《基础代数学》作业 Week5-2
设 $M_1, M_2, N$ 都是 $M$ 的子模, 且 $M_2⊆ M_1$, $N+M_1=N+M_2, N∩M_1=N∩ M_2$. 则 $M_1=M_2$.
考虑如下交换图:
其中第一列是由嵌入 $M_2↪M_1$ 自然诱导的嵌入(故左边方块交换), 由条件知它是相等(同构); 最后一列是由嵌入 $M_2↪M_1$ 自然诱导的嵌入(故右边方块交换), 根据同构定理(见图中括号)以及条件知它是相等(同构). 故上图的确是两行正合列构成的交换图. 由五引理可知中间的嵌入也是同构, 从而 $M_1=M_2$.
证明 Noether 模的满自同态是同构.
设 $M$ 是 Noether 模, $f:M→M$ 是满同态. 考虑如下自然的子模升链: $$\begin{equation} \ker f ⊆ \ker f^2 ⊆ ⋯ ⊆ \ker f^n ⊆ ⋯ \end{equation}$$ 由 $M$ 是 Noether 模可知上面子模升链驻定, 即存在 $s\in\mathbb{N}$ 使得 $\ker f^s=\ker f^{s+1}$. 由 $f$ 是满同态可知 $f^s$ 也是满同态. 对于任意 $m∈\ker f$, 存在 $v∈ M$ 使得 $f^s(v)=m$, 从而 $0=f(m)=f^{s+1}(v)=f^s(v)=m$, 即 $\ker f = 0$, 故 $f$ 是单同态. 于是 $f$ 是同构.
Remark. 这里用到了一个论断: 单态射 + 满态射 = 同构. 这个论断在一般的范畴中不成立, 具有这种性质的范畴叫做 平衡范畴 (balanced category). 环范畴不是平衡范畴; 加法范畴也未必是平衡范畴. Abel 范畴都是平衡范畴, 一个简单的看法是考虑短正合列的可裂性, 例如, 考虑 Abel 范畴中既是满又单的态射 $f$, 考虑短正合列:
显然 $N→0$ 是可裂满, 所以 $f$ 是可裂单, 即 $f$ 有左逆 (也就是说在 Abel 范畴里面单态射等价于有左逆). 同理在 Abel 范畴里面满态射等价于有右逆. 于是 $f$ 有左逆又有右逆, 故 $f$ 是同构.
证明主理想整环是 Noether 环.
主理想整环的每个理想都是主理想, 从而是有限生成的, 于是主理想整环是 Noether 环.
设 $f:A→B$ 是环的满同态且 $A$ 是 Artin 环. 则 $B$ 是 Artin 环.
对于任意的 Abel 群 $M$, 我们有自同态环 $\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M)$ (赋予自然的环结构), 从而有反变 Hom 函子 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(-, \mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))$
, 将其作用到满同态 $A→B$ 上, 以得到单同态 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(B,\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))\xrightarrow{-∘f}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(A,\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))$. 从而所有的 $B$-模 $M$ 可以自然地视为 $A$-模且结构保持不变 (其实上述给出了一个 $B$-Mod 到 $A$-Mod 的忠实函子). 特别地, 左正则模 $_BB$ 可以自然地视为左 $A$-模 $_AB$. 由于 $A$ 是 Artin 环, 故 $_AB$ (由 $A↠B$ 是满态射知这是有限生成 $A$-模) 是 Artin 模, 从而 $_BB$ 也是 Artin 模(*), 故 $B$ 是 Artin 环.
(不使用函子语言的证明) 由提升, 做正则模 $_BB$ 自然就是左 $A$-模 $_AB$. 由于 $A$ 是 Artin 环, 故 $_AB$ (由 $A↠B$ 是满态射知这是有限生成 $A$-模) 是 Artin 模. 任意取 $_BB$ 的子模降链, 也是 $_AB$ 的子模降链, 故驻定. 于是 $_BB$ 也是 Artin 模, 故 $B$ 是 Artin 环.
Remark. 如果从$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ring}}(-,\mathrm{End}_{\mathbf{Ab}}(M))$是“反变左正合函子”考虑是行不通的, 因为环范畴 $\mathbf{Ring}$ 不是 Abel 范畴, 没有正合列概念. 但是实际上, Hom 函子的左正合性只是它在能定义正合列的范畴里面的方便说法, 其实 $\mathrm{Hom}(-,?)$ 将满态射 $A→ B$ 变为单态射 $\mathrm{Hom}(B,?)↪\mathrm{Hom}(A,?)$ 是 (反变) Hom 函子的一个普遍性质, 因为它本质上是满态射的定义.
Q: 如何从范畴角度刻画有限生成? 如何从模范畴中读出环的信息, 如 Noether, Artin 等性质?
我的想法: Artin 性质就是模范畴中不可以一直有非平凡的子对象. Noether 和 有限生成暂时看不出来.
设 $f:A→B$ 是环的满同态且 $A$ 是 Noether 环. 则 $B$ 是 Noether 环.
由提升, 做正则模 $_BB$ 自然就是左 $A$-模 $_AB$. 由于 $A$ 是 Noether 环, 故 $_AB$ (由 $A↠B$ 是满态射知这是有限生成 $A$-模) 是 Noether 模. 任意取 $_BB$ 的子模升链, 也是 $_AB$ 的子模升链, 故驻定. 于是 $_BB$ 也是 Artin 模, 故 $B$ 是 Artin 环.
Remark. 上面两个习题中的满态射条件其实都可以加强到 $_AB$ 是有限生成的.
设 $R$ 是左 Artin 环, 则任一有限生成左 $R$-模 $M$ 有合成因子.
因为 $R$ 是左 Artin 环, 从而 $R$ 也是左 Noether 环. 由于 $M$ 是有限生成左 $R$-模, 故 $M$ 是左 Artin 模也是左 Noether 模, 从而 $M$ 有合成因子.