《基础代数学》作业 Week12-1
设 $f : X \to Y$ 是链映射. 则有复形的正合列
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \ker f \longrightarrow X \longrightarrow \operatorname{Im} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \operatorname{Im} f \longrightarrow Y \longrightarrow \operatorname{Coker} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$
和
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow \ker f \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow \operatorname{Coker} f \longrightarrow 0 \end{equation}$$
上述都是显然的, 因为我们已经证明了在复形范畴中取 kernel 和 cokernel 是逐分支进行的.
设 $M$ 是 $R$-模. 对每个 $n \in \mathbb{Z}$, 定义 $C^n = M$. 求复形
$$\begin{equation} C^\bullet := (C^n, 0) \end{equation}$$
的各次上同调群 $H^n(C^\bullet)$.
对于任意的 $n$, 由于微分全为零, 故有 $H^n(C^\bullet) = \ker 0 / \mathrm{Im} 0 \cong M$.
给定 $R$-模短正合列
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M' \xrightarrow{\alpha} M \xrightarrow{\beta} M'' \longrightarrow 0 \end{equation}$$
将其视为 $M$ 是零次分支的复形, 求这个复形的各次上同调群.
由于是正合列, 于是所有上同调群都是 $0$.
设 $\delta$ 是模 $M$ 的一个微分, 即 $\delta$ 是 $M$ 的自同态且满足 $\delta^2 = 0$. 求复形
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M \xrightarrow{\delta} M \longrightarrow 0 \end{equation}$$
的各次上同调群.
不妨记第一个 $0$ 是第 0 次分支. 于是有 $H^1 \cong \mathrm{Ker} \delta$ 且 $H^2 \cong \mathrm{Coker} \delta$. 其他次上同调群均为零.
设 $u : (C^\bullet, d) \longrightarrow (C'^\bullet, d')$ 是链映射. 定义 $u$ 的映射锥 $\operatorname{Cone}(u)$ 如下复形:
其第 $n$ 次分支为
$$\begin{equation} \operatorname{Cone}(u)^n = C^{n+1} \oplus C'^n, \quad \forall n \in \mathbb{Z} \end{equation}$$
第 $n$ 次微分为
$$\begin{equation} \begin{pmatrix} - d^{n+1} & 0 \\ u^{n+1} & d'^n \end{pmatrix} : C^{n+1} \oplus C'^n \longrightarrow C^{n+2} \oplus C'^{n+1} \end{equation}$$
验证 $\operatorname{Cone}(u)$ 确是复形.
只要验证微分的平方为零即可. 对任意的 $(x,y) \in C^{n+1} \oplus C'^n$, 有 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} - d^{n+2} & 0 \\ u^{n+2} & d'^{n+1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - d^{n+1} & 0 \\ u^{n+1} & d'^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d^{n+2} d^{n+1} & 0 \\ - u^{n+2} d^{n+1} + d'^{n+1} u^{n+1} & d'^{n+1} d'^n \end{pmatrix}=0. \end{equation}$$
其中左上和右下是 0 因为 $d$ 和 $d'$ 是复形的微分, 右上是 0 是显然的, 左下是 0 是因为 $u$ 是链映射.
设 $(C,d)$ 是 $k$-模上的有界复形, 其中 $k$ 是域. 令
$$\begin{equation} r_i = \dim_k C^i, \qquad \rho_i = \dim_k H^i(C) \end{equation}$$
证明
$$\begin{equation} \sum (-1)^i r_i = \sum (-1)^i \rho_i \end{equation}$$
由于 $\mathrm{Im}d^i≅C^i / \mathrm{Ker}d^i$, 以及 $H^i=\mathrm{Ker}d^i / \mathrm{Im}d^{i-1}$, 我们有 $$\begin{equation} r_i = \dim_k \mathrm{Im} d^i + \dim_k \mathrm{Ker} d^i = \dim_k \mathrm{Im} d^i + \dim_k H^i + \dim_k \mathrm{Im} d^{i-1}, \end{equation}$$ 从而 (这个求和依赖于有界性, 都是有限求和) $$\begin{equation} \sum (-1)^i r_i = \sum (-1)^i \rho_i + \sum (-1)^i \dim_k \mathrm{Im} d^i + \sum (-1)^i \dim_k \mathrm{Im} d^{i-1} = \sum (-1)^i \rho_i. \end{equation}$$