《基础代数学》作业 Week15-1

考虑 $\mathbb{Z}_t$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\times t} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}_t \rightarrow 0, \end{equation}$$ 将 $\mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} -$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \xrightarrow{\mathrm{Id}_{\mathbb{Z}_s} \otimes (\times t)} \mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \rightarrow 0, \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_0^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t) \cong \mathbb{Z}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} / \mathrm{Im}(\mathrm{Id}_{\mathbb{Z}_s} \otimes (\times t)) \cong \mathbb{Z}_{s}⊗\mathbb{Z}_t , \end{equation}$$ $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t) \cong \mathrm{Ker}(\mathrm{Id}_{\mathbb{Z}_s} \otimes (\times t)) \cong \{[x]_s \in \mathbb{Z}_s \mid tx \equiv 0 \mod s\} \cong \mathbb{Z}_{\gcd(s,t)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_s,\mathbb{Z}_t) = 0, \quad \forall n \ge 2. \end{equation}$$

考虑 $\mathbb{Z}_t$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\times t} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}_t \rightarrow 0, \end{equation}$$ 将 $M \otimes_{\mathbb{Z}} -$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \xrightarrow{\mathrm{Id}_{M} \otimes (\times t)} M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \rightarrow 0, \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \operatorname{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(M,\mathbb{Z}_t) \cong \mathrm{Ker}(\mathrm{Id}_{M} \otimes (\times t)) \cong \{m \in M \mid tm = 0\}. \end{equation}$$

(i) $\Rightarrow$ (ii): 由平坦模的定义可知, $M \otimes_R -$ 是正合函子, 故 $\mathrm{Tor}_n$ 函子导出的长正合列其实是短正合列, 即 $\operatorname{Tor}_n^R(M,-)=0$, 对所有 $n \ge 1$ 成立.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 显然.

(iii) $\Rightarrow$ (i): 设 $0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \rightarrow 0$ 是任意短正合列. 由 $\operatorname{Tor}_1^R(M,-)=0$ 可知, 我们有正合列: $$\begin{equation} 0=\operatorname{Tor}_1^R(M,C)→ M \otimes_R A \xrightarrow{\mathrm{Id}_M \otimes f} M \otimes_R B \xrightarrow{\mathrm{Id}_M \otimes g} M \otimes_R C \rightarrow 0, \end{equation}$$ 从而 $M \otimes_R -$ 是正合函子, 故 $M$ 是平坦模.

对于每一个 $M_i$, 取其投射分解 $\cdots → P_i^1 → P_i^0 → M_i → 0$. 下面我们来构造 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限余积且有足够多投射对象, 故 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0$ 存在且为投射对象. 于是我们有系列满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → P_j^0 → M_j$, 从而由余积的泛性质, 可以得到满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → \bigoplus_{i∈I} M_i$. 记其为 $\pi$, 并且(态射余积的定义) $π = \bigoplus_{i∈ I}\pi_i$, 容易发现它的 kernel 为 $\bigoplus_{i∈I} \operatorname{Ker} \pi_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \xrightarrow{\pi} \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $- \otimes_R N$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} \cdots → \left(\bigoplus_{i \in I} P_i^n\right) \otimes_R N → \cdots → \left(\bigoplus_{i \in I} P_i^1\right) \otimes_R N → \left(\bigoplus_{i \in I} P_i^0\right) \otimes_R N → 0. \end{equation}$$ 由于 $- \otimes_R N$ 保持直和, 故上式同构于 $$\begin{equation} \cdots → \bigoplus_{i \in I} (P_i^n \otimes_R N) → \cdots → \bigoplus_{i \in I} (P_i^1 \otimes_R N) → \bigoplus_{i \in I} (P_i^0 \otimes_R N) → 0. \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} (P_i^\bullet \otimes_R N)). \end{equation}$$ 由于链复形的 direct sum 是逐度取直和, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} (P_i^\bullet \otimes_R N)) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{H}_n(P_i^\bullet \otimes_R N) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M_i,N). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M_i,N). \end{equation}$$

对于每一个 $N_i$, 取其投射分解 $\cdots → P_i^1 → P_i^0 → N_i → 0$. 下面我们来构造 $\bigoplus_{i∈I} N_i$ 的投射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限余积且有足够多投射对象, 故 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0$ 存在且为投射对象. 于是我们有系列满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → P_j^0 → N_j$, 从而由余积的泛性质, 可以得到满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → \bigoplus_{i∈I} N_i$. 记其为 $\pi$, 并且(态射余积的定义) $π = \bigoplus_{i∈ I}\pi_i$, 容易发现它的 kernel 为 $\bigoplus_{i∈I} \operatorname{Ker} \pi_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\bigoplus_{i∈I} N_i$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \xrightarrow{\pi} \bigoplus_{i \in I} N_i \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $M \otimes_R -$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} \cdots \rightarrow M \otimes_R \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow M \otimes_R \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow M \otimes_R \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \rightarrow 0. \end{equation}$$ 由于 $M \otimes_R -$ 保持直和, 故上式同构于 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^0 \rightarrow 0. \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^\bullet). \end{equation}$$ 由于链复形的 direct sum 是逐度取直和, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}_n(\bigoplus_{i \in I} M \otimes_R P_i^\bullet) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{H}_n(M \otimes_R P_i^\bullet) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M,N_i). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Tor}^R_n(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Tor}^R_n(M,N_i). \end{equation}$$