Simplicial Sets 上的模型结构

3.1 Simplicial Sets

Simplicial category $Δ$ 的对象是 $$\begin{equation} [n]=\{ 0,1,\cdots,n \},\quad n≥0, \end {equation}$$ 态射是 weekly order-preserving maps (单调递增, 不要求严格). 显然 $Δ$ 构成一个范畴.

$Δ$ 有两个子范畴 $Δ_{+}, Δ_{-}$, 它们的态射分别是单射和满射. $Δ$ 中 所有的态射都可以分解为一个单射复合一个满射.

$Δ$ 的生成元是 coface maps $d^i$ 和 codegeneracy maps $s^i$ :

$$\begin{equation} d^i: [n-1]→[n]∈Δ_+, \text{where the image of } d^i \text{ misses } i, \end{equation}$$ $$\begin{equation} s^i: [n]→[n-1]∈Δ_-, \text{where } s^i \text{ maps } i \text{ and } i+1 \text{ to } i. \end{equation}$$

这些态射满足以下 cosimplicial identities:

$$\begin{equation} d^j d^i = d^i d^{j-1}, \quad i< j, \end{equation}$$

$$\begin{equation} s^j d^i = \begin{cases} d^i s^{j-1}, & i< j \\ \mathrm{Id}, & i=j \text{ or } i=j+1 \\ d^{i-1} s^j, & i>j+1 \end{cases}, \end{equation}$$

$$\begin{equation} s^j s^i = s^{i-1} s^j, \quad i>j, \end{equation}$$

设 $\mathcal{C}$ 是任意一个范畴, 则定义 the category of cosimplicial objects in $\mathcal{C}$ 为函子范畴 $\mathcal{C}^Δ$, the category of simplicial objects in $\mathcal{C}$ 为函子范畴 $\mathcal{C}^{Δ^{op}}$. 最重要的例子是集合范畴上的 simplicial objects, 我们使用记号 $\mathbf{SSet}=\mathcal{C}^{\Delta^{^{\mathrm{op}}}}$, $\mathbf{SSet}$ 称为 the category of simplicial sets.

对于一个 simplicial set $K$, 记 $$\begin{equation} K_n := K[n], \end{equation}$$ 并称 $K_n$ 是 $K$ 的 $n$-simplices 的集合.

(我还没搞清楚第一个 finite 是什么意思)

有一个非常重要的函子 $$\begin{equation} Δ[-]: Δ → \mathbf{SSet}, \quad [n] \mapsto Δ[n] = Δ(-,[n]) = \mathrm{Hom}_Δ(-,[n]). \end{equation}$$ 每一个 $Δ[n]$ 其实就是一个反变的 Yoneda 函子 (看成从 $Δ^{^{\mathrm{op}}}$ 出发的话就是共变的). 于是根据 Yoneda Lemma 我们有自然同构 $$\begin{equation} \mathbf{SSet}(Δ[n], K)≅ K_n, \end{equation}$$