正合范畴
本文基于 [Büh10] Theo Bühler. Exact categories. Expositiones Mathematicae, 28(1):1–69, January 2010. doi: 10.1016/j.exmath.2009.04.004.
我们只处理加法范畴, 同时只考虑加法函子.
Fact. 可裂短正合列是最小的正合结构, i.e., 其他正合结构都必须包含它.
简介
定义和基本性质
(正合范畴的基本资料)
(正合范畴的公理)
(可裂单(满)态射是 admissible monics(epics))
特别地, 同构是 admissible monic 也是 admissible epic.
Remark. (与 Quillen 的定义的等价性)
Remark. 一般的加法范畴没有正合列….
(admissible monic + admissible epic = isomorphism)
这个证明我还没想到.
(ses 对于直和封闭, 此处直和指二元双积 $⊕$)
正合结构是函子范畴 $\mathcal{A}^{→→}$ 的加法子范畴.
(带有 admissible monic 的 pushout 方块) 考虑交换图
其中上下两行都是 admissible monics. 则下列等价:
-
这是 pushout 方块.
-
是短正合列.
-
这个方块既是 pushout 方块也是 pullback 方块.
-
有下面两行正合列的交换图
Remark. 考虑上面的交换图, 考虑 $p'$ 为根据左边方块的推出性质得到的态射 (满足 $p'f'=p, p'i'=0$), 则这个 $p'$ 恰好就是 $i'$ 的 cokernel. (这一点十分符合直觉也很有用, 可以作为构造 cokernel 的方法.)
对于任意 $\alpha$ 满足 $α i'=0$, 由 $αf'i=0$ 可以根据 $p$ 作为 cokernel 的泛性质得到分解 $αf'=βp$. 利用左边推出方块诱导的分解态射的唯一性可以证明到右下角三角的交换性.
(并排摆放的 PB 和 PO 方块)
admissible monic 沿着一个 admissible epic 的拉回仍然是 admissible monic.
(🌟Obscure axiom) 设 $i: A→B$ 有 cokernel. 如果存在 $j:B→ C$ 使得 $ji:A↣C$ 是 admissible monic, 则 $i$ 也是 admissible monic.
图表定理
以下这个命题是 Abel 范畴中扩张之间的态射的分解性质在正合范畴中的推广.
(ses 的态射的分解) 设 $(\mathcal{A},\mathcal{E})$ 是正合范畴. 设有短正合列之间的态射 $(a,b,c)$, 则有分解
使得左上和右下都是推出拉回方块.
先用 $a:A'→A$ 作左上角的推出, 立即可以得到右上方块 (也可以用推出泛性质得到 $e$), 用推出泛性质可以得到 $b''$ 满足 $b''b'=b, b''m=f$. 最后只需要验证右下角方块交换 (PBPO 都可以用几个等价命题得到), 这个靠的是推出的泛性质里面分解态射的唯一性.
(五引理, I) 给定 ses 的交换图
如果 $a,c$ 是同构, 则 $b$ 也是同构.
考虑上一个命题的证明, $a$ 是同构, 从而也是 admissible monic, 则推出后得到的 $b'$ 也是 admissible monic. 另外 $c$ 是同构, 则也是 admissible monic, 它沿着 admissible epic $e$ 的拉回 $b''$ 也是 admissible monic. 于是 $b=b''b'$ 是两个 admissible monic 的复合, 也是 admissible monic. 类似地, $b$ 也是 admissible epic, 从而是同构.
(另一种证明) 同构的推出/拉回还是同构.
(五引理加强, 二推三) 给定 ses 的交换图
如果 $a,b,c$ 中有两个是同构, 则第三个也是同构.
只要证明 $a,b$ 是同构时 $c$ 也是同构. 显然由 cokernel 的泛性质知道 $c$ 被唯一确定. $cg'=gb$, 另外也存在唯一的 $c':C→ C'$ 使得 $c'g=g'b^{-1}$. 于是 $cc'g=cg'b^{-1}=g$, 由 $g$ 满得 $cc'=\mathrm{Id}_{C}$. 类似地 $c'c=\mathrm{Id}_{C'}$. 于是 $c$ 是同构.
(Noether isomorphism $C/B≅(C/A)/(B/A)$). 考虑交换图
给定前两行和第二列短正合列, 则有第三列短正合列. 并且右上角方块是推出拉回方块.
$X→Y$ 由第一行的 cokernel 的泛性质给出, 得到右上角方块是推出拉回方块, 其余显然.
(3×3 引理) 考虑三列短正合列的交换图
若下面条件之一满足:
(1) 中间一行以及上下其中一行是短正合列;
(2) 上下两行是短正合列且 $gf=0$.
则另外一行也是短正合列.
拟 Abel 范畴 (Quasi-abelian categories)
(Quasi-abelian category) 一个加法范畴 $\mathcal{A}$ 称为 quasi-abelian, 如果:
- 所有的态射都有 kernel 和 cokernel.
- kernel 类对 pushout 封闭, cokernel 类对 pullback 封闭.
Remark. 显然这是一个自对偶的概念, 即 $\mathcal{A}$ 是 quasi-abelian 当且仅当 $\mathcal{A}^{^{\mathrm{op}}}$ 是 quasi-abelian.
幂等完备
(幂等完备) 一个加法范畴 $\mathcal{A}$ 是幂等完备的, 如果对于任意幂等元 $p:A→A$, 即 $p^2=p$, 都存在 $A$ 的一个分解 $A≅K⊕I$ 使得 $p≅\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$.
Q: 为什么要定义这个概念?
容许态射和蛇引理
(容许态射, admissible morphism) 正合范畴里的一个态射 $f:A→B$ 称为容许态射, 如果它可以分解为一个 admissible epic 后接一个 admissible monic, 即