(外三角范畴的基本资料)

$$ \mathbb{E}: \mathcal{C}^{op} \times \mathcal{C} \to \mathbf{Ab} $$

$$ \mathfrak{s}: \mathbb{E}(Z,X) \to \mathcal{C}^{1→2→3}/\sim $$

(推出和拉回) $f_*=\mathbb{E}(Z,f), g^*=\mathbb{E}(g,X)$.

(外三角范畴的公理) 设 $(\mathcal{C},\mathbb{E},\mathfrak{s})$ 如上, 则称其为外三角范畴如果满足下列公理:

ET1 $\mathbb{E}$ 是加法双函子

ET2-1

ET2-2

Remark. 这里就很像 (TR3), 在三角范畴里面给定一个 $δ:Z\to\varSigma X$ 就可以对应到一个扩张;

ET3

ET3’

(把 ET2-2, ET3, ET3’ 都很相似, 很像三角范畴里面的态射定理)

ET4 给定 T 形图, 则可以补全虚线所示的 $⊣$ 形图

(外三角范畴的术语)

1. 加法实现

2. inflation, deflation

3. $(f,g):\delta\to\delta'$ 是扩张元的态射, 若 $f_*\delta=g^*\delta'$

4. 扩张元的推出和拉回诱导了实现的 “推出” 和 “拉回”, 但是这未必是范畴意义下的推出与拉回.

($\delta_\sharp$ 和 $\delta^♯$)

(weak kernel 和 weak cokernel)

(弱推出、弱拉回)

(同伦推出、同伦拉回)