模型范畴定义和基本性质

Huang Ruizhi
September 27, 2025

索引

定义

homotopy “category” $\mathrm{Ho}\ \mathcal{C}$
some special objects
- cylinder object for $B$
- path object for $X$。
- left homotopy
  - Q: 为什么这么定义?
- right homotopy
- homotopic
- homotopy equivalence
Quillen functors
- left Quillen functor
- right Quillen functor
- Quillen adjunction
derived functors
- total left derived functor
- total right derived functor

基本性质

1 模型范畴

1.1 模型范畴的定义

给定范畴 $\mathcal{C}$, 我们用 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 表示态射范畴.

(retract of a morphism)

(functorial factorization(函子性分解)) 一对 $\mathrm{Mor}\mathcal{C}→\mathrm{Mor}\mathcal{C}$ 的函子 $(α,β)$,
使得 $f=β(f)∘α(f)$ for all $f∈\mathrm{Mor}\mathcal{C}$.

(lifting property)

$i$ 有 left lifting property with respect to $p$ (或 $p$ 有 right lifting property with respect to $i$) 如果对于任意交换图

存在 $h$ 使得图表交换.

(model structure (模型结构), [Hovey])
一个范畴 $C$ 上的 model structure (模型结构) 是
3 个子范畴 (weak equivalences, cofibrations, fibrations) + 2个 functorial factorizations $(α,β)$ 和 $(γ,δ)$
满足以下公理:

(CM1) (2-out-of-3) f, g, gf 中有两个是 weak equivalences 中则第三个也是.

(CM2) (retracts) 3 个子范畴都对 retract 封闭.

(CM3) (lifting) TC 对于 F 有 LLP; C 对于 TF 有 LLP.

(CM4) (factorization) 对于每个态射 $f$, $α(f)$ 是 C, $β(f)$ 是 TF; $γ(f)$ 是 TC, $δ(f)$ 是 F.

(model category (模型范畴), [Hovey])
模型范畴 = 模型结构 + 有 small limits and colimits.

这里来谈论一下 cofibrant replacement 和 fibrant replacement.

记 initial object 为 $0$, terminal object 为 $*$.

(pointed model category (有基点的模型范畴)) initial object 和 terminal object 同构.

(cofibrant, fibrant)

一个对象 $X$ 被称为 cofibrant object, 如果 $0→X$ 是一个 cofibration. 余纤维对象类记为 $\mathcal{M}_c$
一个对象 $Y$ 被称为 fibrant object, 如果 $Y→*$ 是一个 fibration. 纤维对象类记为 $\mathcal{M}_f$

以下设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴.

可以考虑模型范畴 $\mathcal{M}_*$, 对象是 $(X,v):*\overset{v}{\to}X$, 态射自然定义. 可以证明 $\mathcal{M}_*$ 有 small colimits and limits. (待具体自己验证)

我们可以考虑两个 functor: 第一个是由 $$\begin{equation} \mathcal{M}→\mathcal{M}_*,\quad X↦ X_+=X∐ *, \end{equation}$$ 定义的 faithful (但不 full) 函子 (它给出了 $\mathcal{M}$ 到一个 pointed category $\mathcal{M}_*$ 的 faithful 嵌入). 另外我们自然地有一个 forgetful functor $U:\mathcal{M}_*→\mathcal{M}$. 并且前者是后者的 left adjoint (事实上, 以后可以知道它们构成一个 Quillen adjunction). 具体而言 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}_*}(X_+, [*→Y]) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{M}}(X,Y). \end{equation}$$ 如果 $\mathcal{M}$ 本身就是 pointed, 那么这两个函子给出范畴等价 $\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}_*$.

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴. 定义 $\mathcal{M}_*$ 中的态射 $f$ 是 weak equivalence (cofibration, fibration) 当且仅当 $Uf$ 是 $\mathcal{M}$ 中的 weak equivalence (cofibration, fibration). 则 $\mathcal{M}_*$ 是一个 (pointed) model category.

(待看)

下面我们定义 cofibrant replacement 和 fibrant replacement.

对 $0→X$ 进行分解: $0→QX\overset{q_X}{\to}X$, 从而我们得到一个函子 $X↦QX$ 使得 $QX$ 是 cofibrant object, $q_X$ 是一个 trivial fibration. 这个 $QX$ 被称为 $X$ 的 cofibrant replacement.

类似地, 对 $X→*$ 进行分解: $X\overset{r_X}{\to}RX→*$, 从而我们得到一个函子 $X↦RX$ 使得 $RX$ 是 fibrant object, $r_X$ 是一个 trivial cofibration. 这个 $RX$ 被称为 $X$ 的 fibrant replacement.

Remark. $Q$ 和 $R$ 能成为函子是靠分解的函子性. 另外这两个函子保持弱等价. $q: Q→\mathrm{Id}_\mathcal{M}$ 和 $r: \mathrm{Id}_\mathcal{M}→Q$ 可以看作自然变换.

(the Retract Argument)
设 $f$ 是模型范畴 $\mathcal{M}$ 中的态射, $f=g∘h$.

如果 $f$ 有 LLP with respect to $g$, 则 $f$ 是 $h$ 的 retract.
如果 $f$ 有 RLP with respect to $h$, 则 $f$ 是 $g$ 的 retract.

借助 the Retract Argument, 我们可以证明余纤维、纤维、弱等价其中两者可以确定第三者 (从而模型结构的定义实际上 overdetermined).

设 $\mathcal{M}$ 是一个 model category.

{(trivial cofibration) cofibration}={ $f$ with LLP w.r.t. all trivial fibrations (fibrations)}.
{(trivial fibration) fibration}={ $f$ with RLP w.r.t. all trivial cofibrations (cofibrations)}.

显然只要证明如果一个态射 $f$ 对于所有 trivial fibrations 都有 LLP, 则 $f$ 是一个 cofibration.

设 $f=p∘i$ 是分解, 其中 $p$ 是 trivial fibration, 根据上一条引理, 我们有 $f$ 是 $i$ 的 retract, 从而 $f$ 是一个 cofibration.

其余情形类似可以证明.

这个引理的一个自然推论就是所有 isomorphisms 都是 cofibrations, fibrations 和 weak equivalences.

设 $\mathcal{M}$ 是一个 model category.

所有的 (trivial) cofibrations 对于 pushouts 封闭.
所有的 (trivial) fibrations 对于 pullbacks 封闭.

这是因为如果 $f$ 对于一个态射 $p$ 有 LLP, 则 $f$ 的 pushout 对于 $p$ 也有 LLP. (左边虚线是 LLP 给出, 右边是 pushout 的泛性质给出, 证明交换性要用到连接态射的唯一性)

下面的 Ken Brown‘s Lemma 提供了一种检验 (特定对象之间的) 态射是否是弱等价的方法.

(Ken Brown’s Lemma)

设 $\mathcal{M}$ 是一个 model category. 设 $\mathcal{D}$ 是一个范畴, 它有一个由 “weak equivalences” 组成的子范畴, 即满足二推三性质. 设 $F:\mathcal{M}→\mathcal{D}$ 是一个函子.

若 $F$ 将 cofibrant objects 之间的 trivial cofibrations 都映为 weak equivalences, 则 $F$ 将所有 cofibrant objects 之间的 weak equivalences 都映为 weak equivalences.
若 $F$ 将 fibrant objects 之间的 trivial fibrations 都映为 weak equivalences, 则 $F$ 将所有 fibrant objects 之间的 weak equivalences 都映为 weak equivalences.

设 $f:A→B$ 是 cofibrant objects 之间的 weak equivalence.

$A$ 和 $B$ 是 cofibrant objects 意味着 $0→A$ 和 $0→B$ 是 cofibrations. 考虑推出

则 incluction maps $A\overset{i_a}{\to}A∐B$ 和 $B\overset{i_B}{\to}A∐B$ 都是 cofibrations.

考虑 $(f, \mathrm{Id}_B): A∐B→B$, 考虑它的分解 $(f, \mathrm{Id}_B)=p∘q$, 其中 $q$ 是 cofibration, $p$ 是 trivial fibration.

其中 $p∘q∘i_a=f$ 是 weak equivalence, $p$ 是 trivial fibration, 则 $q∘i_a$ 是 weak equivalence.
其中 $p∘q∘i_b=\mathrm{Id}_B$ 是 weak equivalence, $p$ 是 trivial fibration, 则 $q∘i_b$ 是 weak equivalence.
显然 $q∘i_a$ 和 $q∘i_b$ 都是 cofibrations, 则它们都是 trivial cofibrations.
此外, 易见 $C$ 是 cofibrant object. 于是根据假设可以得到, $F(q∘i_a)$ 和 $F(q∘i_b)$ 都是 weak equivalences.

由于 $F(p∘q∘i_b)=F(\mathrm{Id}_B)$ 是 weak equivalence, $F(q∘i_b)$ 是 weak equivalence, 则 $F(p)$ 是一个 weak equivalence.

从而 $F(f)=F(p∘q∘i_a)=F(p)∘F(q∘i_a)$ 是 weak equivalence.

1.2 同伦范畴 The Homotopy Category

Hovey 的这一节是完全遵从 [Qui67] 的标准方法, 没有引入什么新的改进. 只有从 [DS95] 和 [DHK] 中借鉴了一些小的改进.

Q: 目前有没有什么新的东西?

最基本的结果: 局部化 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ (by inverting the weak equivalences) 和商范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$ (cofibrant 和 fibrant 对象商掉同伦关系) 是等价的.

(homotopy “category” $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$)

Remark. 这里加引号似乎是因为还没有证明这个是一个范畴, 后面要证明它不用传递到更高的宇宙. (???)

Remark. 如果上面这个定义里面谈及的 weak equivalences 是一个模型结构里面的, 那么我们可以很好地看出加了东西再取的商范畴(这里的同伦范畴)里面态射的结构: $X$ 和 $Y$ 之间的态射就是它们的 cofibrant replacement 之间的态射的同伦类.

函子 $γ: \mathcal{M}→\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 保持对象不变, 并将 $\mathcal{W}$ 里面的态射变为同构. 这个范畴 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 有以下的泛性质描述:

设 $\mathcal{M}$ 是一个范畴, $\mathcal{W}$ 是一个子范畴.

若函子 $F:\mathcal{M}→\mathcal{D}$ 将 $\mathcal{W}$ 里面的态射变为同构, 则存在唯一的函子 $\mathrm{Ho}\ F:\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}→\mathcal{D}$ 使得 $(\mathrm{Ho}\ F)∘γ=F$.
设函子 $δ:\mathcal{M}→\mathcal{E}$ 将 $\mathcal{W}$ 里面的态射变为同构, 并且满足 (1) 中同样的泛性质. 则有唯一的范畴同构 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}\overset{F}{\to}\mathcal{E}$ 使得 $F∘γ=δ$.
(1) 中的对应给出了下面两个对象是函子、态射是自然变换的范畴同构: $$ \{\mathrm{Ho}\ F:\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}→\mathcal{D}\}≅\{F:\mathcal{M}→\mathcal{D}\ |\ F(\mathcal{W})\subseteq \mathrm{Iso}(\mathcal{D})\} $$

Notations. 给定一个模型范畴 $M$. 记

$\mathcal{M}_c$ 为所有 cofibrant objects 组成的满子范畴.
$\mathcal{M}_f$ 为所有 fibrant objects 组成的满子范畴.
$\mathcal{M}_{cf}$ 为所有既是 cofibrant objects 又是 fibrant objects 的对象组成的满子范畴.

嵌入函子诱导范畴等价: $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_c \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_f \overset{\sim}{\to} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}. \end{equation}$$

Remark. 这个证明要用到 cofibrant replacement 和 fibrant replacement functors.

保持弱等价的函子诱导出同伦范畴之间的函子.

$Q$ 保持弱等价.

$q$ 作为自然变换给出 $Q∘i→\mathrm{Id}_{\mathcal{M}_c}$ 和 $i∘Q→\mathrm{Id}_\mathcal{M}$ 之间的自然弱等价.

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴, $f,g:B→X$ 是两个态射.

(cylinder object for $B$)
cylinder object for $B$ 是一个分解, 将 fold map $∇:B∐B→B$ 分解为一个 cofibration $B∐B\overset{(i_0,i_1)}{\longrightarrow}B'$ 和一个 weak equivalence $B'\overset{s}{→}B$.

Q: 拓扑里面的同伦的定义是柱同伦(即左同伦). 这里的公理化定义可以完全刻画拓扑里面的同伦吗? 另外道路同伦(即右同伦)在拓扑里面的对应是什么?

Remark. 在 cylinder object 的定义里面用到的分解未必是模型范畴定义里面的函子性分解, 第二个态射未必是 fibration. 对于用定义中函子性分解得到的 cylinder object, 称其为 functorial cylinder object, 并有专门的记号. 对于 path object 也是类似的.

利用 model structure 中定义中的 functorial factorization, 我们可以总是得到 functorial cylinder object $B×I$, 满足 $B×I\overset{s}{→}B$ 是 trivial fibration.

接下来的故事是这样的: 之前提到的得到同伦范畴的方法无法看出结构, 也无法保证直接加入弱等价的逆之后得到的态射类是集合. 目前我们已经知道了对于模型范畴而言 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M} \simeq \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf}$, 我们尝试从后者入手. 接下来我们会发现, 对于既是 cofibrant 又是 fibrant 的对象之间的态射, 同伦关系是它们之间的态射集上的等价关系, 于是我们可以考虑相应的商范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$. 并且之后可以证明 $$\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \simeq \mathcal{M}_{cf}/\sim.$$

于是我们现在要解决两个问题:

证明同伦关系是等价关系
证明 $\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_{cf} \simeq \mathcal{M}_{cf}/\sim.$

以下我们有一些标准的结论 (来自 [Qui67]):

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴, $f,g: B→X$ 是 $\mathcal{M}$ 中两个态射.

若 $X$ 是 fibrant, 则 $f\overset{l}{\sim}g⇒fh\overset{l}{\sim}gh$; 若 $B$ 是 cofibrant, 则 $f\overset{r}{\sim}g⇒hf\overset{r}{\sim}hg$.
若 $B$ 是 cofibrant, 则 left homotopy 是 $\mathcal{M}(B,X)$ 上的等价关系; 若 $X$ 是 fibrant, 则 right homotopy 是 $\mathcal{M}(B,X)$ 上的等价关系.
若 $B$ 是 cofibrant, $h:X→Y$ 是一个 trivial fibration 或者 fibrant objects 之间的 weak equivalence, 则 $h$ 诱导同构 $$\begin{equation} \mathcal{M}(B,X)/\overset{l}{\sim} \overset{\cong}{\to} \mathcal{M}(B,Y)/\overset{l}{\sim}. \end{equation}$$ 对偶地, 若 $X$ 是 fibrant, $h:A→ B$ 是一个 trivial cofibration 或者 cofibrant objects 之间的 weak equivalence, 则 $h$ 诱导同构 $$\begin{equation} \mathcal{M}(B,X)/\overset{r}{\sim} \overset{\cong}{\to} \mathcal{M}(A,X)/\overset{r}{\sim}. \end{equation}$$
如果 $B$ 是 cofibrant, 则 $f\overset{l}{\sim}g ⇒ f\overset{r}{\sim}g$. 并且, 对于 $X$ 的任意 path object $X'$, 都有从 $f$ 到 $g$ 的 right homotopy $K:B→X'$.
对偶地, 如果 $X$ 是 fibrant, 则 $f\overset{r}{\sim}g ⇒ f\overset{l}{\sim}g$. 并且, 对于 $B$ 的任意 cylinder object $B'$, 都有从 $f$ 到 $g$ 的 left homotopy $H:B'→X$.

$X$ 是 fibrant 的话, $s$ 可以用一个 trivial fibration 来取代, 于是可以用 lifting property 来得到所需的 $H'$. 另一个情形类似.

自反性和对称性显然. 关于传递性的证明似乎关键是给定两个 cylinder object 之后如何通过 pushout 得到一个新的 cylinder object. 这里的证明似乎有点绕, 需要仔细看. (待补充)

这个命题直接给出两个引理:

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴, $B$ 是 cofibrant object, $X$ 是 fibrant object. 则 left homotopy 和 right homotopy 在 $\mathcal{M}(B,X)$ 上是同一个等价关系.
并且, 对于上面等价的态射, 都可以通过任意的 cylinder object 获取 left homotopy, 也可以通过任意的 path object 获取 right homotopy.

$\mathcal{M}_{cf}$ 上态射的同伦关系是等价关系并且与复合兼容. 从而存在范畴 $\mathcal{M}_{cf}/\sim$.

1.3 Quillen Functors and Derived Functors

学习目标:

什么是 Quillen adjunctions or Quillen functors?
Quillen functors 如何诱导出同伦范畴之间的函子(似乎叫 derived functor)?
上述诱导过程的自然性如何?
什么是 Quillen equivalence?

1.3.1 Quillen Functors

设 $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ 是模型范畴.

(left Quillen functor)
函子 $F:\mathcal{M}→\mathcal{N}$ 是 left Quillen functor, 如果 $F$ 是 left adjoint 并且 $F$ 保持 cofibrations 和 trivial cofibrations.
(right Quillen functor)
函子 $U:\mathcal{N}→\mathcal{M}$ 是 right Quillen functor, 如果 $U$ 是 right adjoint 并且 $U$ 保持 fibrations 和 trivial fibrations.
(Quillen adjunction)
设 $(F,U,φ)$ 是 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{N}$ 之间的一个 adjunction. 如果 $F$ 是 left Quillen functor (等价地, $U$ 是 right Quillen functor, 需证明), 则称 $(F,U,φ)$ 是一个 Quillen adjunction.

Remark. 根据 Ken Brown‘s lemma, left Quillen functor 保持所有 cofibrant objects 之间的 weak equivalences; right Quillen functor 保持所有 fibrant objects 之间的 weak equivalences. 这个结果对于后面定义 derived functors 很重要.

Remark. 这个部分的很多内容实际上只需要用到 left adjoints 加上保持 cofibrant objects 及其之间的 weak equivalences 的性质再加上对偶的, 但是这样对条件的弱化并不能得到很好的东西, 还会丧失简洁性 (这都是 Hovey 说的).

最著名的例子是拓扑空间范畴 $\mathbf{Top}$ 和 simplicial sets 范畴 $\mathbf{sSet}$ 之间的 Quillen adjunction. 这里 $\mathbf{Top}$ 里面的模型结构是 Serre model structure, $\mathbf{sSet}$ 里面的模型结构是 Kan model structure.

简单的例子是 $\mathcal{M}_*$ 和 $\mathcal{M}$ 之间的; 以及 $\mathcal{M}^I$ 和 $\mathcal{M}$ 之间的.

下面的引理说明了为什么在 Quillen adjunction 的定义中 left Quillen functor 和 right Quillen functor 是等价的.

设 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 是 model categories, $(F,U,φ)$ 是 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{N}$ 之间的一个 adjunction. 则 $F$ 是 left Quillen functor 当且仅当 $U$ 是 right Quillen functor.

这里需要使用伴随对去证明 $Ff$ has the left lifting property with respect to $p$ if and only if $f$ has the left lifting property with respect to $Up$. 但是我对这里的细节不是很清楚. 关键在于伴随对我没有非常熟悉. 具体而言,

1.3.2 Derived Functors and Naturality

设 $\mathcal{M},\mathcal{N}$ 是模型范畴.

(total left derived functor)
设 $F:\mathcal{M}→\mathcal{N}$ 是一个 left Quillen functor. 定义 $F$ 的 total left derived functor $LF:\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}→\mathrm{Ho}\ \mathcal{N}$ 为复合 $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}\overset{\mathrm{Ho}\ Q}{⟶}\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}_c\overset{\mathrm{Ho}\ F}{⟶} \mathrm{Ho}\ \mathcal{N}. \end{equation}$$ 给定一个 left Quillen functors 之间的一个自然变换 $τ:F→F'$, 定义 $τ$ 的 total left derived natural transformation $Lτ:LF→LF'$ 为 $\mathrm{Ho}\ τ∘\mathrm{Ho}\ Q$, 故 $(Lτ)_X=τ_{QX}$.
(total right derived functor)
设 $U:\mathcal{N}→\mathcal{M}$ 是一个 right Quillen functor. 定义 $U$ 的 total right derived functor $RU:\mathrm{Ho}\ \mathcal{N}→\mathrm{Ho}\ \mathcal{M}$ 为复合 $$\begin{equation} \mathrm{Ho}\ \mathcal{N}\overset{\mathrm{Ho}\ R}{⟶}\mathrm{Ho}\ \mathcal{N}_f\overset{\mathrm{Ho}\ U}{⟶} \mathrm{Ho}\ \mathcal{M}. \end{equation}$$ 给定一个 right Quillen functors 之间的一个自然变换 $τ:U→U'$, 定义 $τ$ 的 total right derived natural transformation $Rτ:RU→RU'$ 为 $\mathrm{Ho}\ τ∘\mathrm{Ho}\ R$, 故 $(Rτ)_X=τ_{RX}$.