射 (考虑 $f,g:\mathbb{Q}→R$ 是环同态, 若它们限制到 $\mathbb{Z}$ 上相等, 则对于任意的 $\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$, $m,n\in\mathbb{Z}$, 如果 $f(\frac{m}{n})≠g(\frac{m}{n})$, 则 $f(m)≠g(m)$, 矛盾), 但是不是环满同态.

拓扑空间范畴是否自对偶

2025-09-28T00:00:00+08:00

模型范畴中定义的 cylinder object 来自于拓扑空间里面的 $X×[0,1]$.

path object 来自于拓扑空间里面的 $Y^[0,1]$ (即所有 $[0,1]$ 到 $Y$ 的连续映射组成的空间, 拓扑是 compact-open 拓扑).

一个自然的问题是它们是不是互为对偶的.

要回答这个问题之前首先要问: 拓扑空间范畴是不是自对偶的?

我最开始想到的是, 在拓扑空间范畴里面可以自然地取任意 coproduct (我猜想这是因为在定义 open set, 也就是 topogical structure 的时候, 任意并实际上就和 coproduct 有关, 因为集合范畴的 coproduct 就是 union).

在学基础拓扑学的时候, 有积拓扑和箱拓扑的区别. 但是只有前者是范畴意义下的积 (同时它是使得自然投影都是连续的最粗的拓扑).

如何看待 cyliner object 和 path object 互为对偶?

高阳学长给出的回答是前者是 tensor 后者是 hom.

模型范畴入门列表

2025-09-27T00:00:00+08:00

基本功

闭模型结构定义、基本性质（左右同伦、Quillen 定理）
Hovey 模型结构（Abel 范畴中的模型结构）、Hovey Triple 和 Hovey 模型结构一一对应、Cotorsion Pair 的构造
Weakly Projective Model Category、和遗传完备 cotorsion pair 一一对应
将模范畴的导出范畴实现为 Abel 模型结构
将模范畴的同伦范畴实现为模型结构
Hovey 模型结构的同伦范畴是三角范畴

参考资料

问题

Q：加法范畴上构造新的模型结构

Q：模型结构的应用

insights

说模型结构, 其实就是在说 “同伦理论”, 这两个事情是同义词, 模型范畴是目前同伦理论最好的语言.

拓扑里面的同伦论, 其实是模型范畴在拓扑里面的一个应用.

suggestions

多看多习惯, 一开始不习惯很正常.

目标: 看 20 遍模型的定义和基本性质证明.

模型范畴定义和基本性质

2025-09-27T00:00:00+08:00

索引

定义

homotopy “category” $\mathrm{Ho}\ \mathcal{C}$
some special objects
- cylinder object for $B$
- path object for $X$。
- left homotopy
  - Q: 为什么这么定义?
- right homotopy
- homotopic
- homotopy equivalence
Quillen functors
- left Quillen functor
- right Quillen functor
- Quillen adjunction
derived functors
- total left derived functor
- total right derived functor

基本性质

1 模型范畴

1.1 模型范畴的定义

给定范畴 $\mathcal{C}$, 我们用 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 表示态射范畴.

(retract of a morphism)

(functorial factorization(函子性分解)) 一对 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}→\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 的函子 $(α,β)$,
使得 $f=β(f)∘α(f)$ for all $f∈\mathrm{Mor}\mathcal{C}$.

(lifting property)

$i$ 有 left lifting property with respect to $p$ (或 $p$ 有 right lifting property with respect to $i$) 如果对于任意交换图

存在 $h$ 使得图表交换.

(model structure (模型结构), [Hovey])
一个范畴 $C$ 上的 model structure (模型结构) 是
3 个子范畴 (weak equivalences, cofibrations, fibrations) + 2个 functorial factorizations $(α,β)$ 和 $(γ,δ)$
满足以下公理:

(CM1) (2-out-of-3) f, g, gf 中有两个是 weak equivalences 中则第三个也是.

(CM2) (retracts) 3 个子范畴都对 retract 封闭.

(CM3) (lifting) TC 对于 F 有 LLP; C 对于 TF 有 LLP.

(CM4) (factorization) 对于每个态射 $f$, $α(f)$ 是 C, $β(f)$ 是 TF; $γ(f)$ 是 TC, $δ(f)$ 是 F.

(model category (模型范畴), [Hovey])
模型范畴 = 模型结构 + 有 small limits and colimits.

这里来谈论一下 cofibrant replacement 和 fibrant replacement.

记 initial object 为 $0$, terminal object 为 $*$.

(pointed model category (有基点的模型范畴)) initial object 和 terminal object 同构.

(cofibrant, fibrant)

一个对象 $X$ 被称为 cofibrant object, 如果 $0→X$ 是一个 cofibration. 余纤维对象类记为 $\mathcal{M}_c$
一个对象 $Y$ 被称为 fibrant object, 如果 $Y→*$ 是一个 fibration. 纤维对象类记为 $\mathcal{M}_f$

以下设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴.

可以考虑模型范畴 $\mathcal{M}_*$, 对象是 $(X,v):*\overset{v}{\to}X$, 态射自然定义. 可以证明 $\mathcal{M}_*$ 有 small colimits and limits. (待具体自己验证)

我们可以考虑两个 functor: 第一个是由 $$\begin{equation} \mathcal{M}→\mathcal{M}_*,\quad X↦ X_+=X∐ *, \end{equation}$$ 定义的 faithful (但不 full) 函子 (它给出了 $\mathcal{M}$ 到一个 pointed category $\mathcal{M}_*$ 的 faithful 嵌入). 另外我们自然地有一个 forgetful functor $U:\mathcal{M}_*→\mathcal{M}$. 并且前者是后者的 left adjoint (事实上, 以后可以知道它们构成一个 Quillen adjunction). 具体而言 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_*}(X_+, [*→Y]) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(X,Y). \end{equation}$$ 如果 $\mathcal{M}$ 本身就是 pointed, 那么这两个函子给出范畴等价 $\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}_*$.

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴. 定义 $\mathcal{M}_*$ 中的态射 $f$ 是 weak equivalence (cofibration, fibration) 当且仅当 $Uf$ 是 $\mathcal{M}$ 中的 weak equivalence (cofibration, fibration). 则 $\mathcal{M}_*$ 是一个 (pointed) model category.

(待看)

下面我们定义 cofibrant replacement 和 fibrant replacement.

对 $0→X$ 进行分解: $0→QX\overset{q_X}{\to}X$, 从而我们得到一个函子 $X↦QX$ 使得 $QX$ 是 cofibrant object, $q_X$ 是一个 trivial fibration. 这个 $QX$ 被称为 $X$ 的 cofibrant replacement.

类似地, 对 $X→*$ 进行分解: $X\overset{r_X}{\to}RX→*$, 从而我们得到一个函子 $X↦RX$ 使得 $RX$ 是 fibrant object, $r_X$ 是一个 trivial cofibration. 这个 $RX$ 被称为 $X$ 的 fibrant replacement.

Remark. $Q$ 和 $R$ 能成为函子是靠分解的函子性. 另外这两个函子保持弱等价. $q: Q→\mathrm{Id}_\mathcal{M}$ 和 $r: \mathrm{Id}_\mathcal{M}→Q$ 可以看作自然变换.

(the Retract Argument)
设 $f$ 是模型范畴 $\mathcal{M}$ 中的态射, $f=g∘h$.

如果 $f$ 有 LLP with respect to $g$, 则 $f$ 是 $h$ 的 retract.
如果 $f$ 有 RLP with respect to $h$, 则 $f$ 是 $g$ 的 retract.

借助 the Retract Argument, 我们可以证明余纤维、纤维、弱等价其中两者可以确定第三者 (从而模型结构的定义实际上 overdetermined).

设 $\mathcal{M}$ 是一个 model category.

{(trivial cofibration) cofibration}={ $f$ with LLP w.r.t. all trivial fibrations (fibrations)}.
{(trivial fibration) fibration}={ $f$ with RLP w.r.t. all trivial cofibrations (cofibrations)}.

显然只要证明如果一个态射 $f$ 对于所有 trivial fibrations 都有 LLP, 则 $f$ 是一个 cofibration.

设 $f=p∘i$ 是分解, 其中 $p$ 是 trivial fibration, 根据上一条引理, 我们有 $f$ 是 $i$ 的 retract, 从而 $f$ 是一个 cofibration.

其余情形类似可以证明.

这个引理的一个自然推论就是所有 isomorphisms 都是 cofibrations, fibrations 和 weak equivalences.

设 $\mathcal{M}$ 是一个 model category.

所有的 (trivial) cofibrations 对于 pushouts 封闭.
所有的 (trivial) fibrations 对于 pullbacks 封闭.

这是因为如果 $f$ 对于一个态射 $p$ 有 LLP, 则 $f$ 的 pushout 对于 $p$ 也有 LLP. (左边虚线是 LLP 给出, 右边是 pushout 的泛性质给出, 证明交换性要用到连接态射的唯一性)

下面的 Ken Brown‘s Lemma 提供了一种检验 (特定对象之间的) 态射是否是弱等价的方法.

(Ken Brown’s Lemma)

设 $\mathcal{M}$ 是一个 model category. 设 $\mathcal{D}$ 是一个范畴, 它有一个由 “weak equivalences” 组成的子范畴, 即满足二推三性质. 设 $F:\mathcal{M}→\mathcal{D}$ 是一个函子.

若 $F$ 将 cofibrant objects 之间的 trivial cofibrations 都映为 weak equivalences, 则 $F$ 将所有 cofibrant objects 之间的 weak equivalences 都映为 weak equivalences.
若 $F$ 将 fibrant objects 之间的 trivial fibrations 都映为 weak equivalences, 则 $F$ 将所有 fibrant objects 之间的 weak equivalences 都映为 weak equivalences.

设 $f:A→B$ 是 cofibrant objects 之间的 weak equivalence.

$A$ 和 $B$ 是 cofibrant objects 意味着 $0→A$ 和 $0→B$ 是 cofibrations. 考虑推出

则 incluction maps $A\overset{i_a}{\to}A∐B$ 和 $B\overset{i_B}{\to}A∐B$ 都是 cofibrations.

考虑 $(f, \mathrm{Id}_B): A∐B→B$, 考虑它的分解 $(f, \mathrm{Id}_B)=p∘q$, 其中 $q$ 是 cofibration, $p$ 是 trivial fibration.

其中 $p∘q∘i_a=f$ 是 weak equivalence, $p$ 是 trivial fibration, 则 $q∘i_a$ 是 weak equivalence.
其中 $p∘q∘i_b=\mathrm{Id}_B$ 是 weak equivalence, $p$ 是 trivial fibration, 则 $q∘i_b$ 是 weak equivalence.
显然 $q∘i_a$ 和 $q∘i_b$ 都是 cofibrations, 则它们都是 trivial cofibrations.
此外, 易见 $C$ 是 cofibrant object. 于是根据假设可以得到, $F(q∘i_a)$ 和 $F(q∘i_b)$ 都是 weak equivalences.

由于 $F(p∘q∘i_b)=F(\mathrm{Id}_B)$ 是 weak equivalence, $F(q∘i_b)$ 是 weak equivalence, 则 $F(p)$ 是一个 weak equivalence.

从而 $F(f)=F(p∘q∘i_a)=F(p)∘F(q∘i_a)$ 是 weak equivalence.

1.2 同伦范畴 The Homotopy Category

Hovey 的这一节是完全遵从 [Qui67] 的标准方法, 没有引入什么新的改进. 只有从 [DS95] 和 [DHK] 中借鉴了一些小的改进.

Q: 目前有没有什么新的东西?

最基本的结果: 局部化 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ (by inverting the weak equivalences) 和商范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$ (cofibrant 和 fibrant 对象商掉同伦关系) 是等价的.

(homotopy “category” $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$)

Remark. 这里加引号似乎是因为还没有证明这个是一个范畴, 后面要证明它不用传递到更高的宇宙. (???)

Remark. 如果上面这个定义里面谈及的 weak equivalences 是一个模型结构里面的, 那么我们可以很好地看出加了东西再取的商范畴(这里的同伦范畴)里面态射的结构: $X$ 和 $Y$ 之间的态射就是它们的 cofibrant replacement 之间的态射的同伦类.

函子 $γ: \mathcal{M}→\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 保持对象不变, 并将 $\mathcal{W}$ 里面的态射变为同构. 这个范畴 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 有以下的泛性质描述:

设 $\mathcal{M}$ 是一个范畴, $\mathcal{W}$ 是一个子范畴.

若函子 $F:\mathcal{M}→\mathcal{D}$ 将 $\mathcal{W}$ 里面的态射变为同构, 则存在唯一的函子 $\mathrm{Ho}\ F:\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}→\mathcal{D}$ 使得 $(\mathrm{Ho}\ F)∘γ=F$.
设函子 $δ:\mathcal{M}→\mathcal{E}$ 将 $\mathcal{W}$ 里面的态射变为同构, 并且满足 (1) 中同样的泛性质. 则有唯一的范畴同构 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}\overset{F}{\to}\mathcal{E}$ 使得 $F∘γ=δ$.
(1) 中的对应给出了下面两个对象是函子、态射是自然变换的范畴同构: $$ \{\mathrm{Ho}\ F:\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}→\mathcal{D}\}≅\{F:\mathcal{M}→\mathcal{D}\ |\ F(\mathcal{W})\subseteq \mathrm{Iso}(\mathcal{D})\} $$

Notations. 给定一个模型范畴 $M$. 记

$\mathcal{M}_c$ 为所有 cofibrant objects 组成的满子范畴.
$\mathcal{M}_f$ 为所有 fibrant objects 组成的满子范畴.
$\mathcal{M}_{cf}$ 为所有既是 cofibrant objects 又是 fibrant objects 的对象组成的满子范畴.

嵌入函子诱导范畴等价: $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_c \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_f \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}. \end{equation}$$

Remark. 这个证明要用到 cofibrant replacement 和 fibrant replacement functors.

保持弱等价的函子诱导出同伦范畴之间的函子.

$Q$ 保持弱等价.

$q$ 作为自然变换给出 $Q∘i→\mathrm{Id}_{\mathcal{M}_c}$ 和 $i∘Q→\mathrm{Id}_\mathcal{M}$ 之间的自然弱等价.

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴, $f,g:B→X$ 是两个态射.

(cylinder object for $B$)
cylinder object for $B$ 是一个分解, 将 fold map $∇:B∐B→B$ 分解为一个 cofibration $B∐B\overset{(i_0,i_1)}{\longrightarrow}B'$ 和一个 weak equivalence $B'\overset{s}{→}B$.

Q: 拓扑里面的同伦的定义是柱同伦(即左同伦). 这里的公理化定义可以完全刻画拓扑里面的同伦吗? 另外道路同伦(即右同伦)在拓扑里面的对应是什么?

Remark. 在 cylinder object 的定义里面用到的分解未必是模型范畴定义里面的函子性分解, 第二个态射未必是 fibration. 对于用定义中函子性分解得到的 cylinder object, 称其为 functorial cylinder object, 并有专门的记号. 对于 path object 也是类似的.

利用 model structure 中定义中的 functorial factorization, 我们可以总是得到 functorial cylinder object $B×I$, 满足 $B×I\overset{s}{→}B$ 是 trivial fibration.

接下来的故事是这样的: 之前提到的得到同伦范畴的方法无法看出结构, 也无法保证直接加入弱等价的逆之后得到的态射类是集合. 目前我们已经知道了对于模型范畴而言 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M} \simeq \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf}$, 我们尝试从后者入手. 接下来我们会发现, 对于既是 cofibrant 又是 fibrant 的对象之间的态射, 同伦关系是它们之间的态射集上的等价关系, 于是我们可以考虑相应的商范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$. 并且之后可以证明 $$\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \simeq \mathcal{M}_{cf}/\sim.$$

于是我们现在要解决两个问题:

证明同伦关系是等价关系
证明 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \simeq \mathcal{M}_{cf}/\sim.$

以下我们有一些标准的结论 (来自 [Qui67]):

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴, $f,g: B→X$ 是 $\mathcal{M}$ 中两个态射.

若 $X$ 是 fibrant, 则 $f\overset{l}{\sim}g⇒fh\overset{l}{\sim}gh$; 若 $B$ 是 cofibrant, 则 $f\overset{r}{\sim}g⇒hf\overset{r}{\sim}hg$.
若 $B$ 是 cofibrant, 则 left homotopy 是 $\mathcal{M}(B,X)$ 上的等价关系; 若 $X$ 是 fibrant, 则 right homotopy 是 $\mathcal{M}(B,X)$ 上的等价关系.
若 $B$ 是 cofibrant, $h:X→Y$ 是一个 trivial fibration 或者 fibrant objects 之间的 weak equivalence, 则 $h$ 诱导同构 $$\begin{equation} \mathcal{M}(B,X)/\overset{l}{\sim} \overset{\cong}{\to} \mathcal{M}(B,Y)/\overset{l}{\sim}. \end{equation}$$ 对偶地, 若 $X$ 是 fibrant, $h:A→ B$ 是一个 trivial cofibration 或者 cofibrant objects 之间的 weak equivalence, 则 $h$ 诱导同构 $$\begin{equation} \mathcal{M}(B,X)/\overset{r}{\sim} \overset{\cong}{\to} \mathcal{M}(A,X)/\overset{r}{\sim}. \end{equation}$$
如果 $B$ 是 cofibrant, 则 $f\overset{l}{\sim}g ⇒ f\overset{r}{\sim}g$. 并且, 对于 $X$ 的任意 path object $X'$, 都有从 $f$ 到 $g$ 的 right homotopy $K:B→X'$.
对偶地, 如果 $X$ 是 fibrant, 则 $f\overset{r}{\sim}g ⇒ f\overset{l}{\sim}g$. 并且, 对于 $B$ 的任意 cylinder object $B'$, 都有从 $f$ 到 $g$ 的 left homotopy $H:B'→X$.

$X$ 是 fibrant 的话, $s$ 可以用一个 trivial fibration 来取代, 于是可以用 lifting property 来得到所需的 $H'$. 另一个情形类似.

自反性和对称性显然. 关于传递性的证明似乎关键是给定两个 cylinder object 之后如何通过 pushout 得到一个新的 cylinder object. 这里的证明似乎有点绕, 需要仔细看. (待补充)

这个命题直接给出两个引理:

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴, $B$ 是 cofibrant object, $X$ 是 fibrant object. 则 left homotopy 和 right homotopy 在 $\mathcal{M}(B,X)$ 上是同一个等价关系.
并且, 对于上面等价的态射, 都可以通过任意的 cylinder object 获取 left homotopy, 也可以通过任意的 path object 获取 right homotopy.

$\mathcal{M}_{cf}$ 上态射的同伦关系是等价关系并且与复合兼容. 从而存在范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$.

1.3 Quillen Functors and Derived Functors

学习目标:

什么是 Quillen adjunctions or Quillen functors?
Quillen functors 如何诱导出同伦范畴之间的函子(似乎叫 derived functor)?
上述诱导过程的自然性如何?
什么是 Quillen equivalence?

1.3.1 Quillen Functors

设 $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ 是模型范畴.

(left Quillen functor)
函子 $F:\mathcal{M}→\mathcal{N}$ 是 left Quillen functor, 如果 $F$ 是 left adjoint 并且 $F$ 保持 cofibrations 和 trivial cofibrations.
(right Quillen functor)
函子 $U:\mathcal{N}→\mathcal{M}$ 是 right Quillen functor, 如果 $U$ 是 right adjoint 并且 $U$ 保持 fibrations 和 trivial fibrations.
(Quillen adjunction)
设 $(F,U,φ)$ 是 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{N}$ 之间的一个 adjunction. 如果 $F$ 是 left Quillen functor (等价地, $U$ 是 right Quillen functor, 需证明), 则称 $(F,U,φ)$ 是一个 Quillen adjunction.

Remark. 根据 Ken Brown‘s lemma, left Quillen functor 保持所有 cofibrant objects 之间的 weak equivalences; right Quillen functor 保持所有 fibrant objects 之间的 weak equivalences. 这个结果对于后面定义 derived functors 很重要.

Remark. 这个部分的很多内容实际上只需要用到 left adjoints 加上保持 cofibrant objects 及其之间的 weak equivalences 的性质再加上对偶的, 但是这样对条件的弱化并不能得到很好的东西, 还会丧失简洁性 (这都是 Hovey 说的).

最著名的例子是拓扑空间范畴 $\mathbf{Top}$ 和 simplicial sets 范畴 $\mathbf{sSet}$ 之间的 Quillen adjunction. 这里 $\mathbf{Top}$ 里面的模型结构是 Serre model structure, $\mathbf{sSet}$ 里面的模型结构是 Kan model structure.

简单的例子是 $\mathcal{M}_*$ 和 $\mathcal{M}$ 之间的; 以及 $\mathcal{M}^I$ 和 $\mathcal{M}$ 之间的.

下面的引理说明了为什么在 Quillen adjunction 的定义中 left Quillen functor 和 right Quillen functor 是等价的.

设 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 是 model categories, $(F,U,φ)$ 是 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{N}$ 之间的一个 adjunction. 则 $F$ 是 left Quillen functor 当且仅当 $U$ 是 right Quillen functor.

这里需要使用伴随对去证明 $Ff$ has the left lifting property with respect to $p$ if and only if $f$ has the left lifting property with respect to $Up$. 但是我对这里的细节不是很清楚. 关键在于伴随对我没有非常熟悉. 具体而言,

1.3.2 Derived Functors and Naturality

设 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 是模型范畴.

(total left derived functor)
设 $F:\mathcal{M}→\mathcal{N}$ 是一个 left Quillen functor. 定义 $F$ 的 total left derived functor $LF:\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}→\mathrm{Ho}\ \mathcal{N}$ 为复合 $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}\overset{\mathrm{Ho}\ Q}{⟶}\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_c\overset{\mathrm{Ho}\ F}{⟶} \mathrm{Ho}\ \mathcal{N}. \end{equation}$$ 给定一个 left Quillen functors 之间的一个自然变换 $τ:F→F'$, 定义 $τ$ 的 total left derived natural transformation $Lτ:LF→LF'$ 为 $\mathrm{Ho}\ τ∘\mathrm{Ho}\ Q$, 故 $(Lτ)_X=τ_{QX}$.
(total right derived functor)
设 $U:\mathcal{N}→\mathcal{M}$ 是一个 right Quillen functor. 定义 $U$ 的 total right derived functor $RU:\mathrm{Ho}\ \mathcal{N}→\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 为复合 $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{N}\overset{\mathrm{Ho}\ R}{⟶}\mathrm{Ho}\ \mathcal{N}_f\overset{\mathrm{Ho}\ U}{⟶} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}. \end{equation}$$ 给定一个 right Quillen functors 之间的一个自然变换 $τ:U→U'$, 定义 $τ$ 的 total right derived natural transformation $Rτ:RU→RU'$ 为 $\mathrm{Ho}\ τ∘\mathrm{Ho}\ R$, 故 $(Rτ)_X=τ_{RX}$.

1.3.3 Quillen Equivalences

ARS 讨论班

2025-09-26T00:00:00+08:00

Chapter 3 Quiver

Let $k$ be a field , $Q$ be an acyclic quiver. Then

$\mathfrak{r}_{kQ}=J$

Use the lemma:

Let $Λ$ be a left Artin ring, $\mathfrak{a}$ a nilpotent ideal of $Λ$, and $\Lambda/ \mathfrak{a}$ is a semisimple ring. Then $\mathfrak{a}= \mathrm{rad} Λ$.

$P_i=kQe_i$’s are all the indecomposable projective $kQ$-modules.
$kQ$ is a hereditary algebra.

Use the lemma:

$Λ$ be an Artin algebra. $Λ$ is hereditary ⇔ $\mathfrak{r}$ is projective as a left $Λ$-module.

It is easy to see that $$ \mathfrak{r}=\bigoplus_{i∈ Q_0} \mathfrak{r}e_i=\bigoplus_{i∈ Q_0} \bigoplus_{\substack{α∈ Q_1 \\ s(α)=i}} kQ\alpha. $$

Since $kQα≅kQe_{t(α)}=P_{t(α)}$, $\mathfrak{r}$ is a projective $kQ$-module.

(reptesentation of a quiver)

$\mathbf{Rep}_k(Q)$

Given $k$, $Q$, and $h: (V,f)→(V',f')$. $h$ is monomorphism (epimorphism, isomorphism) ⇔ $h_i$ is monomorphism (epimorphism, isomorphism) for all $i∈Q_0$.

$k$ is a field, $Q$ is a quiver. Then

$$ \mathbf{Rep}_k(Q) ≅ \mathrm{f.d.} (kQ) (≅ kQ\text1{-mod}, \text{if } Q \text{ is acyclic}) $$

《基础代数学》作业 Week2-2

2025-09-24T00:00:00+08:00

证明代数闭域上(有限维)交换代数的单模必是 $1$ 维的.

设 $A$ 是代数闭域 $k$ 上的有限维交换代数, $M$ 是 $A$ 上的单模. 则 $M$ 也是有限维的 (否则有真子模 $Am$, 其中 $m≠0$).

对于任意的 $a∈A$, 考虑 $A$-模同态 (同时也是 $k$-线性映射) $$ f_a: M→M,\ m\mapsto am. $$ 特别地, $f_a∈\mathrm{End}_k(M)$. 由于 $A$ 是交换代数, $\{f_a\}_{a∈A}$ 是两两可交换的线性算子, 从而自然是可解李代数. 由于 $M$ 有限维且 $k$ 是代数闭域, 根据 Lie’s Theorem 知存在 $0≠m∈M$, 使得对于任意 $a∈A$, 有 $am=f_a(m)=λ_a m$, 其中 $λ_a∈k$. 由此可见 $km$ 是 $A$ 的子模, 由单模的定义知 $km=M$. 于是 $\dim_k M=1$.

Remark. 这里的”有限维”条件是必须的. 否则可以考虑 $k(x)$ 上的单模 $k(x)$.

证明 $k$-代数 $A$ 是交换半单代数当且仅当 $A≅K_1×⋯×K_s$, 其中 $K_i$ 是 $k$ 的扩域.

(⇐) 显然.

(⇒) (此证明假设了 $A$ 是有限维 $k$-代数) 由 Wedderburn-Artin 定理知 $A≅M_{n_1}(D_1)×⋯×M_{n_s}(D_s)$, 其中 $D_i$ 是有限维可除 $k$-代数. 由于 $A$ 是交换代数, 故 $n_i=1$, 即 $A≅D_1×⋯×D_s$. 再由交换性可知 $D_i$ 是交换代数, 从而是域, 并且是 $k$ 的扩域. (整体交换可以推到每个分量交换)

Remark. 这题我只会证明有限维情形.

设 $H, G$ 均为有限 Abel 群, $\mathrm{char} k\nmid |H|, \mathrm{char} k\nmid |G|$, 且 $k$ 是代数闭域. 证明 $k[H]≅k[G]$ (作为 $k$-代数) 当且仅当 $|H|=|G|$.

由 Maschke 定理知 $k[H], k[G]$ 均为半单代数. 由于 $H, G$ 是有限 Abel 群, 故 $k[H], k[G]$ 是交换代数. 由先前习题知 $k[H]≅k×⋯×k$ ($|H|$ 个), $k[G]≅k×⋯×k$ ($|G|$ 个). 故 $k[H]≅k[G]$ 当且仅当 $|H|=|G|$.

设 $A=A_1×⋯×A_s$, $A_i$ 均为单代数, $M$ 是左 $A$-模, $1=e_1+⋯+e_s$ 是相应的单位元的中心分解. 证明 $M=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^se_iM$, 且 $e_iM$ 是左 $A_i$-模.

对于任意 $m∈M$, 有 $m=1m=(e_1+⋯+e_s)m=e_1m+⋯+e_sm∈\sum_{i=1}^se_iM$. 从而 $M=∑_{i=1}^s e_iM$. 取 $m_i∈e_iM∩(\sum_{j≠i}e_jM)$, 则 $m_i=e_im_i=0$. 故 $M=\bigoplus_{i=1}^s e_iM$.

另外显然 $e_iM$ 是左 $A_i$-模.

设 $D_i$ 是可除 $k$ 代数, $A=M_{n_1}(D_1)×⋯×M_{n_s}(D_s)$. 则正则 $A$-模有不可约分解 $$ {_AA}≅\bigoplus_{i=1}^s n_i (V_i,ρ_i), $$ 其中 $V_1,⋯,V_s$ 是全体互不同构的单 $A$-模, 使得 $$ \mathrm{ann}(V_i)=\prod_{j≠i}M_{n_j}(D_j);\quad\mathrm{End}_A(V_i)≅D_i^{\mathrm{op}};\quad \rho_i(A)≅ M_{n_i}(D_i). $$

设 $A_i=M_{n_i}(D_i)$. 则 $A_i$ 是单代数. 则 $A_i$ 有唯一的单模 $S_i$. 通过自然投射 $p_i:A→A_i$ 可以将 $S_i$ 提升为 $A$-模 $V_i$, 显然 $V_i$ 是不可约 $A$-模且 $\mathrm{ann}(V_i)=\prod_{j≠i}M_{n_j}(D_j)$. 由于 $A_iV_j=\delta_{ij}V_j$ 知 $V_i$ 两两不同构.

由于 $A_i$ 是单代数, 从而是半单代数, 故 $A_i$ 作为 $A_i$-模有不可约分解 $A_i≅n_i S_i$. 作为 $A$-模, 有 $A_i≅n_i V_i$. 于是由 $A=A_1×⋯×A_s$ 可知 $$ {_AA}≅\bigoplus_{i=1}^s n_i V_i. $$ 其余显然.

设 $M$ 是半单代数 $A$ 上的模. 则自同态代数 $\mathrm{End}_A(M)$ 也是半单代数.

设 $M=\bigoplus_{i=1}^s n_i (V_i,ρ_i)$ 是 $M$ 的不可约分解, 其中 $V_1,⋯,V_s$ 是全体互不同构的单 $A$-模. 则 $$ \mathrm{End}_A(M)≅\prod_{i=1}^s M_{n_i}(\mathrm{End}_A(V_i)). $$ 由 Schur 引理知 $\mathrm{End}_A(V_i)$ 是可除 $k$-代数, 从而 $M_{n_i}(\mathrm{End}_A(V_i))$ 是可除 $k$-代数上的全矩阵环, 故 $\mathrm{End}_A(M)$ 是半单代数.

半单代数的商代数是半单代数.

设半单代数 $A$, 考虑它的商代数 $A/I$, 其中 $I$ 是 $A$ 的双边理想. 对于任意的 $A/I$-模 $M$, 通过提升可以看作 $A$-模, 并且 $IM=0$. $M$ 作为 $A$ 模是半单模, 从而 $M$ 作为 $A/I$-模也是半单模 (这是因为任意的被 $I$ 零化的单 $A$-模自然成为单 $A/I$-模, 从而作为 $A$-模的半单分解就是作为 $A/I$-模的半单分解). 由此可见 $A/I$ 是半单代数.

设 $M,N$ 均是单代数上的模. 则 $M≅N$ 当且仅当 $\dim_k M=\dim_k N$.

单代数在同构意义下只有唯一的单模 $V$. 于是 $M≅mV,N≅nV$. 于是 $M≅N⟺m=n⟺\dim_k M=\dim_k N$.

交响音乐简介

2025-09-23T00:00:00+08:00

交响音乐发展阶段

巴洛克时期 (1600-1750): 代表作曲家有巴赫 (Bach), 亨德尔 (Handel). 这一时期的交响曲形式尚未完全定型, 通常为三乐章结构, 包括快板、慢板和快板.
古典主义时期 (1750-1820): 代表作曲家有海顿 (Haydn), 莫扎特 (Mozart), 贝多芬 (Beethoven). 这一时期的交响曲结构较为规范, 通常为四个乐章, 包括快板、慢板、谐谑曲和终曲.
浪漫主义时期 (1820-1900): 代表作曲家有舒伯特 (Schubert), 门德尔松 (Mendelssohn), 勃拉姆斯 (Brahms), 柴可夫斯基 (Tchaikovsky). 这一时期的交响曲更加注重情感表达和个人风格, 乐章结构更加自由, 主题发展更加复杂.

古典主义时期

古典主义音乐艺术审美理想: 对称、平衡、和谐

交响乐四个乐章的典型结构 (古典交响曲)

第一乐章: 通常采用奏鸣曲式, 以快板开始, 充满活力和动力. 例如贝多芬的《第五交响曲》第一乐章.
第二乐章: 通常是慢板, 以抒情和柔和的旋律为主, 形成对比. 例如柴可夫斯基的《第六交响曲》第二乐章.
第三乐章: 通常是谐谑曲或小步舞曲, 节奏轻快, 充满趣味性. 例如莫扎特的《第四十交响曲》第三乐章.
第四乐章: 通常是终曲, 以快板结束, 充满激情和力量. 例如贝多芬的《第九交响曲》第四乐章.

各类曲式

三部曲式(): ABA, A 部分与 B 部分形成对比, A 部分再现.
回旋曲式(): ABACA, A 部分反复出现, B, C 部分形成对比.
变奏曲式(): A, A’, A’’, A’’’, … , 每次重复 A 部分时, 都会有一些变化.
古典奏鸣曲式(sonata): A B A’, A 部分是主题, B 部分是发展, A’ 部分是再现, 可能会有 coda (尾声).
- 呈式部: 分为头部主题 + 链接段落(调性转换) + 副部主题 (和头部调性不一样) + 小尾奏
- 发展部: 主题发展 (乐思展开)
- 再现部: 头部主题 + 链接段落 + 副部主题 (调性变成和头部一样)

模型范畴综述阅读笔记

2025-09-23T00:00:00+08:00

本笔记主要基于综述 [Hov07] Mark Hovey. Model Categories. American Mathematical Soc., 2007. 链接

Preface

三个推荐阅读材料

[DHK] W. G. Dwyer, P. S. Hirschhorn, and D. M. Kan, Model categories and general abstract homotopy theory, in preparation.

concentrates more on homotopy colimits and less on the relationship between a model category and its homotopy category.

[Hir97] P. S. Hirschhorn, Localization, cellularization, and homotopy colimits, preprint, 1997.

concerned with localization of model categories, but also contains a significant amount of general theory.

[GJ97] P. F. Goerss and J. F. Jardine, Simplicial homotopy theory, preprint, 1997.

concentrates on simplicial examples.

预备知识

第七章需要 “the theory of homotopy limits of diagrams of simplicial sets” 的知识, 可以参考 [BK72] A. K. Bousfield and D. M. Kan, Homotopy limits, completions, and localizations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 304, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972, v+348 pp.

问题

When is the homotopy category of a model category a stable homotopy category in the sense of [HPS97]?

证明一个特定的范畴由模型结构很难, 但是 [Qui67] 给出了一个标准的方法, [DHK] 形式化了这个方法.

(可能的)最简单的非平凡模型范畴的例子: Frobenious 环上的模范畴.

论文结构

(第五章和第六章是技术核心)

第一章: 基本概念
第二章: 例子 (chain complexes over a ring, topological spaces, and chain complexes of comodules over a commutative Hopf algebra)
第三章: 例子 (the central example of simplicial sets.)
第四章: closed monoidal model categories
- 为什么有 internal tensor product 就能成为 monoidal category?
- 这个 tensor product 与模型结构之间的 compatible 要求是什么?
- 什么叫可以考虑 monoidal model cateogry 上面的 modules 和 algebras?
第五章:
第六章:

Chapter 1 Model Categories

为什么要定义模型范畴

为了让一个范畴里面的一些态射变成同构
- (感觉这是一个技术性的理论)
- 例如同伦等价、双有理等价
直接形式地把这些态射变成同构会导致一些问题
- 在局部化范畴里面两个对象之间的态射类未必是一个集合
  - Q: 这样为什么就不行?
- 这样很难理解局部化范畴里面的态射

Model Categories 的发展历史

[Qui67] 引入
[Qui69] 改进定义
[DHK] 再次改进
本文又改进: We modify their definition slightly to require that the functorial factorizations be part of the structure.

1.1 The Definition of a Model Category

给定范畴 $\mathcal{C}$, 我们用 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 表示态射范畴.

(retract of a morphism)

(functorial factorization(函子性分解)) 一对 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}→\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 的函子 $(α,β)$,
使得 $f=β(f)∘α(f)$ for all $f∈\mathrm{Mor}\mathcal{C}$.

(lifting property)

$i$ 有 left lifting property with respect to $p$ (或 $p$ 有 right lifting property with respect to $i$) 如果对于任意交换图

存在 $h$ 使得图表交换.

(2-out-of-3) f, g, gf 中有两个是 weak equivalences 中则第三个也是.
(retracts) 3 个子范畴都对 retract 封闭.
(lifting) TC 对于 F 有 LLP, C 对于 TF 有 RLP.
(factorization) 对于每个态射 $f$, $α(f)$ 是 C, $β(f)$ 是 TF; $γ(f)$ 是 TC, $δ(f)$ 是 F.

(model category (模型范畴), [Hovey])
模型范畴 = 模型结构 + 有 small limits and colimits.

Remark. 这个定义跟 Quillen 的定义有区别:

Quillen 区分了 model category 和 closed model category, Hovey 直接把 closed model category 叫做 model category. (目前没有发现这两个有什么本质区别)
Quillen 只要求了有限 (co)limits, 但是 Hovey 要求了 small (co)limits (技术上更为方便).
Quillen 的分解不是函子性的, Hovey 要求了函子性分解. (在目前的所有例子上都是函子性的) 上面 3 点是 Hovey 自己说的, 我感觉还有一些区别 (和章璞老师讲义上的定义)
现在文献里面都把 closed model category 叫做 model category 了, 很少有人提 [Qui67] 里面的 model category 了.

Remark. 模型范畴是 self-dual 的, 交换 cofibrations 和 fibrations 即可.

(模型范畴的平凡例子)
考虑有 small limits and colimits 的范畴 $\mathcal{C}$, 定义所有同构都是 weak equivalences, 所有态射都是 cofibrations 和 fibrations.

记 initial object 为 $0$, terminal object 为 $*$.

(pointed model category (有基点的模型范畴)) initial object 和 terminal object 同构.

(cofibrant, fibrant)
一个对象 $X$ 被称为 cofibrant object, 如果 $0→X$ 是一个 cofibration. 余纤维对象类记为 $\mathcal{M}_c$
一个对象 $Y$ 被称为 fibrant object, 如果 $Y→*$ 是一个 fibration. 纤维对象类记为 $\mathcal{M}_f$

Remark. 这里暂时没有像章璞老师的讲义一样定义 trivial object, 感觉是因为在这个定义下 $0→*$ 不知道是不是 weak equivalent.

1.2 The homotopy Category

Hovey 的这一节是完全遵从 [Qui67] 的标准方法, 没有引入什么新的改进. 只有从 [DS95] 和 [DHK] 中借鉴了一些小的改进.

Q: 目前有没有什么新的东西?

最基本的结果: 局部化 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ (by inverting the weak equivalences) 和商范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$ (cofibrant 和 fibrant 对象商掉同伦关系) 是等价的.

Alert. $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 和 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$ 不是同一个范畴, 只是等价.

设 $\mathcal{M}$ 是模型范畴, $f, g: B→X$ 是两个态射.

cylinder object
path object
left homotopy
right homotopy
homotopic
homotopic equivalence

各类范畴的历史

2025-09-22T00:00:00+08:00

三角范畴、正合范畴、外三角范畴

代数拓扑里面有长正合列;

同调代数里面有长正合列;

共同推广出三角范畴

为了公理化导出范畴发明了三角范畴

Grothendieck & Verdier: 奠定了三角范畴的理论基础，使其成为研究导出范畴和同调代数的标准工具。

Keller: 深化了对三角范畴的理解，特别是“代数三角范畴”的性质，并将其与微分分次代数和表示论等领域紧密联系起来。

模型范畴

模型范畴一开始的名字(Quillen 发明的时候)用的是同伦代数(homotopical algebra), 后来这个名字有了其他含义. 从这里看出模型范畴的本质是对同伦论的公理化.

Quillen: 创立了模型范畴理论，将同伦理论抽象化，并为代数K理论等领域的发展提供了关键工具。

Hovey: 系统化并推广了模型范畴理论，他的著作《Model Categories》是该领域的标准参考文献。他还研究了模型结构与正合范畴、外三角范畴的联系，提出了“Hovey三元组”等重要概念。

联系

《基础代数学》作业 Week2-1

2025-09-22T00:00:00+08:00

非零左 $R$-模 $M$ 是单模当且仅当 $M$ 的任一非零元 $m$ 都是生成元, 即 $Rm=M$.

(⇒) 设 $m∈M$ 是非零元. 则 $Rm$ 是 $M$ 的非零子模, 由单模的定义知 $Rm=M$.

(⇐) 设 $N↪M$ 是非零子模. 取 $0≠n∈N$, 则 $Rn=M$, 故 $N=M$.

设 $A$ 是有限维 $k$-代数, $M$ 是单 $A$-模. 则 $M$ 是有限维的(作为 $k$-线性空间).

由先前习题知, $M=Am$, 其中 $0≠m∈M$. $\dim_k M=\dim_k A_m=\dim_k A<∞$.

半单模的子模和商模也是半单模.

由定理 1.3.3 知一个模是半单的等价于满足性质 P, 再根据引理 1.3.5 立刻得到.

$N$ 是 $M$ 的极大子模等价于 $M/N$ 是单模.

由子模对应定理立刻得到.

设 $R$ 是环. 证明单 $R$-模是 $_RR$ 的商模.

设 $M$ 是单 $R$-模, 则对于任意 $0≠m∈M$, 有 $Rm=M$. 定义环同态 $\varphi: {_RR}→M,\ r\mapsto rm$. 则 $\varphi$ 是满射, 由同态基本定理知 $M\cong {_RR}/\ker\varphi$.

设 $R$ 是环. 证明正则模 $_RR$ 是单模当且仅当 $R$ 是除环.

(⇒) 设 $_RR$ 是单模. 则对于任意 $0≠a∈R$, 有 $Ra=R$. 于是存在 $r∈R$, 使得 $ra=1$. 故 $R$ 是除环(这里用到了有左逆的环里面, 左逆自动也是右逆).

(⇐) 设 $R$ 是除环. 则对于任意 $0≠a∈R$, 有 $Ra=R$. 故 $_RR$ 是单模.

正合范畴

2025-09-17T00:00:00+08:00

本文基于 [Büh10] Theo Bühler. Exact categories. Expositiones Mathematicae, 28(1):1–69, January 2010. doi: 10.1016/j.exmath.2009.04.004.

我们只处理加法范畴, 同时只考虑加法函子.

Fact. 可裂短正合列是最小的正合结构, i.e., 其他正合结构都必须包含它.

简介

定义和基本性质

(正合范畴的基本资料)

(正合范畴的公理)

(可裂单(满)态射是 admissible monics(epics))

特别地, 同构是 admissible monic 也是 admissible epic.

Remark. (与 Quillen 的定义的等价性)

Remark. 一般的加法范畴没有正合列….

(admissible monic + admissible epic = isomorphism)

这个证明我还没想到.

(ses 对于直和封闭, 此处直和指二元双积 $⊕$)

正合结构是函子范畴 $\mathcal{A}^{→→}$ 的加法子范畴.

(带有 admissible monic 的 pushout 方块) 考虑交换图

其中上下两行都是 admissible monics. 则下列等价:

这是 pushout 方块.
是短正合列.
这个方块既是 pushout 方块也是 pullback 方块.
有下面两行正合列的交换图

Remark. 考虑上面的交换图, 考虑 $p'$ 为根据左边方块的推出性质得到的态射 (满足 $p'f'=p, p'i'=0$), 则这个 $p'$ 恰好就是 $i'$ 的 cokernel. (这一点十分符合直觉也很有用, 可以作为构造 cokernel 的方法.)

对于任意 $\alpha$ 满足 $α i'=0$, 由 $αf'i=0$ 可以根据 $p$ 作为 cokernel 的泛性质得到分解 $αf'=βp$. 利用左边推出方块诱导的分解态射的唯一性可以证明到右下角三角的交换性.

(并排摆放的 PB 和 PO 方块)

admissible monic 沿着一个 admissible epic 的拉回仍然是 admissible monic.

(🌟Obscure axiom) 设 $i: A→B$ 有 cokernel. 如果存在 $j:B→ C$ 使得 $ji:A↣C$ 是 admissible monic, 则 $i$ 也是 admissible monic.

图表定理

以下这个命题是 Abel 范畴中扩张之间的态射的分解性质在正合范畴中的推广.

(ses 的态射的分解) 设 $(\mathcal{A},\mathcal{E})$ 是正合范畴. 设有短正合列之间的态射 $(a,b,c)$, 则有分解

使得左上和右下都是推出拉回方块.

先用 $a:A'→A$ 作左上角的推出, 立即可以得到右上方块 (也可以用推出泛性质得到 $e$), 用推出泛性质可以得到 $b''$ 满足 $b''b'=b, b''m=f$. 最后只需要验证右下角方块交换 (PBPO 都可以用几个等价命题得到), 这个靠的是推出的泛性质里面分解态射的唯一性.

(五引理, I) 给定 ses 的交换图

如果 $a,c$ 是同构, 则 $b$ 也是同构.

考虑上一个命题的证明, $a$ 是同构, 从而也是 admissible monic, 则推出后得到的 $b'$ 也是 admissible monic. 另外 $c$ 是同构, 则也是 admissible monic, 它沿着 admissible epic $e$ 的拉回 $b''$ 也是 admissible monic. 于是 $b=b''b'$ 是两个 admissible monic 的复合, 也是 admissible monic. 类似地, $b$ 也是 admissible epic, 从而是同构.

(另一种证明) 同构的推出/拉回还是同构.

(五引理加强, 二推三) 给定 ses 的交换图

如果 $a,b,c$ 中有两个是同构, 则第三个也是同构.

只要证明 $a,b$ 是同构时 $c$ 也是同构. 显然由 cokernel 的泛性质知道 $c$ 被唯一确定. $cg'=gb$, 另外也存在唯一的 $c':C→ C'$ 使得 $c'g=g'b^{-1}$. 于是 $cc'g=cg'b^{-1}=g$, 由 $g$ 满得 $cc'=\mathrm{Id}_{C}$. 类似地 $c'c=\mathrm{Id}_{C'}$. 于是 $c$ 是同构.

(Noether isomorphism $C/B≅(C/A)/(B/A)$). 考虑交换图

给定前两行和第二列短正合列, 则有第三列短正合列. 并且右上角方块是推出拉回方块.

$X→Y$ 由第一行的 cokernel 的泛性质给出, 得到右上角方块是推出拉回方块, 其余显然.

(3×3 引理) 考虑三列短正合列的交换图

若下面条件之一满足:

(1) 中间一行以及上下其中一行是短正合列;

(2) 上下两行是短正合列且 $gf=0$.

则另外一行也是短正合列.

拟 Abel 范畴 (Quasi-abelian categories)

(Quasi-abelian category) 一个加法范畴 $\mathcal{A}$ 称为 quasi-abelian, 如果:

所有的态射都有 kernel 和 cokernel.
kernel 类对 pushout 封闭, cokernel 类对 pullback 封闭.

Remark. 显然这是一个自对偶的概念, 即 $\mathcal{A}$ 是 quasi-abelian 当且仅当 $\mathcal{A}^{^{\mathrm{op}}}$ 是 quasi-abelian.

幂等完备

(幂等完备) 一个加法范畴 $\mathcal{A}$ 是幂等完备的, 如果对于任意幂等元 $p:A→A$, 即 $p^2=p$, 都存在 $A$ 的一个分解 $A≅K⊕I$ 使得 $p≅\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$.

Q: 为什么要定义这个概念?

容许态射和蛇引理

(容许态射, admissible morphism) 正合范畴里的一个态射 $f:A→B$ 称为容许态射, 如果它可以分解为一个 admissible epic 后接一个 admissible monic, 即

正合范畴里的扩张理论

《基础代数学》作业 Week1-2

2025-09-17T00:00:00+08:00

设 $M=M_1⊕ M_2$. 则 $M_1≅ M/M_2,M_2≅ M/M_1$.

考虑自然投射 $$ π: M=M_1⊕M_2→M_1,\ m_1+m_2\mapsto m_1. $$ 则 $\ker π=\{0+m_2∣m_2∈M_2\}=M_2$, 由同态基本定理知 $M/M_2≅M_1$. 同理可证 $M_2≅ M/M_1$.

设有双模 $_RM_S$. 写出 $\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)$ 的 $R$-$S$ 双模结构, 并证明 $R$-$S$ 双模同构 $\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)\cong {_RM_S}$.

双模结构为 ($f∈\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S), r∈R, s∈S, x∈{_RR_R}$) $$(rf)(x)=f(xr),\quad (fs)(x)=f(x)s$$ 容易验证这是一个 $R$-$S$ 双模结构, 主要是注意到 $$\begin{equation} ((rf)s)(x)=(rf)(x)s=f(xr)s=(fs)(xr)=(r(fs))(x). \end{equation}$$

$$\begin{equation} ((r_1r_2)f)(x)=f(x(r_1r_2))=f((xr_1)r_2)=(r_2f)(xr_1)=(r_1(r_2f))(x). \end{equation}$$

$$\begin{equation} (f(s_1s_2))(x)=f(x)(s_1s_2)=(f(x)s_1)s_2=(f s_1)(x)s_2=( (fs_1)s_2)(x). \end{equation}$$

考虑映射 $$\varphi:\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)→{_RM_S},\ f\mapsto f(1),$$

首先验证这是一个 $R$-$S$ 双模同态. 主要是 $\varphi(f_1+f_2)= (f_1+f_2)(1)=f_1(1)+f_2(1)=\varphi(f_1)+\varphi(f_2)$, $\varphi(rf)= (rf)(1)=f(1r)=f(r)=r f(1)=r\varphi(f)$, $\varphi(fs)=(fs)(1)=f(1)s=\varphi(f)s$.

(单射) 设 $f∈\ker\varphi$, 则 $f(1)=0$. 对于任意 $x∈R$, 有 $f(x)=f(x·1)=xf(1)=x·0=0$. 故 $f=0$.

(满射) 设 $m∈M$, 则考虑映射 $f_m:{_RR_R}→{_RM_S},\ x↦xm$. 容易验证 $f_m∈\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)$ 且 $\varphi(f_m)=f_m(1)=m$. 故 $\varphi$ 是满射.

设 $A$ 和 $B$ 是域 $k$ 上的代数, $_AM_B$ 是双模. 写出 $\mathrm{Hom}_k(M,k)$ 的双模结构.

设 $f∈\mathrm{Hom}_k(M,k), a∈A, b∈B, m∈M$. 定义 $$(bf)(m)=f(mb),\quad (fa)(m)=f(am).$$ 容易验证这是一个 $B$-$A$ 双模结构, 主要是注意到

$$\begin{equation} ((bf)a)(m)=(bf)(am)=f((am)b)=f(a(mb))=(fa)(mb)=( b(fa))(m), \end{equation}$$

$$\begin{equation} ((b_1b_2)f)(m)=f(m(b_1b_2))=f((mb_1)b_2)=(b_2f)(mb_1)=(b_1(b_2f))(m), \end{equation}$$

$$\begin{equation} (f(a_1a_2))(m)=f((a_1a_2)m)=f(a_1(a_2m))=(f a_1)(a_2m)=( (fa_1)a_2)(m). \end{equation}$$

写出 $A=k[x]/⟨x^5⟩$ 上所有两两互不同构的有限维不可分解模.

一共 5 个, 为 $$ ⟨x^{5-m}⟩/⟨x^5⟩, m = 1,2,3,4,5. $$

扩张理论

2025-09-15T00:00:00+08:00

主要参照: [Mit65] Barry Mitchell. Theory of Categories. Academic Press, 1965. URL: 链接.

关键词:

Bear: Abel 群 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$
Cartan & Eilenberg: bifunctor $\mathrm{Ext}^n(-,-)$
Yoneda: 等价类 (等价关系由短正合列的同构给出)

预设:

Abel 范畴里的 extension theory

1. $\mathrm{Ext}^1$

(扩张的拉回和推出)

Remark. 推出的记号在 [Mit65] 中是 $αE$, 我主要遵循学长习惯写成 $α_*E$, 拉回写为 $γ^*E$.

(扩张的拉回和推出具有唯一性)

Question. [Mit65] 中证明这一点时用了下面这个 lemma, 但是我觉得唯一性是由拉回和推出的定义直接得到的.

给定短正合列之间的态射 $(α,\ ,γ): E'→E$, 则有分解

换句话说, 存在下列交换图满足 $\overline{β}β'=β$

构造 $\overline{E}$ 为拉回 $γ^*E$. 根据拉回的泛性质可以得到 $\overline{β}$ 使得右上角方块交换以及 $\overline{\beta}β'=β$. 左上角方块交换利用的是拉回的泛性质中态射的唯一性.

Remark. 如果只是弱拉回, 那么这个证明就会失效.

(简单等式)

(先拉回后推出和先推出后拉回是一样的) $$α_*γ^*E=γ^*α_*E.$$

考虑

根据 Lemma 有分解 (分解了 $(α,\ ,γ)$, 分解成第一个推出, 第二个拉回)

从而 $\overline{E}=α_*γ^*E=γ^*α_*E$.

Remark. 还是一样, 在只有弱拉回的情况下, 这个证明就会失效.

关于 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ 是不是集合的讨论

这个我暂时还没有感觉.

$\mathrm{Ext}^1 群$

记号:

$∇=(1,1): A⊕A→A$

$Δ=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}: A→A⊕A$

定义 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ 中的加法为 $$ E + E' = ∇ (E ⊕ E') Δ $$

我们想证明在这个加法的定义下, $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ 作成一个 Abel 群.

外三角范畴

2025-09-15T00:00:00+08:00

Chapter 1 外三角范畴

(外三角范畴的基本资料)

$$ \mathbb{E}: \mathcal{C}^{op} \times \mathcal{C} \to \mathbf{Ab} $$

$$ \mathfrak{s}: \mathbb{E}(Z,X) \to \mathcal{C}^{1→2→3}/\sim $$

(推出和拉回) $f_*=\mathbb{E}(Z,f), g^*=\mathbb{E}(g,X)$.

Tips: 下推出, 上拉回.

(外三角范畴的公理) 设 $(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$ 如上, 则称其为外三角范畴如果满足下列公理:

ET1 $\mathbb{E}$ 是加法双函子

ET2-1

ET2-2

Remark. 这里就很像 (TR3), 在三角范畴里面给定一个 $δ:Z\to\varSigma X$ 就可以对应到一个扩张;

ET3

ET3’

(把 ET2-2, ET3, ET3’ 都很相似, 很像三角范畴里面的态射定理)

ET4 给定 T 形图, 则可以补全虚线所示的 $⊣$ 形图

(外三角范畴的术语)

加法实现
inflation, deflation
$(f,g):\delta\to\delta'$ 是扩张元的态射, 若 $f_*\delta=g^*\delta'$
扩张元的推出和拉回诱导了实现的 “推出” 和 “拉回”, 但是这未必是范畴意义下的推出与拉回.

2.2 六项正合列

六项正合列需要 ET4, 五项不需要.

预三角范畴里面可以直接无穷项

($\delta_\sharp$ 和 $\delta^♯$)

(weak kernel 和 weak cokernel)

(弱推出、弱拉回)

(同构二推三)

Tips: $(-,β)$ epi $\iff$ $\beta$ split epi

(同伦推出、同伦拉回)

Tips: $(g∘-)=\mathrm{Hom}(-,g)$

Chapter 3 图表定理

Chapter 5 Hovey 对应

《基础代数学》作业 Week1-1

2025-09-15T00:00:00+08:00

代数闭域 $k$ 上的有限维可除代数只有 $k$.

如若不然, 即存在有限维可除代数 $A\not\cong k$, 取 $u∈ A\backslash k$. 考虑子代数 $k[u]↪A$, 对于任意 $v=f(u)∈k[u]$, 由有限性可知它有极小多项式 $m_v(x)∈ k[x]$, 由可除性知 $m_v(x)$ 常数项非零, 从而 $v$ 在 $k[u]$ 中可逆. 于是 $k[u]$ 是域, 从而是 $k$ 的有限扩域, 由 $k$ 代数闭可得 $k[u]=k$, 矛盾.

[另一种证明] 如若不然, 即存在有限维可除代数 $A\not\cong k$, 取 $u∈ A\backslash k$. 考虑它的极小多项式 $m_u(x)$ (由有限维保证存在). 由于 $k$ 代数闭, 可以写成一次多项式的乘积 $m_u(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n)$, 从而 $(u-x_1)\cdots(u-x_n)=0$, 由可除性知 $u=x_i∈ k$, 矛盾.

Remark. $m_u(x)$ 的根并不一定都在 $k$ 中(可以把 $k$ 嵌入到一个不是域的东西里面, 即 $u$ 未必是一个域里面的元素). 最简单的例子是 $k×k$ 中 $(1,0)∉k$ 的极小多项式是 $x(x-1)$. 所以题目里面的可除条件是必须的.

实数域 $\mathbb{R}$ 上的 2 维可除代数只有 $\mathbb{C}$.

设 $A$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 2 维可除代数. 取 $u∈ A\backslash \mathbb{R}$, 则 $1,u$ 线性无关, 从而构成 $A$ 的基. 记 $u^2=a+bu$, 则 $u$ 的极小多项式为 $x^2-bx-a$. 由可除性知 $a≠0$. 设 $v=u-\frac{b}{2}$, 则 $v^2=c=a+\frac{b^2}{4}∈\mathbb{R}\backslash \{0\}$ (可除性保证 $c≠0$) .

若 $c>0$, 则 $\{1,\frac{v}{\sqrt{c}}\}$ 是 $A$ 的基且 $(\frac{v}{\sqrt{c}})^2=1$. 注意到 $(\frac{v}{\sqrt{c}}-1)(\frac{v}{\sqrt{c}}+1)=0$, 这与可除性矛盾. 故 $c<0$. 记 $d=-c>0$, 则 $\{1,\frac{v}{\sqrt{d}}\}$ 是 $A$ 的基且 $(\frac{v}{\sqrt{d}})^2=-1$. 考虑映射 $\varphi:A→\mathbb{C},\ a+b\frac{v}{\sqrt{d}}\mapsto a+b\mathrm{i}$, 其中 $a,b∈\mathbb{R}$. 容易验证这是 $\mathbb{R}$-代数同构, 从而 $A\cong \mathbb{C}$.

不存在实数域 $\mathbb{R}$ 上的 3 维可除代数.

设 $A$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 3 维可除代数. 若对于任意的 $u∈ A\backslash \mathbb{R}$, 均有 $\{1, u, u^2\}$ 线性相关. 取 $A$ 的一组基 $\{1,u',v'\}$, 则有 $u'v'=r+su'+tv'$, 其中 $r,s,t\in\mathbb{R}$. 于是 $(u'-s)(v'-t)=r+st∈ \mathbb{R}\backslash \{0\}$ (由可除性). 令 $u=u'-s,v=v'-t$, 设 $u^2=au+b,v^2=cv+d$, 则 $u^2v^2=acuv+adu+cbv+bd$, 从而 $adu+cbv\in\mathbb{R}$. 由线性无关性知 $a=c=0$ (由可除性可知 $b≠ 0,d≠ 0$). 同上一题可知 $b<0, d<0$. 则 $(\frac{u}{\sqrt{-b}})^2=(\frac{v}{\sqrt{-d}})^2=-1$, 从而 $(\frac{u}{\sqrt{-b}}-\frac{v}{\sqrt{-d}})(\frac{u}{\sqrt{-b}}+\frac{v}{\sqrt{-d}})=0$, 矛盾.

于是存在 $u∈ A$ 使得 $\{1,u,u^2\}$ 是一组基. 记 $u^3=a+bu+cu^2$, 则 $u$ 的极小多项式为 $m_u(x)=x^3-cx^2-bx-a$, 它必有根 $x_0\in\mathbb{R}$, 于是 $(u-x_0)(u^2-λu-μ)=0$, 其中 $\lambda,\mu∈ \mathbb{R}$. 由于 $u∉\mathbb{R}$, $u-x_0≠0$, 由可除性 $u^2-λu-μ=0$, 矛盾.

对于任意环 $R$, 有环同构 $R≅\mathrm{Hom}_R(_RR,_RR)^{^{\mathrm{op}}}$.

考虑映射 $$\varphi:R→\mathrm{Hom}_R(_RR,_RR)^{^{\mathrm{op}}},\ r\mapsto \varphi_r=[x↦ xr].$$

容易验证 $\varphi_r$ 是左 $R$-模同态, 即 $\varphi_r\in\mathrm{Hom}_R(_RR,_RR)^{^{\mathrm{op}}}$, 主要是 $s(φ_r(x))=s(xr)=(sx)r=φ_r(sx)$.

容易验证 $\varphi$ 是环同态, 主要是 $φ_{rs}(x)=xrs=φ_s(φ_r(x))=(φ_s∘φ_r)(x)=(φ_r∘^{^{\mathrm{op}}}φ_s)(x)$, 从而 $φ_{rs}=φ_r∘^{^{\mathrm{op}}}φ_s$. 加法显然. 现证明它是双射.

(单射) 设 $r∈\ker\varphi$, 则对于任意 $x∈R$, 有 $xr=0$. 取 $x=1$ 可知 $r=0$. 故 $\varphi$ 是单射.

(满射) 设 $f∈ \mathrm{Hom}_R(_RR,_RR)$, 则 $f(1)∈R$. 记 $r=f(1)$, 则对于任意 $x∈R$, 有 $f(x)=f(x·1)=xf(1)=xr=\varphi_r(x)$. 即有 $f=φ_r$. 故 $\varphi$ 是满射.

对于右 $R$-模 $M_R$, $\mathrm{Hom}_R(R_R,M_R)$ 有自然的右 $R$-模结构, 并且有右 $R$-模同构 $M_R≅\mathrm{Hom}_R(R_R,M_R)$.

$\mathrm{Hom}_R(R_R,M_R)$ 上的右 $R$-模结构定义为 $(fr)(x)=f(rx)$, 其中 $f∈\mathrm{Hom}_R(R_R,M_R), r,x∈R$. 容易验证这是右 $R$-模结构.

考虑映射 $$\psi:M_R→\mathrm{Hom}_R(R_R,M_R),\ m\mapsto \psi_m=[x↦mx].$$

首先这是良定义的. 主要是 $ψ_m(xr)=m(xr)=(mx)r=(ψ_m)(x)r$, 保持加法显然. 从而 $ψ_m∈\mathrm{Hom}_R(R_R,M_R)$ 是右 $R$-模同态.

其次 $\psi$ 是右 $R$-模同态. 主要是 $(\psi_{m_1+m_2})(x)=(m_1+m_2)x=(m_1x)+(m_2x)=(\psi_{m_1})(x)+(\psi_{m_2})(x)=(\psi_{m_1}+\psi_{m_2})(x)$, $(\psi_{mr})(x)=(mr)x=m(rx)=(\psi_m)(rx)=(\psi_m r)(x)$. 即有 $\psi_{m_1+m_2}=\psi_{m_1}+\psi_{m_2}, \psi_{mr}=\psi_m r$.

(单射) 设 $m∈\ker\psi$, 则对于任意 $x∈R$, 有 $mx=0$. 取 $x=1$ 可知 $m=0$. 故 $\psi$ 是单射.

(满射) 设 $f∈ \mathrm{Hom}_R(R_R,M_R)$, 则 $f(1)∈M$. 记 $m=f(1)$, 则对于任意 $x∈R$, 有 $f(x)=f(1·x)=f(1)x=mx=\psi_m(x)$. 即有 $f=ψ_m$. 故 $\psi$ 是满射.

计算 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)$.

设 $m=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}, n=p_1^{s_1}\cdots p_k^{s_k}$, 其中 $p_i$ 是两两不同的素数, $r_i,s_i≥0$. 则 $\mathbb{Z}_m\cong \bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}_{p_i^{r_i}}, \mathbb{Z}_n\cong \bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}_{p_i^{s_i}}$. 于是有 $$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)\cong \bigoplus_{i=1}^k\bigoplus_{j=1}^k \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}},\mathbb{Z}_{p_j^{s_j}}).$$

当 $i≠j$ 时, $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}},\mathbb{Z}_{p_j^{s_j}})=0$. 这是因为对于任意 $f∈\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}},\mathbb{Z}_{p_j^{s_j}})$, 有 $0=f(p_i^{r_i})=p_i^{r_i}f(1)$, 以及 $0=p_j^{s_j}f(1)$, 由 $\gcd(p_i^{r_i},p_j^{s_j})=1$ 得 $f(1)=0$, 从而 $f=0$. 于是 $$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)\cong \bigoplus_{i=1}^k \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}},\mathbb{Z}_{p_i^{s_i}}).$$

当 $r_i≤s_i$ 时, 考虑 $\mathbb{Z}$-模同构(容易验证) $$\varphi:\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}}\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}},\mathbb{Z}_{p_i^{s_i}}), t↦[x↦ p_i^{s_i-r_i}tx].$$

当 $r_i>s_i$ 时, 考虑 $\mathbb{Z}$-模同构(容易验证) $$\psi:\mathbb{Z}_{p_i^{s_i}}\to\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_{p_i^{r_i}},\mathbb{Z}_{p_i^{s_i}}), t↦[x↦ tx].$$

综上所述, 有 $$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)\cong \bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}_{p_i^{\min\{r_i,s_i\}}}.$$

《基础代数学》第一章习题

2025-09-15T00:00:00+08:00

1.1 环与代数上的模

基本性质

域上的代数以及环上的模都有相应的对应定理和同构定理, 这个性质其实都源于他们可以构成 Abel 范畴.

(商的子和子的商一一对应) $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴.

给定 $N↪L↪M$, 则 $L/N$ 自然成为 $M/N$ 的子对象.
给定 $N↪M$ 以及 $L'↪M/N$, 考虑拉回得到 $L$, 则 $L'≅L/N$.

由余核泛性质自然诱导出 $L/N→ M/N$, 由命题 3.9.6 知右边是推出拉回方块, 由定理 3.9.5 知 $L/N↪M/N$ 是单态射.
由拉回的性质 (定理 3.9.5) 知 $N↪L$ 也是 $L→ L'$ 的核. 由命题 3.9.6 知右边是推出拉回方块, 从而 $L/N≅L'$.

(Noether 同构定理) $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴.

Q: 线性空间范畴里面 product 的基怎么考虑? (感觉上基和 coproduct 是对应的)

可除代数里面左逆等于右逆.

设 $a∈A$ 有左逆 $b$, 即 $ba=1$. 则 $b(1-ab)=b-bab=0$. 由可除知 $1-ab=0$, 即 $ab=1$. 故 $b$ 也是 $a$ 的右逆.

习题 1.1

$k$ 是域, $G$ 是群. 则 $k[G]$ 是 $k$-代数.