《基础代数学》作业 Week8-2
设有范畴等价 $F:\mathcal{C}→\mathcal{D}$, $F^{-1}$ 是其拟逆. 则 $(F,F^{-1})$ 和 $(F^{-1},F)$ 是伴随对.
记 $G:=F^{-1}$. 只需证明 $(F,G)$ 是伴随对. 设我们有自然同构 $τ:GF→\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}, θ:FG→\mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$.
构造自然同构 $θ':FG→\mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ 为 $$\begin{equation} Θ_A':=\left[ FGA\xrightarrow{FGθ_A^{-1}}FGFGA\xrightarrow{Fτ_{GA}}FGA\xrightarrow{θ_A}A \right]. \end{equation}$$
构造自然映射(自然性由 $F,G$ 是函子以及自然变换的自然性给出) $$\begin{equation} \Phi_{X,Y}:\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y)→\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY), f↦\left[ X\xrightarrow{τ^{-1}_X} GFX\xrightarrow{Gf}GY \right]. \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Psi_{X,Y}:\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY)→\mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y), g↦\left[ FX\xrightarrow{Fg}FGY\xrightarrow{Θ'_Y}Y \right]. \end{equation}$$ 可以证明 $\Psi_{X,Y}$ 和 $\Phi_{X,Y}$ 互为逆映射(关键证明见后面手写推导), 从而得到自然同构(对于 $X,Y$ 自然) $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y)≅\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY). \end{equation}$$
设 $_RM_S$ 和 $_SN_T$ 是双模.
(1) 若 $_SN$ 和 $_RM$ 均是投射模, 则 $M⊗_SN$ 是投射左 $R$-模;
(2) 若 $N_T$ 和 $M_S$ 均是投射模, 则 $M⊗_SN$ 是投射右 $T$-模.
(1) 我们有伴随对 $(M⊗_S-, \mathrm{Hom}_R(M,-))$, 即有同构 $$\begin{equation}
\mathrm{Hom}_R(M⊗_SN, L)≅\mathrm{Hom}_S(N, \mathrm{Hom}_R(M,L))
\end{equation}$$ 对于 $L$ 是自然的. 于是, 给定任意 $R$-模满态射 $g:L↠L'$, 要证明映射 $\mathrm{Hom}_R(M⊗_S N,g)$ 是满态射, 只要证明 $\mathrm{Hom}_S(N,\mathrm{Hom}_R(M,g))$ 是满态射. 由于 $M$ 是投射左 $R$-模, 故映射 $\mathrm{Hom}_R(M,g)$ 是满态射. 由于 $N$ 是投射左 $S$-模, 故映射 $\mathrm{Hom}_S(N,\mathrm{Hom}_R(M,g))$ 是满态射, 从而映射 $\mathrm{Hom}_R(M⊗_S N,g)$ 是满态射, 即 $M⊗_S N$ 是投射左 $R$-模.
(2) 类似.
设 $_RM_S$ 和 $_RL_U$ 是双模. 若 $M_S$ 是平坦模且 $_RL$ 是内射模, 则 $\mathrm{Hom}_R(M,L)$ 是内射左 $S$-模.
我们有伴随对 $(M⊗_S-, \mathrm{Hom}_R(M,-))$, 即有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M⊗_SN, L)≅\mathrm{Hom}_S(N, \mathrm{Hom}_R(M,L)) \end{equation}$$ 对于 $N$ 是自然的. 于是, 给定任意 $S$-模单态射 $g:N↪N'$, 要证明映射 $\mathrm{Hom}_S(g,\mathrm{Hom}_R(M,L))$ 是满态射, 只要证明 $\mathrm{Hom}_R(\mathrm{Id}_M⊗_S g,L)$ 是满态射. 由于 $M_S$ 是平坦模, 故映射 $\mathrm{Id}_M⊗_S g$ 是单态射. 由于 $_RL$ 是内射模, 故映射 $\mathrm{Hom}_R(\mathrm{Id}_M⊗_S g,L)$ 是满态射, 从而映射 $\mathrm{Hom}_S(g,\mathrm{Hom}_R(M,L))$ 是满态射, 即 $\mathrm{Hom}_R(M,L)$ 是内射左 $S$-模.
设 $_SN_T$ 和 $_UL_T$ 是双模. 若 $_SN$ 是平坦模且 $L_T$ 是内射模, 则 $\mathrm{Hom}_T(N,L)$ 是内射右 $S$-模.
类似于上一题, 用右模上的 Tensor-Hom 伴随对.
在证明下一个问题之前, 我们证明一个引理:
设有 $R$-模中的态射列 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$, 则这是正合列当且仅当对于任何 $R$-模 $M$, 由函子 $\mathrm{Hom}_R(M,-)$ 作用后得到的列 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M,X)\xrightarrow{f∘-}\mathrm{Hom}_R(M,Y)\xrightarrow{g∘-}\mathrm{Hom}_R(M,Z) \end{equation}$$ 是正合列.
(⇒) 由函子性质.
(⇐) 取 $M=X$, 则 $gf=(g∘-)(f∘-)(\mathrm{Id}_X)$. 从而有典范单态射 $u:\mathrm{Im}f↪\mathrm{Ker}g$, $f=m\tilde{f}$ 是单满分解. 取 $W:=\mathrm{Ker}g$, 则由作用后的列的正合性, 知存在 $σ∈\mathrm{Hom}_R(\mathrm{Ker}g, X)$ 使得 $fσ=k$. 于是有 $ku\tilde{f}\sigma=m\tilde{f}\sigma=f\sigma=k$, 由 $k$ 是单态射可得 $u\tilde{f}\sigma=\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}f}$. 于是 $u$ 是满态射, 故为同构, 从而 $f$ 的像等于 $g$ 的核, 即列 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ 正合.
设 $F:S\mathbf{-Mod}→R\mathbf{-Mod}, G:R\mathbf{-Mod}→S\mathbf{-Mod}$, 且 $(F,G)$ 是伴随对. 则 $F$ 是右正合函子, $G$ 是左正合函子.
我们证明 $G$ 是左正合函子, $F$ 的情形类似.
任意给定 $S$-模的正合列 $$\begin{equation} 0→X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z, \end{equation}$$
我们要证明 $G$ 作用后得到的列 $$\begin{equation} 0→GX\xrightarrow{Gf}GY\xrightarrow{Gg}GZ \end{equation}$$ 是正合列. 由引理, 只需证明对于任意 $R$-模 $M$, 由函子 $\mathrm{Hom}_R(M,-)$ 作用后得到的列 $$\begin{equation} 0→\mathrm{Hom}_R(M,GX)\xrightarrow{Gf∘-}\mathrm{Hom}_R(M,GY)\xrightarrow{Gg∘-}\mathrm{Hom}_R(M,GZ) \end{equation}$$ 是正合列. 由于 $(F,G)$ 是伴随对, 故有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M,GN)≅\mathrm{Hom}_S(FM,N) \end{equation}$$ 对于 $N$ 是自然的. 于是, 由函子 $\mathrm{Hom}_R(M,-)$ 作用后得到的列同构于列 $$\begin{equation} 0→\mathrm{Hom}_S(FM,X)\xrightarrow{f∘-}\mathrm{Hom}_S(FM,Y)\xrightarrow{g∘-}\mathrm{Hom}_S(FM,Z), \end{equation}$$ 由 $\mathrm{Hom}_S(FM,-)$ 函子的左正合性知这是正合列. 由此可知 $G$ 作用后得到的列是正合列, 即 $G$ 是左正合函子.