《基础代数学》作业 Week11-1
设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 对于态射列 $0 \rightarrow X \overset{x}{\hookrightarrow} Y \xrightarrow{y} Z$, 它是正合列当且仅当 $x$ 是 $y$ 的核.
(⇒) 由于在 $X$ 处正合, 于是 $\mathrm{Ker}x=0$, 于是 $x$ 是单态射. 由于在 $Y$ 处正合, 于是有 $\mathrm{Ker}y=\mathrm{Im}x$. 考虑交换图:
由于 $yx=0$, 存在唯一的态射 $s:X→\mathrm{Ker}y$ 使得 $x=k_ys$, 由于 $x$ 是单态射, 于是 $s$ 是单态射. 同时由于 $\mathrm{Ker}y≅\mathrm{Im}x$, 这个 $s$ 同时也是满单分解给出的态射, 于是 $s$ 也是满态射, 从而 $s$ 是同构. 于是 $x$ 是 $y$ 的 kernel.
(⇐) 只需要验证在 $Y$ 处正合, 即验证 $\mathrm{Ker}y=\mathrm{Im}x$. 考虑如下交换图:
取 $x$ 的满单分解, 由于 $ym_x=0$ (由 $ym_x\widetilde{x}=0$ 及 $\widetilde{x}$ 单可得), 根据 $x$ 是 $y$ 的 kernel, 存在唯一的态射 $s$ 使得 $xs=m_x$. 于是 $x=m_x\widetilde{x}=xs\widetilde{x}$, 根据 $x$ 单可得 $s\widetilde{x}=\mathrm{Id}_X$. 同理可得 $\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}(x)}=\widetilde{x}s$. 从而 $s, \widetilde{x}$ 是同构, 即得 $\mathrm{Im}x≅\mathrm{Ker}y$.
设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴. 对于态射列 $X \xrightarrow{x} Y \overset{x}{\twoheadrightarrow} Z \rightarrow 0$, 它是正合列当且仅当 $y$ 是 $x$ 的余核.
与上一题完全类似.
设下图的两行均是 Abel 范畴中的正合列, 且左边的方块交换：
则存在唯一的态射 $h$ 使得右边的方块也交换.
由上面的习题知 $y$ 是 $x$ 的 cokernel, 于是由 $y'gx=y'x'f=0$ 得存在唯一的态射 $h$ 使得 $y'g=hy$.
设下图的两行均是 Abel 范畴中的正合列, 且右边的方块交换：
则存在唯一的态射 $f$ 使得左边的方块也交换.
由上面的习题知 $x'$ 是 $y'$ 的 kernel, 于是由 $y'gx=hyx=0$ 得存在唯一的态射 $f$ 使得 $gx=x'f$.
设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $P$ 是投射对象. 若任意短正合列 $0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$ 都是可裂短正合列; 当 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象时, 逆命题也成立.
考虑态射 $\mathrm{Id}_P:P→ P$, 由于 $P$ 是投射对象, 以及 $N\xrightarrow{g}P$ 是满态射, 于是存在 $s:P→N$ 使得 $\mathrm{Id}_P=gs$. 从而该列是短正合列.
当 $\mathcal{A}$ 有足够多投射对象时, 对于任意的满态射 $g:M→N$ 及态射 $p:P→N$, 考虑交换图
其中 $Q$ 是投射对象, $q:Q→P$ 是满态射, 根据可裂条件可得存在 $t:P→Q$ 使得 $qt=\mathrm{Id}_P$. 由于 $Q$ 是投射对象, 故存在 $s:Q→ M$ 使得 $gs=pq$. 由于 $p=pqt=gst$, 从而 $P$ 是投射对象.
设 $\mathcal{A}$ 是 Abel 范畴, $I$ 是内射对象. 若任意短正合列 $0 \longrightarrow I \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow 0$ 都是可裂短正合列; 当 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象时, 逆命题也成立.
与上一题证明完全类似.