模型范畴综述阅读笔记

Huang Ruizhi
September 23, 2025

本笔记主要基于综述 [Hov07] Mark Hovey. Model Categories. American Mathematical Soc., 2007. 链接

Preface

三个推荐阅读材料

[DHK] W. G. Dwyer, P. S. Hirschhorn, and D. M. Kan, Model categories and general abstract homotopy theory, in preparation.

concentrates more on homotopy colimits and less on the relationship between a model category and its homotopy category.

[Hir97] P. S. Hirschhorn, Localization, cellularization, and homotopy colimits, preprint, 1997.

concerned with localization of model categories, but also contains a significant amount of general theory.

[GJ97] P. F. Goerss and J. F. Jardine, Simplicial homotopy theory, preprint, 1997.

concentrates on simplicial examples.

预备知识

第七章需要 “the theory of homotopy limits of diagrams of simplicial sets” 的知识, 可以参考 [BK72] A. K. Bousfield and D. M. Kan, Homotopy limits, completions, and localizations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 304, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972, v+348 pp.

问题

When is the homotopy category of a model category a stable homotopy category in the sense of [HPS97]?

证明一个特定的范畴由模型结构很难, 但是 [Qui67] 给出了一个标准的方法, [DHK] 形式化了这个方法.

(可能的)最简单的非平凡模型范畴的例子: Frobenious 环上的模范畴.

论文结构

(第五章和第六章是技术核心)

第一章: 基本概念
第二章: 例子 (chain complexes over a ring, topological spaces, and chain complexes of comodules over a commutative Hopf algebra)
第三章: 例子 (the central example of simplicial sets.)
第四章: closed monoidal model categories
- 为什么有 internal tensor product 就能成为 monoidal category?
- 这个 tensor product 与模型结构之间的 compatible 要求是什么?
- 什么叫可以考虑 monoidal model cateogry 上面的 modules 和 algebras?
第五章:
第六章:

Chapter 1 Model Categories

为什么要定义模型范畴

为了让一个范畴里面的一些态射变成同构
- (感觉这是一个技术性的理论)
- 例如同伦等价、双有理等价
直接形式地把这些态射变成同构会导致一些问题
- 在局部化范畴里面两个对象之间的态射类未必是一个集合
  - Q: 这样为什么就不行?
- 这样很难理解局部化范畴里面的态射

Model Categories 的发展历史

[Qui67] 引入
[Qui69] 改进定义
[DHK] 再次改进
本文又改进: We modify their definition slightly to require that the functorial factorizations be part of the structure.

1.1 The Definition of a Model Category

给定范畴 $\mathcal{C}$, 我们用 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 表示态射范畴.

(retract of a morphism)

(functorial factorization(函子性分解)) 一对 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}→\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 的函子 $(α,β)$,
使得 $f=β(f)∘α(f)$ for all $f∈\mathrm{Mor}\mathcal{C}$.

(lifting property)

$i$ 有 left lifting property with respect to $p$ (或 $p$ 有 right lifting property with respect to $i$) 如果对于任意交换图

存在 $h$ 使得图表交换.

(model structure (模型结构), [Hovey])
一个范畴 $C$ 上的 model structure (模型结构) 是
3 个子范畴 (weak equivalences, cofibrations, fibrations) + 2个 functorial factorizations $(α,β)$ 和 $(γ,δ)$
满足以下公理:

(2-out-of-3) f, g, gf 中有两个是 weak equivalences 中则第三个也是.
(retracts) 3 个子范畴都对 retract 封闭.
(lifting) TC 对于 F 有 LLP, C 对于 TF 有 RLP.
(factorization) 对于每个态射 $f$, $α(f)$ 是 C, $β(f)$ 是 TF; $γ(f)$ 是 TC, $δ(f)$ 是 F.

(model category (模型范畴), [Hovey])
模型范畴 = 模型结构 + 有 small limits and colimits.

Remark. 这个定义跟 Quillen 的定义有区别:

Quillen 区分了 model category 和 closed model category, Hovey 直接把 closed model category 叫做 model category. (目前没有发现这两个有什么本质区别)
Quillen 只要求了有限 (co)limits, 但是 Hovey 要求了 small (co)limits (技术上更为方便).
Quillen 的分解不是函子性的, Hovey 要求了函子性分解. (在目前的所有例子上都是函子性的) 上面 3 点是 Hovey 自己说的, 我感觉还有一些区别 (和章璞老师讲义上的定义)
现在文献里面都把 closed model category 叫做 model category 了, 很少有人提 [Qui67] 里面的 model category 了.

Remark. 模型范畴是 self-dual 的, 交换 cofibrations 和 fibrations 即可.

(模型范畴的平凡例子)
考虑有 small limits and colimits 的范畴 $\mathcal{C}$, 定义所有同构都是 weak equivalences, 所有态射都是 cofibrations 和 fibrations.

记 initial object 为 $0$, terminal object 为 $*$.

(pointed model category (有基点的模型范畴)) initial object 和 terminal object 同构.

(cofibrant, fibrant)
一个对象 $X$ 被称为 cofibrant object, 如果 $0→X$ 是一个 cofibration. 余纤维对象类记为 $\mathcal{M}_c$
一个对象 $Y$ 被称为 fibrant object, 如果 $Y→*$ 是一个 fibration. 纤维对象类记为 $\mathcal{M}_f$

Remark. 这里暂时没有像章璞老师的讲义一样定义 trivial object, 感觉是因为在这个定义下 $0→*$ 不知道是不是 weak equivalent.

1.2 The homotopy Category

Hovey 的这一节是完全遵从 [Qui67] 的标准方法, 没有引入什么新的改进. 只有从 [DS95] 和 [DHK] 中借鉴了一些小的改进.

Q: 目前有没有什么新的东西?

最基本的结果: 局部化 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ (by inverting the weak equivalences) 和商范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$ (cofibrant 和 fibrant 对象商掉同伦关系) 是等价的.

Alert. $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 和 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$ 不是同一个范畴, 只是等价.

设 $\mathcal{M}$ 是模型范畴, $f, g: B→X$ 是两个态射.

cylinder object
path object
left homotopy
right homotopy
homotopic
homotopic equivalence