扩张理论
主要参照: [Mit65] Barry Mitchell. Theory of Categories. Academic Press, 1965. URL: 链接.
关键词:
- Bear: Abel 群 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$
- Cartan & Eilenberg: bifunctor $\mathrm{Ext}^n(-,-)$
- Yoneda: 等价类 (等价关系由短正合列的同构给出)
预设:
Abel 范畴里的 extension theory
1. $\mathrm{Ext}^1$
(扩张的拉回和推出)
Remark. 推出的记号在 [Mit65] 中是 $αE$, 我主要遵循学长习惯写成 $α_*E$, 拉回写为 $γ^*E$.
(扩张的拉回和推出具有唯一性)
Question. [Mit65] 中证明这一点时用了下面这个 lemma, 但是我觉得唯一性是由拉回和推出的定义直接得到的.
给定短正合列之间的态射 $(α,\ ,γ): E'→E$, 则有分解
换句话说, 存在下列交换图满足 $\overline{β}β'=β$
构造 $\overline{E}$ 为拉回 $γ^*E$. 根据拉回的泛性质可以得到 $\overline{β}$ 使得右上角方块交换以及 $\overline{\beta}β'=β$. 左上角方块交换利用的是拉回的泛性质中态射的唯一性.
Remark. 如果只是弱拉回, 那么这个证明就会失效.
(简单等式)
(先拉回后推出和先推出后拉回是一样的) $$α_*γ^*E=γ^*α_*E.$$
Remark. 还是一样, 在只有弱拉回的情况下, 这个证明就会失效.
关于 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ 是不是集合的讨论
这个我暂时还没有感觉.
$\mathrm{Ext}^1 群$
记号:
$∇=(1,1): A⊕A→A$
$Δ=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}: A→A⊕A$
定义 $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ 中的加法为 $$ E + E' = ∇ (E ⊕ E') Δ $$
我们想证明在这个加法的定义下, $\mathrm{Ext}^1(C,A)$ 作成一个 Abel 群.