《基础代数学》作业 Week10-2

已经知道 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 是加法范畴, 下面只需要证明 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 有 kernel 和 cokernel, 且 image 和 coimage 自然同构.

给定 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 中的任一态射 $(\alpha,\beta):(X,f,Y)→(X',f',Y')$, 自然有下面的交换图, 其中虚线都是由 kernel 和 cokernel 的泛性质自然诱导出来的.

下面先证明 $(k_\alpha, k_\beta)$ 是 $(\alpha, \beta)$ 的 kernel (即逐分量取 kernel 就是 kernel). 首先显然有 $(\alpha, \beta)\circ(k_\alpha, k_\beta) = (0,0)$. 设有态射 $(s,t):(Z,h,W)→(X,f,Y)$ 满足 $(\alpha,\beta)∘(s,t)=(0,0)$. 则有 $\alpha s=0$ 且 $\beta t=0$. 由 $k_\alpha$ 和 $k_\beta$ 是分别是 $\alpha$ 和 $\beta$ 的 kernel, 存在唯一态射 $u:Z→\ker \alpha$ 和 $v:W→\ker \beta$ 使得 $k_\alpha u=s$ 且 $k_\beta v=t$. 由此得到态射 $(u,v):(Z,h,W)→(\ker \alpha, k_\alpha, \ker \beta)$ (这确实是态射范畴中的态射, 因为 $k_{\beta}k_{\alpha,\beta}u=fk_α u=fs=th=k_β vh$, 由于 $k_\beta$ 是单态射, 于是有 $k_{\alpha,\beta}u=vh$). 这样 $(u,v)$ 的唯一性由 $u$ 和 $v$ 的唯一性保证. 这样就证明了 $(\alpha,\beta)$ 的 kernel 是 $(k_\alpha, k_\beta)$.

同理可以证明, 逐项求 cokernel 也得到态射范畴中的 cokernel.

从而对于 image 和 coimage 也是逐项求即可. 由于在 Abel 范畴中 image 和 coimage 自然同构, 故在态射范畴中也自然同构.

由于 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象, 存在 $\mathcal{A}$ 中的投射对象 $P$ 和满态射 $p:P→U$, 以及投射对象 $Q$ 和满态射 $q:Q→V$. 考虑如下 $\mathrm{Mor}(\mathcal{A})$ 中的态射 $(p, (fp,q))$:

注意到 $P⊕Q$ 是投射对象并且 $(fp,q):P⊕Q→V$ 是满态射. 于是上面的态射是满态射, 由于 $(U,f,V)$ 是投射对象, 于是 $(U,f,V)$ 是 $(P,\begin{pmatrix}\mathrm{Id}_P \\ 0\end{pmatrix}, P⊕Q)≅(P,\mathrm{Id}_P,P)⊕(0,0,Q)$ 的直和项.