《基础代数学》作业 Week8-1
设 $M$ 和 $N$ 是 $k$ 上的线性空间, 分别有 $k$-基 $\{a_i\}_{i∈ I}, \{b_j\}_{j∈ J}$. 证明 $M⊗_k N$ 有 $k$-基 $\{a_i⊗ b_j\}_{i∈ I,j∈ J}$.
由张量积的定义可知 $\{a_i⊗ b_j\}_{i∈ I,j∈ J}$ 生成 $M⊗_k N$. 现证明其线性无关. 设 $$\begin{equation} \sum_{i∈ I,j∈ J} k_{ij}(a_i⊗ b_j)=0, \text{仅有有限项可能非零}. \end{equation}$$ 对于任意的 $k$ 线性映射 $f:M→k,g:N→k$, 可以得到 $k$-平衡映射 $$\begin{equation} h:M×N→k, (m,n)↦f(m)g(n). \end{equation}$$ 由张量积的定义可知存在唯一的 $k$-线性映射 $\bar{h}:M⊗_k N→k$ 使得 $\bar{h}(m⊗ n)=h(m,n)$. 于是 $$\begin{equation} 0=\bar{h}(\sum_{i∈ I,j∈ J} k_{ij}(a_i⊗ b_j))=\sum_{i∈ I,j∈ J} k_{ij}f(a_i)g(b_j). \end{equation}$$ 取 $f,g$ 使得 $f(a_{i_0})=1,f(a_i)=0 (i≠i_0), g(b_{j_0})=1,g(b_j)=0 (j≠j_0)$, 可得 $k_{i_0j_0}=0$. 由于 $i_0,j_0$ 任意, 故所有 $k_{ij}=0$. 于是 $\{a_i⊗ b_j\}_{i∈ I,j∈ J}$ 线性无关, 从而是 $M⊗_k N$ 的 $k$-基.
证明 $\mathbb{Z}_m(m≥2)$ 作为 $\mathbb{Z}$-模不是平坦模.
考虑短正合列 $0→\mathbb{Z}↪\mathbb{Q}↠\mathbb{Q}/\mathbb{Z}→0$, 作用张量函子 $\mathbb{Z}_m⊗_{\mathbb{Z}}-$ 后得到列 $0→\mathbb{Z}_m→ 0→0→0$, 不是正合列, 故 $\mathbb{Z}_m$ 不是平坦模.
证明主理想整环 $D$ 上的模 $M$ 是平坦模当且仅当 $M$ 是无挠模, 即若 $0≠d∈D, 0≠m∈M$, 则 $dm≠0$.
(⇒) (只用到 $D$ 是整环). 假设存在 $0≠d∈D, 0≠m∈M$ 使得 $dm=0$. 考虑单态射 (由整性保证) $$\begin{equation}
f:D→D, x↦dx.
\end{equation}$$ 作用张量函子 $-⊗_D M$ 后得到映射 $$\begin{equation}
f⊗ 1_M:M→M, m'↦dm',
\end{equation}$$ 不是单射, 矛盾. 于是 $M$ 是无挠模.
(⇐) 设 $M$ 是无挠模. 考虑使用 Baer 判别法. 对于 $D$ 的任一非平凡理想 $\mathfrak{a}$, 由于 $D$ 是主理想整环, 存在 $0≠a∈D$ 使得 $\mathfrak{a}=⟨a⟩=Da$. 我们有嵌入 $i:Da↪D$. 作用张量函子 $-⊗_D M$ 后, 进一步由同构 $D⊗_DM≅ M$ 得到交换图
于是 $i⊗ 1_M$ 是单态射, 故 $M$ 是平坦模.