《基础代数学》作业 Week12-2
设有 $k$-代数 $A$ 的模范畴上复形短正合列
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \longrightarrow 0 \end{equation}$$
若 $Y$ 是无环复形, 且 $H^{100}(X) = k$ 求 $H^{99}(Z)$.
由同调代数基本定理, 有长正合列 $$\begin{equation} \cdots \longrightarrow H^{99}(Y) \longrightarrow H^{99}(Z) \longrightarrow H^{100}(X) \longrightarrow H^{100}(Y) \longrightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于 $Y$ 是无环复形, 故 $H^{99}(Y) = H^{100}(Y) = 0$. 由此可知 $H^{99}(Z) \cong H^{100}(X) \cong k$.
设 $f : X \to Y$ 是链映射. 如果 $\ker f$ 和 $\operatorname{Coker} f$ 均为无环复形, 则 $f$ 是拟同构.
有上链复形的短正合列 $0→\mathrm{Ker}f →X→\mathrm{Im}f→ 0$ 和 $0→\mathrm{Im}f →Y→\mathrm{Coker}f→ 0$. 由同调代数基本定理, 以及 $\mathrm{Ker}f$ 和 $\mathrm{Coker}f$ 均为无环复形, 可知 $H^n(X) \cong H^n(\mathrm{Im}f) \cong H^n(Y)$ 对任意的 $n$ 成立(两个同构由 $f$ 满单分解的两个态射作用上同调函子之后得到). 因此 $f$ 是拟同构(要用一下 $\mathrm{H}^n$ 是函子).
设在一个 Abel 范畴中有如下三个短正合行构成的交换图:
证明:
(1) 如果中间的列正合, 则右端的列为正合当且仅当左端的列为正合.
(2) 如果两端的列都正合, 而且复合态射 $B' \to B''$ 是零态射, 则中间的列也正合.
(1) 由中间的列正合 (从而复合态射 $B'→ B''$ 是零态射) 和交换图可知, $B'→ C'→C''$ 是零态射, 而 $B'→C'$ 是满态射 (由第一行正合), 所以复合态射 $C'→C''$ 是零态射. 同理可证复合态射 $A'→A''$ 是零态射.
于是, 可以看作上链复形的短正合列 $0→A_*→B_*→C_*→0$, 其中 $A_*, B_*, C_*$ 分别是左、中、右端的列构成的复形. 注意到, 正合性等价于复形是无环复形.
由同调代数基本定理可知 (其实是课本给出的推论), 若中间的列正合 ($B_*$ 是无环复形), 则左端的列为无环复形当且仅当右端的列为无环复形.
(2) 同理, 可看作上链复形的短正合列 $0→A_*→B_*→C_*→0$. 由同调代数基本定理可知, 若两端的列都正合 ($A_*, C_*$ 均为无环复形), 则中间的列也为正合列 ($B_*$ 也是无环复形).