《基础代数学》作业 Week9-2
对于加法范畴之间的加法函子 $F$, $F$ 是忠实的当且仅当 $F$ 将非零态射映为非零态射.
(⇒) 显然.
(⇐) 设 $f,g:X→Y$ 满足 $Ff=Fg$. 则 $F(f-g)=0$. 由题设 $f-g=0$, 即 $f=g$. 故 $F$ 是忠实的.
设 $F:\mathcal{A}→\mathcal{B}$ 是加法范畴之间的函子. 证明有如下交换图
直接按分量验证, 即考虑右复合 $\tilde{e_i}:FX_i→ FX_1⊕FX_2 (i=1,2)$ 之后的情况 ($(\tilde{e_1},\tilde{e_2})$ 是 $FX_1,FX_2$ 的 coproduct). 注意到 $$\begin{equation} ((Fe_1')p_1+(Fe_2')p_2)\sigma_{FX_1,FX_2}\tilde{e_i}=((Fe_1')p_1+(Fe_2')p_2)( \tilde{e_1}' \tilde{p_1}' + \tilde{e_2}' \tilde{p_2}')\tilde{e_i}=Fe_i' p_i' \tilde{e_i}=Fe_i'. \end{equation}$$
另一方面有,
$$\begin{equation} F\sigma_{X_1,X_2}(Fe_1,Fe_2)\tilde{e_i}=F\sigma_{X_1,X_2}Fe_i=F((e_1' p_1' + e_2' p_2')e_i)=Fe_i'. \end{equation}$$
根据 coproduct 的定义(定义中的唯一性), 交换图成立.
设 $F:\mathcal{A}→\mathcal{B}$ 是加法范畴之间的函子. 则 $F$ 是加法函子当且仅当对于 $\mathcal{A}$ 中任意两个对象 $X$ 与 $Y$, 有 $Fe_1Fp_1'+Fe_2Fp_2'=\mathrm{Id}_{F(X⊕Y)}$.
(⇒) 这是加法函子的定义. $$\begin{equation} \mathrm{Id}_{F(X_1⊕X_2)}=F\mathrm{Id}_{X⊕Y} = F(e_1 p_1' + e_2 p_2') = Fe_1 Fp_1' + Fe_2 Fp_2'. \end{equation}$$
(⇐) 只要证明 $F$ 保持有限余积, 即对于任意对象 $X,Y$, 有同构 $$\begin{equation} (Fe_1, Fe_2): FX ⊕ FY \xrightarrow{\sim} F(X⊕Y). \end{equation}$$
只要证明 $(Fe_1,Fe_2)$ 和 $\binom{Fp_1'}{Fp_2'}$ 互为逆即可. 计算有 $$\begin{equation} \binom{Fp_1'}{Fp_2'}(Fe_1,Fe_2) = \binom{Fp_1'Fe_1 \quad Fp_1'Fe_2}{Fp_2'Fe_1 \quad Fp_2'Fe_2} = \binom{\mathrm{Id}_{FX} \quad 0}{0 \quad \mathrm{Id}_{FY}} = \mathrm{Id}_{FX ⊕ FY}. \end{equation}$$ 另一方面, $$\begin{equation} (Fe_1,Fe_2)\binom{Fp_1'}{Fp_2'} = Fe_1 Fp_1' + Fe_2 Fp_2' = \mathrm{Id}_{F(X⊕Y)}. \end{equation}$$ 从而得证.