《基础代数学》作业 Week5-1
设 $S$ 是单 $R$-模, $M$ 是任一 $R$-模. 若 $nS≅nM$, 则 $S≅M$.
显然 $nS$ 的合成因子是 $n$ 个 $S$, 合成列如下 $$\begin{equation} 0⊊S⊊S^2⊊⋯⊊nS, \end{equation}$$
由 Jordan-Hölder 定理知 $nM$ 的合成因子也是 $n$ 个 $S$.
$nM$ 有子模序列 $$\begin{equation} 0⊊M⊊M^2⊊⋯⊊nM, \end{equation}$$ 它和上面的合成列有等价的加细, 而合成列已经无法加细且两个子模序列长度相同, 故这也是合成列. 从而合成因子 $M=M/0≅S$.
设 $M$ 是有合成列的 $R$-模, $S$ 是单 $R$-模且 $\mathrm{Hom}_R(M,S)≠0$. 则 $S$ 是 $M$ 的一个合成因子.
设 $M=M_0⊋M_1⊋⋯⊋M_t=0$ 是 $M$ 的一个合成列. 于是我们有短正合列 $$\begin{equation}
0→M_{i+1}→M_i→M_i/M_{i+1}→0, \quad i=0,1,⋯,t-1.
\end{equation}$$ 作用左正合函子 $\mathrm{Hom}_R(-,S)$ 在上面短正合列上, 得到正合列 $$\begin{equation}
0→\mathrm{Hom}_R(M_i/M_{i+1},S)→\mathrm{Hom}_R(M_i,S)→\mathrm{Hom}_R(M_{i+1},S), \quad i=0,1,⋯,t-1.
\end{equation}$$ 如果所有的 $\mathrm{Hom}_R(M_i/M_{i+1},S)=0$, 则由正合列可知 $\mathrm{Hom}_R(M_i,S)↪\mathrm{Hom}_R(M_{i+1},S)$ 是嵌入, 从而由 $\mathrm{Hom}_R(M_0,S)≠0$ 可以得到 $\mathrm{Hom}_R(M_t,S)≠0$, 矛盾.