Hopf Algebra 基础知识
Algebra 的图表刻画
设 $A$ 是一个 $k$-vector space, 连同 $k$-linear maps $$\begin{equation} m:A⊗A→A, \quad u:k→A. \end{equation}$$ 这两个 maps 给出 $A$ 上的一个 $k$-algebra 结构(此时 $m$ 称为 multiplication, $u$ 称为 unit map) , 当且仅当满足如下交换图:
Coalgebra
有了 algebra 的图表刻画, 那么我们就可以容易地得到 coalgebra 的概念.
(Coalgebra)
设 $C$ 是一个 $k$-vector space, 连同 $k$-linear maps $$\begin{equation}
\Delta: C→C⊗C, \quad \epsilon: C→k.
\end{equation}$$ $C$ 称为一个 coalgebra (此时 $Δ$ 称为 comultiplication(或 coproduct), $ε$ 称为 counit), 如果满足如下交换图:
Remark. The second diagram is called “coassociativity” of ∆.
Coalgebra 的 Sweedler notation
Algebra 和 Coalgebra 的对偶性
简单来讲, 给定一个 coalgebra, 它的向量空间对偶有自然的 algebra 的结构. 反之未必.
Coalgebra 的对偶是 Algebra
设 $C$ 是一个 $k$ 上的 coalgebra. Claim: 对偶空间 $C^*$ 上有自然的 $k$-algebra 结构.
对于 $f,g∈C^*=\mathrm{Hom}_k(C,k)$, 定义 $fg∈ C^*$ 为 $$\begin{equation} [fg](c)=\sum f(c_{(1)})⊗ g(c_{(2)})=(f⊗g)∘Δ(c), \end{equation}$$