《基础代数学》作业 Week3-2
设 $0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z→0$ 是左 $R$-模短正合列. 设 $M$ 是左 $R$-模, $h:M→Y$ 是模同态且满足 $gh=0$. 则存在唯一的模同态 $α:M→X$, 使得 $fα=h$.
(这实际上就是 kernel 的泛性质)
对任意的 $m∈M$, 由于 $g(h(m))=0$ 且 $\ker g = \operatorname{im} f$, 故存在唯一的(唯一性由 $f$ 单保证) $x_m∈X$, 使得 $f(x_m)=h(m)$. 定义映射 $α:M→X,\ m↦x_m$. 容易验证 $α$ 是模同态且 $fα=h$.
这样的态射的唯一性由 $f$ 是单态射保证.
设 $0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z→0$ 是左 $R$-模短正合列. 设 $M$ 是左 $R$-模, $h:Y→M$ 是模同态且满足 $hf=0$. 则存在唯一的模同态 $β:Z→M$, 使得 $βg=h$.
(这实际上就是 cokernel 的泛性质)
对任意的 $z∈Z$, 由于 $g$ 是满射, 故存在 $y∈Y$, 使得 $g(y)=z$. 定义映射 $β:Z→M,\ z↦h(y)$. 由于 $hf=0$, 故 $h(y)$ 不依赖于 $y$ 的选取 ($y$ 的选取只会差一个 $\ker g=\operatorname{im}f$ 里面的元素). 容易验证 $β$ 是模同态且 $βg=h$.
这样的态射的唯一性由 $g$ 是满态射保证.
说明不存在非零同态 $π:\mathbb{Z}_m\to\mathbb{Z} (m>1)$.
$mf(1)=f(m)=f(0)=0$, 从而 $f(1)=0$, 故 $f=0$.
说明正合列 $0→m\mathbb{Z}\xrightarrow{i} \mathbb{Z} (m>1)$ 在反变函子 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{Z})$ 作用下不是正合列. 从而 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{Z})$ 不是反变正合函子.
如果是正合列, 则存在同态 $g:\mathbb{Z}→\mathbb{Z}$ 使得 $gi=f$, 其中 $f:m\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, mn↦n$, 这是不可能的 (因为 $f(1)$ 只能是整数, 不可能使得 $f(m)=1$).
在如下 $R$-模同态的图中
上下两行是短正合列且左边方块交换. 则存在唯一的模同态 $h:Z→Z'$ 使得右边方块交换. 并且, 若 $f$ 是满同态, 则有正合列 $0\to\ker f\xrightarrow{\widetilde{a}}\ker g\xrightarrow{\widetilde{b}}\ker h→ 0$. 若 $h$ 是单同态, 则有正合列 $0\to\mathrm{coker} f\xrightarrow{\overline{a}}\mathrm{coker} g\xrightarrow{\overline{b}}\mathrm{coker} h→ 0$.
根据上面证明过的 cokernel 的泛性质, 以及短正合列的定义, 可知 $h$ 的存在性和唯一性.
剩下两个是蛇引理的自然推论.
在如下 $R$-模同态的图中
上下两行是短正合列且右边方块交换. 则存在唯一的模同态 $f:X→X'$ 使得左边方块交换.
根据上面证明过的 kernel 的泛性质, 以及短正合列的定义, 可知 $f$ 的存在性和唯一性.