《基础代数学》作业 Week13-1

自反性和交换性由定义是直接的. 对于传递性, 若 $f∼g, g∼h$, 那么就有 $f-g∼0, g-h∼0$, 于是由加法范畴显然可得 $f-h∼0$, 也即是 $f∼h$.

对于第一个蕴含式, 设 $f∼g$, 则存在态射系 $s^n : X^n → Y^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $f^n - g^n = d_Y^{n-1} s^n + s^{n+1} d_X^n$. 对任意的 $m$ 有 $$\begin{equation} (fh)^m - (gh)^m = (f^m - g^m) h^m = d_Y^{m-1} s^m h^m + s^{m+1} d_X^m h^m = d_Y^{m-1} (s^m h^m) + (s^{m+1} h^{m+1}) d_Z^m, \end{equation}$$ 于是 $fh ∼ gh$ (这里设 $h$ 是从上链复形 $Z$ 到 $X$ 的链映射). 另一个同理.

对于任意一族链复形映射 $\{\varphi_i: X_i→ Y \}_{i∈ I}$, 存在唯一的态射 $\varphi:\bigoplus_{i∈I}X_i→ Y$ 使得 对任意的 $i∈ I$ 有 $\varphi e_i = \varphi_i$, 其中 $e_i:X_i→\oplus_{i∈I}X_i$ 是嵌入结构态射.

考虑满函子 $$\begin{equation} [\bullet] : C(\mathcal{A}) → K(\mathcal{A}), \quad X \mapsto X, \quad f \mapsto [f]:=\{ g ∣ g∼ f \}. \end{equation}$$

于是任取 $K(\mathcal{A})$ 里面的一族链复形态射 $\{ [\varphi_i]: [X_i] → [Y] \}_{i∈ I}$, 由满性可知存在 $\varphi_i: X_i → Y$ 使得 $[\varphi_i]$ 是其同伦类. 由上面的性质可知存在唯一的态射 $\varphi:\bigoplus_{i∈I}X_i→ Y$ 使得对任意的 $i∈ I$ 有 $\varphi e_i = \varphi_i$. 于是有 $$\begin{equation} [\varphi] [e_i] = [\varphi e_i] = [\varphi_i], \quad ∀ i∈ I. \end{equation}$$

下面只要证明 $[\varphi]$ 的唯一性: 若存在 $\psi:\bigoplus_{i∈I}X_i→ Y$ 使得对任意的 $i∈ I$ 有 $[\psi] [e_i] = [\varphi_i]$, 则有 $[(ψ - φ) e_i] = 0]$, 从而 $(ψ - φ) e_i ∼ 0$. 由同伦定义知, 存在态射系 $s_i^n : X_i^n → Y^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $$\begin{equation} (ψ^n-φ^n)e_i^n=((ψ - φ) e_i)^n = d_Y^{n-1} s_i^n + s_i^{n+1} d_{X_i}^n. \end{equation}$$ 考虑态射系 $s^n : (\bigoplus_{i∈I}X_i)^n → Y^{n-1}$ 定义为 $s^n|_{X_i^n} = s_i^n$. 则对任意的 $n$ 有 $$\begin{equation} (ψ^n-φ^n) = d_Y^{n-1} s^n + s^{n+1} d_{\bigoplus_{i∈I}X_i}^n. \end{equation}$$ 于是 $ψ ∼ φ$, 也即是 $[ψ] = [φ]$. 综上所述, 直和在同伦范畴中也是直和.

显然是共变函子(同伦的链映射诱导出相同的同调群态射). 只要证明 $H^n$ 保持加法结构即可. 设 $[f], [g] : X \to Y$ 是 $K(\mathcal{A})$ 中的两个态射. 则有 $$\begin{equation} H^n([f] + [g]) = H^n([f + g]) = H^n(f + g) = H^n(f) + H^n(g) = H^n([f]) + H^n([g]). \end{equation}$$

设 $\alpha, \beta : X \to Y$ 是同伦的链映射. 则存在态射系 $s^n : X^n \to Y^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $$\begin{equation} \alpha^n - \beta^n = d_Y^{n-1} s^n + s^{n+1} d_X^n. \end{equation}$$ 定义态射系 $h^n : \operatorname{Cone}(\alpha)^n \to \operatorname{Cone}(\beta)^n$ 如下: $$\begin{equation} h^n = \begin{pmatrix} \operatorname{Id}_{X^{n+1}} & 0 \\ s^{n+1} & \operatorname{Id}_{Y^n} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ 则 $h = \{ h^n \}$ 是链映射(直接验证即可). 类似地, 定义态射系 $k^n : \operatorname{Cone}(\beta)^n \to \operatorname{Cone}(\alpha)^n$ 如下: $$\begin{equation} k^n = \begin{pmatrix} \operatorname{Id}_{X^{n+1}} & 0 \\ - s^{n+1} & \operatorname{Id}_{Y^n} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ 则 $k = \{ k^n \}$ 也是链映射. 显然有 $kh = \operatorname{Id}_{\operatorname{Cone}(\alpha)}$ 且 $hk = \operatorname{Id}_{\operatorname{Cone}(\beta)}$. 于是在同伦范畴中有 $\operatorname{Cone}(\alpha) \cong \operatorname{Cone}(\beta)$.

考虑复形 $$\begin{equation} ⋯→\mathbb{C}^2\xrightarrow{P_1}\mathbb{C}^2\xrightarrow{P_2}\mathbb{C}^2\xrightarrow{P_1}\mathbb{C}^2→⋯, \end{equation}$$ 令 $s^n=\mathrm{Id}_{\mathbb{C}^2}, ∀ n$, 则这个复形是可裂复形. 但显然它不是无环复形, 因为 $H^n(C) \cong \mathbb{C}^2 / \mathrm{Im} P_i \cong \mathbb{C} \neq 0$ 对任意的 $n$ 成立.

显然复形 $$\begin{equation} \cdots \longrightarrow \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{2} \cdots \end{equation}$$ 是无环复形. 下面证明它不是可裂复形. 假设存在态射系 $s^{n+1} : \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}_4$ 使得对每个 $n$ 有 $2 s^{n+1} (2) = 2$. 则 $2=4s^{n+1}(1)=0$, 矛盾.

首先证明 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象是无环的可裂复形. 设 $(C,d)$ 是 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象, 即 $\mathrm{Id}_C$ 是零伦的, 即存在态射系 $s^n : C^n \to C^{n-1}$ 使得对任意的 $n$ 有 $\mathrm{Id}_{C^n} = d^{n-1} s^n + s^{n+1} d^n$, 于是 $d^n = d^n s^{n+1}d^n$, 故 $(C,d)$ 是可裂复形. 另外, 由于 $Id_C$ 与零态射同伦, 它与零态射也诱导出相同的同调群态射, 即 $\mathrm{Id}_{H^n(C)} = 0$, 故 $H^n(C) = 0$ 对任意的 $n$ 成立, 也即是 $(C,d)$ 是无环复形.

下面证明无环的可裂复形是 $K(\mathcal{A})$ 中的零对象. 设 $(C,d)$ 是无环的可裂复形, 只要证明它到其他复形以及其他复形到它的态射都是零伦的即可, 这只需要证明 $\mathrm{Id}_C$ 是零伦的. 由可裂性, 存在态射系 $s^{n+1} : C^{n+1} \to C^n$ 使得对每个 $n$ 有 $d^n s^{n+1} d^n = d^n$. 由于 $(C,d)$ 是无环复形, 故有 $\mathrm{Im} d^{n-1} = \mathrm{Ker} d^n$.

先证明 $K(\mathcal A)$ 中的零对象是无环的可裂复形. 设 $(C,d)$ 是 $K(\mathcal A)$ 中的零对象，即 $\mathrm{Id}_C$ 为零伦. 因此存在态射系 $s^n : C^n \to C^{n-1}$ 使得对任意 $n$ 有 $$ \mathrm{Id}_{C^n}=d^{n-1}s^n+s^{n+1}d^n. $$ 两侧同时右乘 $d^n$ 得 $$ d^n=d^n s^{n+1} d^n, $$ 故 $(C,d)$ 为可裂复形. 另一方面，由于 $\mathrm{Id}_C$ 与零态射同伦，它们作用在同调群上相同，即 $$ \mathrm{Id}_{H^n(C)}=0, $$ 从而 $H^n(C)=0$ 对任意 $n$ 成立，即 $(C,d)$ 为无环复形. 因此，$K(\mathcal A)$ 中的零对象必为无环的可裂复形.

现在证明无环的可裂复形为 $K(\mathcal A)$ 中的零对象. 设 $(C,d)$ 为无环的可裂复形. 只需证明 $\mathrm{Id}_C$ 为零伦. 由可裂性，存在态射系 $s^{n+1}:C^{n+1}\to C^n$ 使得 $d^n s^{n+1} d^n = d^n$. 定义 $$ \varphi^n := s^{n+1} d^n : C^n \to C^n. $$ 则有 $\varphi^n$ 是幂等的. 不妨设 $\mathrm{Im}\varphi^n\xrightarrow{m_{\varphi^n}}X_n\xrightarrow{\widetilde{\varphi^n}}\mathrm{Im}\varphi^n$ 是恒等态射, 即有下面的交换图

从而有可裂短正合列 $$\begin{equation} 0 \longrightarrow \mathrm{Ker} \varphi^n \xrightarrow{m_{\varphi^n}'} C^n \xrightarrow{\widetilde{\varphi^n}} \mathrm{Im} \varphi^n \longrightarrow 0, \end{equation}$$ 其中 $m_{\varphi^n}'$ 是 $\mathrm{Ker} \varphi^n$ 的嵌入结构态射. 注意到 $$\begin{equation} \mathrm{Ker} d^n⊆ \mathrm{Ker} \varphi^n ⊆ \mathrm{Ker} (d^n\varphi^n) = \mathrm{Ker} d^n, \end{equation}$$ 因此 $\mathrm{Ker} \varphi^n = \mathrm{Ker} d^n$. 从而有 $$\begin{equation} C^n \cong \mathrm{Ker} d^n \oplus \mathrm{Im} \varphi^n = \mathrm{Ker} d^n \oplus \mathrm{Im} d^{n-1}. \end{equation}$$

于是复形 $X$ 可以写成如下直和 $$\begin{equation} \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \left[ \cdots \longrightarrow 0 \longrightarrow \operatorname{im}(\varphi^n) \xrightarrow{\,d^n\,} \ker(d^{n+1}) \longrightarrow 0 \longrightarrow \cdots \right]. \end{equation}$$

注意到每个直和分支都是零伦的, 因为

从而 $X$ 是零对象.