《基础代数学》作业 Week2-1
非零左 $R$-模 $M$ 是单模当且仅当 $M$ 的任一非零元 $m$ 都是生成元, 即 $Rm=M$.
(⇒) 设 $m∈M$ 是非零元. 则 $Rm$ 是 $M$ 的非零子模, 由单模的定义知 $Rm=M$.
(⇐) 设 $N↪M$ 是非零子模. 取 $0≠n∈N$, 则 $Rn=M$, 故 $N=M$.
设 $A$ 是有限维 $k$-代数, $M$ 是单 $A$-模. 则 $M$ 是有限维的(作为 $k$-线性空间).
由先前习题知, $M=Am$, 其中 $0≠m∈M$. $\dim_k M=\dim_k A_m=\dim_k A<∞$.
半单模的子模和商模也是半单模.
由定理 1.3.3 知一个模是半单的等价于满足性质 P, 再根据引理 1.3.5 立刻得到.
$N$ 是 $M$ 的极大子模等价于 $M/N$ 是单模.
由子模对应定理立刻得到.
设 $R$ 是环. 证明单 $R$-模是 $_RR$ 的商模.
设 $M$ 是单 $R$-模, 则对于任意 $0≠m∈M$, 有 $Rm=M$. 定义环同态 $\varphi: {_RR}→M,\ r\mapsto rm$. 则 $\varphi$ 是满射, 由同态基本定理知 $M\cong {_RR}/\ker\varphi$.
设 $R$ 是环. 证明正则模 $_RR$ 是单模当且仅当 $R$ 是除环.
(⇒) 设 $_RR$ 是单模. 则对于任意 $0≠a∈R$, 有 $Ra=R$. 于是存在 $r∈R$, 使得 $ra=1$. 故 $R$ 是除环(这里用到了有左逆的环里面, 左逆自动也是右逆).
(⇐) 设 $R$ 是除环. 则对于任意 $0≠a∈R$, 有 $Ra=R$. 故 $_RR$ 是单模.