《基础代数学》作业 Week15-2
写出并证明内射维数的刻画.
设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数.
称 $N$ 的投射维数不超过 $d$, 记作 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$, 如果存在 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^d \rightarrow 0$.
称 $N$ 的内射维数为 $d$, 记作 $\operatorname{inj.dim}(N) = d$, 如果 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$ 且不存在 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \rightarrow 0$.
若 $N$ 没有有限长的内射分解, 则称 $N$ 的内射维数为无穷, 记作 $\operatorname{inj.dim}(N) = \infty$.
设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数. 则下述命题等价:
(i) $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$;
(ii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{n}(M,N) = 0, ∀n ≥ d+1$;
(iii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0$;
(iv) 若 $0 → N \xrightarrow{t^0} I^0 \xrightarrow{t^1} I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \xrightarrow{t^d} I^d \rightarrow 0$ 是 $\mathcal{A}$ 中正合列, 且 $I^0,⋯,I^{d-1}$ 均为内射对象, 则 $I^d$ 也是内射对象.
(i) $\Rightarrow$ (ii): 由定义显然.
(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.
(iii) $\Rightarrow$ (iv): 令 $C^i = \mathrm{Im}t^i, i=0,\cdots, d$ (不妨记 $C^0:= N, C^d:=I^d$), 则可得到正合列 $$\begin{equation}
0→C^{i}→I^i→C^{i+1}→0, \quad i=0,\cdots,d-1.
\end{equation}$$ 根据推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation}
0=\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i}(M,I^{i})→\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i}(M,C^{i+1})→\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i+1}(M,C^{i})→\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d-i+1}(M,I^{i})=0,\quad i=0,\cdots,d-1.
\end{equation}$$ 于是有 $$\begin{equation}
\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{1}(M,I^d) = \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{2}(M,C^{d-1}) = \cdots = \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,C^0) = \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0.
\end{equation}$$ 从而 $I^d$ 是内射对象.
(iv) $\Rightarrow$ (i): 取正合列 $0 → N \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots → I^{d-1}$, 其中 $I^0,⋯,I^{d-1}$ 均为内射对象. 令 $I^d = \mathrm{Coker}(I^{d-2}→ I^{d-1})$, 则由 (iv) 可知 $I^d$ 也是内射对象. 从而得到 $N$ 的内射分解 $0 → N \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \rightarrow I^d \rightarrow 0$. 故 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$.
设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\mathcal{A}$ 的对象, $d$ 是非负整数. 则下述命题等价:
(i) $\operatorname{inj.dim}(N) = d$;
(ii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{n}(M,N) = 0, ∀n ≥ d+1$, 且存在对象 $M'$ 使得 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M',N) \neq 0$;
(iii) 对 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$ 有 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d+1}(M,N) = 0$, 且存在对象 $M'$ 使得 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M',N) \neq 0$;
(iv) 存在 $\mathcal{A}$ 中的正合列 $0 → N \xrightarrow{t^0} I^0 \xrightarrow{t^1} I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \xrightarrow{t^d} I^d \rightarrow 0$, 其中 $I^0,⋯,I^{d-1}$ 均为内射对象, 则 $I^d$ 也为内射对象, 且 $t^d$ 非可裂满.
(i) $\Rightarrow$ (ii): 第一部分显然. 对于第二部分, 取 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-1} \xrightarrow{t^d} I^d→ 0$, 作用 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,-)$ 得到复形 $$\begin{equation}
0 → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,N) → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^0) → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^1) → \cdots → \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^{d-1}) \xrightarrow{\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,t^d)} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^d) → 0.
\end{equation}$$ 我们断言 $\mathrm{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(I^d,N)=\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,I^d)/\mathrm{Im\ }\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,t^d)≠0 $. 否则 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(I^d,t^d)$ 为满态射, 故存在 $s: I^d → I^{d-1}$ 使得 $t^d s = \mathrm{Id}_{I^d}$, 即 $t^d$ 可裂满. 因而存在 $I'$ 使得 $I^{d-1}≅ \mathrm{Ker}t^d⊕I'$, 于是得到 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-2} \rightarrow I' → 0$, 矛盾.
(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.
(iii) $\Rightarrow$ (iv): 只要证明 $t^d$ 非可裂满即可. 否则, 有 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-2} \rightarrow I' → 0$, 从而 $\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{d}(M,N) = 0, ∀ M∈\mathcal{A}$, 矛盾.
(iv) $\Rightarrow$ (i): 由上个命题可知 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d$. 若 $\operatorname{inj.dim}(N) ≤ d-1$, 则存在 $N$ 的内射分解 $0 → N \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^{d-2} \rightarrow I^{d-1} → 0$, 由 (iv) 可知 $0: I^{d-1}→ 0$ 非可裂满, 矛盾. 故 $\operatorname{inj.dim}(N) = d$.
设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴, $0→X→Y→Z→0$ 是 $\mathcal{A}$ 中的短正合列. 则当 $\operatorname{inj.dim}(X), \operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(Z)$ 三者中有两者为有限时, 第三者也为有限. 进一步, 我们有
(1) $\operatorname{inj.dim}(Y) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(X), \operatorname{inj.dim}(Z)\}$;
(2) $\operatorname{inj.dim}(X) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(Z)+1\}$;
(3) $\operatorname{inj.dim}(Z) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(X)-1\}$.
设 $\operatorname{inj.dim}(X) = d_X, \operatorname{inj.dim}(Y) = d_Y, \operatorname{inj.dim}(Z) = d_Z$.
(1) 考虑推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation}
\cdots → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_X,d_Z\}+1}(M,X) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_X,d_Z\}+1}(M,Y) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_X,d_Z\}+1}(M,Z) → \cdots
\end{equation}$$ 由内射维数的刻画可知, 上式中两端项均为零, 故中间项也为零. 由内射维数的刻画可知, $\operatorname{inj.dim}(Y) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(X), \operatorname{inj.dim}(Z)\}$.
(2) 考虑推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation}
\cdots → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_Z+1\}}(M,Z) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_Z+1\}+1}(M,X) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_Z+1\}+1}(M,Y) → \cdots
\end{equation}$$ 由内射维数的刻画可知, 上式中两端项均为零, 故中间项也为零. 由内射维数的刻画可知, $\operatorname{inj.dim}(X) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(Z)+1\}$.
(3) 考虑推论 3.6.2 的 (RD3) 导出的长正合列, 对于 $\mathcal{A}$ 中任意对象 $M$, 有正合列 $$\begin{equation}
\cdots → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_X-1\}+1}(M,Y) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_X-1\}+1}(M,Z) → \operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^{\max\{d_Y,d_X-1\}+2}(M,X) → \cdots
\end{equation}$$ 由内射维数的刻画可知, 上式中两端项均为零, 故中间项也为零. 由内射维数的刻画可知, $\operatorname{inj.dim}(Z) ≤ \max\{\operatorname{inj.dim}(Y), \operatorname{inj.dim}(X)-1\}$.
Reamrk. 课本推论 3.8.4 有错误.
设 $A$ 是有限维代数. 则 $\operatorname{gl.dim} A = 0$ 当且仅当 $A$ 是半单代数.
由此前习题可知, 有限维代数 $A$ 是半单代数当且仅当任意 $A$-模都是投射模, 根据整体维数定义可知 $\operatorname{gl.dim} A = 0$ 当且仅当 $A$ 是半单代数.
证明下一题需要一个引理, 它是课本定理 1.10.4 的推广. 课本应对有限秩情形使用了归纳法, 这里使用超限归纳(transfinite induction) 来处理任意秩情形.
主理想整环 $D$ 上的自由模的非零子模都是自由 $D$-模.
设 $F$ 是主理想整环 $D$ 上的自由模, 且 $\operatorname{rank} F = \kappa$, 其中 $\kappa$ 是某个基数. 设 $N$ 是 $F$ 的非零子模. 我们使用超限归纳法证明 $N$ 是自由 $D$-模.
我们可以假设 $$\begin{equation} F = \bigoplus_{\alpha < \kappa} D e_\alpha. \end{equation}$$ 对于每个序数 $\beta\leq\kappa$, 可以定义子模 $$\begin{equation} F_\beta = \bigoplus_{\alpha < \beta} D e_\alpha⊆ F, \end{equation}$$ 并定义 $$\begin{equation} N_\beta = N ∩ F_\beta ⊆ N. \end{equation}$$ 则 $(F_\beta)_{\beta\leq\kappa}$ 是一个递增滤过, $(N_\beta)_{\beta\leq\kappa}$ 也一样, 且 $$\begin{equation} N = N_\kappa = \bigcup_{\beta < \kappa} N_\beta. \end{equation}$$
(1) 有限情形在课本定理 1.10.4 中已证明.
(2) 证明后继步保持结论: 固定一个 $\alpha<\kappa$, 设 $N_{α}$ 是自由模, 我们来证明 $N_{α+1}$ 也是自由模.
Claim: $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $D$ 的理想.
如果有此 Claim, 考虑短正合列 $$\begin{equation}
0 → N_{α} → N_{α+1} → N_{α+1}/N_{α} → 0,
\end{equation}$$ 由于 $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $D$ 的理想, 且 $D$ 是主理想整环, 故 $N_{α+1}/N_{α}$ 是 $0$ 或者 $D$ (不论哪种情况都是投射模), 从而短正合列可裂, 故 $N_{α+1} \cong N_{α} \oplus (N_{α+1}/N_{α})$ 是自由模.
下面来证明 Claim. 取任意 $x ∈ N_{α+1}$, 记其在 $F_{α+1}=F_α⊕De_α$ 中的唯一表示为 $x = x' + d e_{α}$, 其中 $x' ∈ F_{α}, d ∈ D$. 于是可以考虑态射 $\pi_\alpha: N_{\alpha+1}→ D, x↦d$ (显然是 $D$-模同态), 并且注意到 $\mathrm{Im}\ \pi_\alpha \cong N_{α+1}/N_{α}$, 这就是 $D$ 的一个理想.
(3) 证明极限步保持结论: 固定一个极限序数 $\lambda ≤ \kappa$, 设对所有 $\beta < \lambda$, $N_{\beta}$ 都是自由模, 我们来证明 $N_{\lambda}$ 也是自由模.
根据归纳假设以及之前的证明, 我们可以给出下面的直和补 $$\begin{equation} N_{\beta+1} \cong N_{\beta} \oplus C_{\beta}, \quad \forall \beta < \lambda, \end{equation}$$ 其中 $C_\beta$ 为 $D$ 或者 $0$.
下面我们来证明 $$\begin{equation} N_{\lambda} \cong \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta}. \end{equation}$$
对于任意的 $x∈N_λ$, 根据直和的定义(本质都是有限和), 存在某个 $\gamma < \lambda$ 使得 $x ∈ N_{\gamma}$, 并且我们有 $$\begin{equation}
N_{\gamma} \cong \bigoplus_{\beta < \gamma} C_{\beta} \subseteq \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta},
\end{equation}$$ 从而 $x$ 是有限多个 $C_{\beta}(\beta<\lambda)$ 元素的和, 且表示唯一, 于是就有 $$\begin{equation}
N_{\lambda} \cong \bigoplus_{\beta < \lambda} C_{\beta}.
\end{equation}$$ 因此 $N_{\lambda}$ 是自由模.
综上, 由超限归纳法可知, $N = N_{\kappa}$ 是自由模.
证明 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} = 1$.
对于任意 $\mathbb{Z}$-模 $M$, 存在自由 $\mathbb{Z}$-模 $F$ 使得有短正合列 $0 → K → F → M → 0$. 由于 $\mathbb{Z}$ 是主理想整环, 故由引理可知 $K$ 是自由 $\mathbb{Z}$-模, 从而 $\operatorname{proj.dim}(_{\mathbb{Z}} M) ≤ 1$. 因此 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} ≤ 1$.
另一方面, 注意到存在非投射 $\mathbb{Z}$-模, 例如 $\mathbb{Z}_2$ (直接注意到 $\mathbb{Z}\xrightarrow{\pi}\mathbb{Z}_2$ 非可裂满). 故 $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} \ge 1$. 综上, $\operatorname{gl.dim} \mathbb{Z} = 1$.
设 $R$ 是环, $\operatorname{inj.dim}(_R R) < \infty$, $P$ 是投射左 $R$-模的双边无限的无环复形. 则复形 $\operatorname{Hom}_R(P,R)$ 是正合列.
设 $\operatorname{inj.dim}(_R R) = d$. 则存在 $R$ 的内射分解 $$\begin{equation} 0 → R \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots \rightarrow I^d → 0. \end{equation}$$ 将 $\operatorname{Hom}_R(P,-)$ 作用到上式, 由于 $P$ 的每一项都是投射左 $R$-模, 故得到复形的正合列(链映射容易给出, 逐项正合从而整体也是正合) $$\begin{equation} 0 → \operatorname{Hom}_R(P,R) → \operatorname{Hom}_R(P,I^0) → \operatorname{Hom}_R(P,I^1) → \cdots → \operatorname{Hom}_R(P,I^d) → 0. \end{equation}$$ 由于每个 $I^i$ 都是内射左 $R$-模, 故 $\operatorname{Hom}_R(P,I^i) (i=0,\cdots,d)$ 是无环复形. 根据九引理, 可知 $\operatorname{Hom}_R(P,R)$ 也是无环复形, 即正合列.
设 $R$ 是环, $I$ 是内射左 $R$-模的双边无限的无环复形. 若 $\operatorname{proj.dim}(_R M) < \infty$, 则 $\operatorname{Hom}_R(M,I)$ 是正合列.
设 $\operatorname{proj.dim}(_R M) = d$. 则存在 $M$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 → P_d → P_{d-1} → \cdots → P_1 → P_0 → M → 0. \end{equation}$$ 将 $\operatorname{Hom}_R(-,I)$ 作用到上式, 由于 $I$ 的每一项都是内射左 $R$-模, 故得到复形的正合列(链映射容易给出, 逐项正合从而整体也是正合) $$\begin{equation} 0 → \operatorname{Hom}_R(M,I) → \operatorname{Hom}_R(P_0,I) → \operatorname{Hom}_R(P_1,I) → \cdots → \operatorname{Hom}_R(P_d,I) → 0. \end{equation}$$ 由于每个 $P_i$ 都是投射左 $R$-模, 故 $\operatorname{Hom}_R(P_i,I) (i=0,\cdots,d)$ 是无环复形. 根据九引理, 可知 $\operatorname{Hom}_R(M,I)$ 也是无环复形, 即正合列.