《基础代数学》作业 Week9-1
加法范畴里面, 态射 $f$ 是单态射当且仅当 $ft=0 ⇒ t=0$.
(⇒)显然.
(⇐) 对于任意的 $fg=fh$, 有 $0 = -fg + fg = -fg + fh = f(h-g)$. 由题设 $h-g=0$, 即 $h=g$. 故 $f$ 是单态射.
[事实 2.1.2] 设范畴 $\mathcal{A}$ 是有余积和零对象的范畴. 则
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(投影态射存在唯一性) 存在唯一的态射 $p_i':⨁_{i∈I}X_i → X_i$ 使得 $p_j' e_i = δ_{ij} : X_i→X_j$. (结构态射有左逆)
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结构态射是单态射, 投影态射是满态射.
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态射 $f:⨁_{i∈I}X_i → Y$ 由 $f e_i$ 唯一决定, 其中 $e_i$ 是余积的结构态射.
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(态射直和的存在唯一性) 给定态射 $f_i:X_i → Y_i$, 则存在唯一的态射 $f:⨁_{i∈I}X_i → ⨁_{i∈I}Y_i$ 使得 $ (⨁f_i) e_i^X = e_i^Y f_i $.
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(态射直和和复合的相容性) $ (⨁g_i)(⨁f_i) = ⨁(g_i f_i) $.
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(态射直和是满态射的判别法) 态射 $⨁f_i$ 是满态射当且仅当每个 $f_i$ 都是满态射.
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根据余积泛性质即可.
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由 1 立即得到.
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余积的泛性质中的唯一性保证.
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直接用一下 3 (一个范畴有余积, 就是说我们可以自由地把态射拼起来或者拆开, 并且保证不会损失信息).
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按分量验证并考虑 4 的定义就行.
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关键在于使用余积的泛性质 (或者说 3) 来把态射拆开来研究. $h(⨁f_i)=g(⨁f_i) ⟺ ∀ i, h(⨁f_i)e_i^X=g(⨁f_i)e_i^X ⟺ ∀ i, h e_i^Y f_i = g e_i^Y f_i$. 若所有的 $f_i$ 都是满的, 则 $h e_i^Y = g e_i^Y$ 对所有 $i$ 都成立, 由 3 可知 $h=g$. 反过来, 若 $⨁f_i$ 是满的. 由 $g f_i = h f_i ⟺ g p_i^Y (⨁f_i) e_i^X = h p_i^Y (⨁f_i) e_i^X ⟺ ∀ j, g p_i^Y (⨁f_i) e_j^X = h p_i^Y (⨁f_i) e_j^X ⟺ g p_i^Y (⨁f_i) = h p_i^Y (⨁f_i).$ 从而 $g=h$.
加法范畴中典范同构 $σ_{X_1,X_2}: X_1 ⊕ X_2 → X_1 ∏ X_2$ 可表达为 $σ = (e_1', e_2') = e_1' p_1' + e_2' p_2'.$
注意到 $σ^{-1} = e_1p_1+e_2p_2$, 直接验证即可.
在加法范畴中有 $c∘ (a,b)=(ca,cb)$.
按分量验证即可 (相当于考虑所有右复合 $-∘ e_i$).
加法范畴中有 $\pmatrix{f\\ g}∘ c=\pmatrix{fc \\ gc}$.
按分量验证即可 (相当于考虑所有左复合 $p_i ∘ -$). (所以这个成立实际上是用的积的性质)
设 $n$ 是正整数. 在加法范畴中, $$\begin{equation} \bigoplus_{1≤i≤n}\eta_i: \bigoplus_{1≤i≤n} X_i → \bigoplus_{1≤i≤n} Y_i \end{equation}$$ 是满态射(单态射, 同构) 当且仅当每个 $\eta_i:X_i → Y_i$ 都是满态射(单态射, 同构).
根据有限余积和有限积的同构, 以及事实 2.1.2 和事实 2.1.4, 以及 Abel 范畴是平衡范畴即得.
设 $n$ 是正整数. 在加法范畴中, $$\begin{equation} \prod_{1≤i≤n}\eta_i: \prod_{1≤i≤n} X_i → \prod_{1≤i≤n} Y_i \end{equation}$$ 是满态射(单态射, 同构) 当且仅当每个 $\eta_i:X_i → Y_i$ 都是满态射(单态射, 同构).
根据有限余积和有限积的同构, 以及事实 2.1.2 和事实 2.1.4, 以及 Abel 范畴是平衡范畴即得.