《基础代数学》作业 Week2-2

设 $A$ 是代数闭域 $k$ 上的有限维交换代数, $M$ 是 $A$ 上的单模. 则 $M$ 也是有限维的 (否则有真子模 $Am$, 其中 $m≠0$).

对于任意的 $a∈A$, 考虑 $A$-模同态 (同时也是 $k$-线性映射) $$ f_a: M→M,\ m\mapsto am. $$ 特别地, $f_a∈\mathrm{End}_k(M)$. 由于 $A$ 是交换代数, $\{f_a\}_{a∈A}$ 是两两可交换的线性算子, 从而自然是可解李代数. 由于 $M$ 有限维且 $k$ 是代数闭域, 根据 Lie’s Theorem 知存在 $0≠m∈M$, 使得对于任意 $a∈A$, 有 $am=f_a(m)=λ_a m$, 其中 $λ_a∈k$. 由此可见 $km$ 是 $A$ 的子模, 由单模的定义知 $km=M$. 于是 $\dim_k M=1$.

(⇐) 显然.

(⇒) (此证明假设了 $A$ 是有限维 $k$-代数) 由 Wedderburn-Artin 定理知 $A≅M_{n_1}(D_1)×⋯×M_{n_s}(D_s)$, 其中 $D_i$ 是有限维可除 $k$-代数. 由于 $A$ 是交换代数, 故 $n_i=1$, 即 $A≅D_1×⋯×D_s$. 再由交换性可知 $D_i$ 是交换代数, 从而是域, 并且是 $k$ 的扩域. (整体交换可以推到每个分量交换)

由 Maschke 定理知 $k[H], k[G]$ 均为半单代数. 由于 $H, G$ 是有限 Abel 群, 故 $k[H], k[G]$ 是交换代数. 由先前习题知 $k[H]≅k×⋯×k$ ($|H|$ 个), $k[G]≅k×⋯×k$ ($|G|$ 个). 故 $k[H]≅k[G]$ 当且仅当 $|H|=|G|$.

对于任意 $m∈M$, 有 $m=1m=(e_1+⋯+e_s)m=e_1m+⋯+e_sm∈\sum_{i=1}^se_iM$. 从而 $M=∑_{i=1}^s e_iM$. 取 $m_i∈e_iM∩(\sum_{j≠i}e_jM)$, 则 $m_i=e_im_i=0$. 故 $M=\bigoplus_{i=1}^s e_iM$.

另外显然 $e_iM$ 是左 $A_i$-模.

设 $A_i=M_{n_i}(D_i)$. 则 $A_i$ 是单代数. 则 $A_i$ 有唯一的单模 $S_i$. 通过自然投射 $p_i:A→A_i$ 可以将 $S_i$ 提升为 $A$-模 $V_i$, 显然 $V_i$ 是不可约 $A$-模且 $\mathrm{ann}(V_i)=\prod_{j≠i}M_{n_j}(D_j)$. 由于 $A_iV_j=\delta_{ij}V_j$ 知 $V_i$ 两两不同构.

由于 $A_i$ 是单代数, 从而是半单代数, 故 $A_i$ 作为 $A_i$-模有不可约分解 $A_i≅n_i S_i$. 作为 $A$-模, 有 $A_i≅n_i V_i$. 于是由 $A=A_1×⋯×A_s$ 可知 $$ {_AA}≅\bigoplus_{i=1}^s n_i V_i. $$ 其余显然.

设 $M=\bigoplus_{i=1}^s n_i (V_i,ρ_i)$ 是 $M$ 的不可约分解, 其中 $V_1,⋯,V_s$ 是全体互不同构的单 $A$-模. 则 $$ \mathrm{End}_A(M)≅\prod_{i=1}^s M_{n_i}(\mathrm{End}_A(V_i)). $$ 由 Schur 引理知 $\mathrm{End}_A(V_i)$ 是可除 $k$-代数, 从而 $M_{n_i}(\mathrm{End}_A(V_i))$ 是可除 $k$-代数上的全矩阵环, 故 $\mathrm{End}_A(M)$ 是半单代数.

设半单代数 $A$, 考虑它的商代数 $A/I$, 其中 $I$ 是 $A$ 的双边理想. 对于任意的 $A/I$-模 $M$, 通过提升可以看作 $A$-模, 并且 $IM=0$. $M$ 作为 $A$ 模是半单模, 从而 $M$ 作为 $A/I$-模也是半单模 (这是因为任意的被 $I$ 零化的单 $A$-模自然成为单 $A/I$-模, 从而作为 $A$-模的半单分解就是作为 $A/I$-模的半单分解). 由此可见 $A/I$ 是半单代数.

单代数在同构意义下只有唯一的单模 $V$. 于是 $M≅mV,N≅nV$. 于是 $M≅N⟺m=n⟺\dim_k M=\dim_k N$.