《基础代数学》作业 Week10-1
设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 若 $f : X \to Y$ 是满态射, 则对于任意态射 $g : Y \to Z$, 典范态射
$$\begin{equation}
\operatorname{Im} g \longrightarrow \operatorname{Im}(g f)
\end{equation}$$ 是同构.
考虑 $g$ 和 $gf$ 的满单分解.
由于 $\widetilde{g}fk=0$, 根据 $\widetilde{gf}$ 作为 $k$ 的 cokernel 的泛性质, 存在唯一态射 $c:\mathrm{Im}gf → \mathrm{Im}g$ 使得 $c \widetilde{gf} = \widetilde{g} f$. 由于 $\widetilde{g}f$ 是满的, 从而 $c$ 也是满的.
下面证明 $m_gc=m_{gf}$. 计算有 $$\begin{equation}
m_g c \widetilde{gf} = m_g \widetilde{g} f = g f = m_{gf} \widetilde{gf}.
\end{equation}$$ 由于 $\widetilde{gf}$ 是满的, 故 $m_g c = m_{gf}$. 由 $m_g$ 和 $m_{gf}$ 是单的, 可知 $c$ 也是单的.
综上, $c$ 是同构.
设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 则有典范同构
$$\begin{equation}
\prod_{1 \le i \le n} \ker f_i \cong \ker\!\left(\prod_{1 \le i \le n} f_i\right)
\end{equation}$$ 若 $\mathcal{A}$ 有无限积, 则此式对无限积也成立. 特别地, 若 $\mathcal{A}$ 有无限积, 则 $\prod_{i \in I} f_i$ 是单态射当且仅当每个 $f_i\,(i \in I)$ 均是单态射.
直接考虑指标集 $I$, 设 $\mathcal{A}$ 有关于指标集 $I$ 的积.
自然有上图右边两个方块. 下面验证 $∏ \ker f_i$ 是 $∏ f_i$ 的核. 设有态射 $g:Z→∏ X_j$ 满足 $∏ f_i ∘ g=0$. 则对于任意 $i$, 有 $f_i ∘ p^X_i ∘ g = p^Y_i ∘ ∏ f_i ∘ g = 0$. 由 $k_i$ 是 $f_i$ 的核, 存在唯一态射 $h_i:Z→\ker f_i$ 使得 $k_i ∘ h_i = p^X_i ∘ g$. 由积的泛性质, 存在唯一态射 $∏ h_i:Z→∏ \ker f_i$ 使得 $p^K_i ∘ ∏ h_i = h_i$.
下面证明 $∏ k_i ∘ ∏ h_i = g$. 计算有 $$\begin{equation}
p^X_i ∘ ∏ k_i ∘ ∏ h_i = k_i ∘ p^K_i ∘ ∏ h_i = k_i ∘ h_i = p^X_i ∘ g.
\end{equation}$$ 根据 $∏X_i$ 的泛性质, 可知 $∏ k_i ∘ ∏ h_i = g$. $∏ h_i$ 的唯一性由 $\ker f_i$ 的泛性质以及 $\prod\ker f_i$ 的泛性质保证(即每个分量下去都是唯一的, 回来也是唯一的).
设有单态射 $g : Y \hookrightarrow X$ 和态射 $h : Z \to Y$. 则有典范单态射
$$\begin{equation}
\operatorname{Coker} h \longrightarrow \operatorname{Coker}(g h).
\end{equation}$$
注意到有交换图:
其中 $c$ 是典范同构. 对两列正合列使用五引理得 $c'$ 是单态射.
Remark. 按道理说应该不能用五引理, Abel 范畴里面的版本还没证明. 我不知道这里有没有循环论证.