《基础代数学》作业 Week13-2

注意到 $\mathbb{Z}$ 是自由模从而是投射模, 我们有如下投射分解:

主理想整环上的投射模都是自由模, 于是就有如下交换图给出的投射分解:

(使用的每一个(自由)投射模都是有限生成的(有限秩), 关键在于主理想整环上的有限生成模的子模也是有限生成模.)

注意到 $\mathbb{Z}_4$-模 $\mathbb{Z}_4$ 是投射模, 我们有如下投射分解:

先陈述要证明的内容: 设 $\mathcal{A}$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴. 给定态射 $f:M→N$, 以及 $N$ 的内射分解 $0→N→J$ 以及正合列 $0→M→I$, 则有链复形 $I$ 和 $J$ 之间的链映射 $\alpha$ 使得下面的交换图交换:

并且这样的链映射 $\alpha$ 在同伦意义下是唯一的.

首先证明这样链映射的存在性.

由于 $i$ 是单态射, 由 $J_0$ 是内射对象, 存在态射 $\alpha_0 : I_0 → J_0$ 使得 $\alpha_0 i = i' f$.

现在假设我们已经有了态射 $\{\alpha_k : I_k → J_k\}_{k=0}^n$ 使得对任意的 $0≤ k ≤ n$ 有 $d'^{k-1} \alpha_{k-1} = \alpha_{k} d^{k-1}$ ($\alpha_{-1}$ 代表 $f$, $d^{-1}$ 和 $d'^{-1}$ 分别代表 $i$ 和 $i'$).

如上图考虑 $d^n$ 的满单分解, 注意到 $\widetilde{d^n}$ 是 $d^{n-1}$ 的 cokernel, 以及 $d'^n\alpha_n d^{n-1} = d'^n d'^{n-1}\alpha_{n-1}=0$, 因此存在态射 $t_n : \operatorname{Im} d^n \to J_{n+1}$ 使得 $t_n \widetilde{d^n} = d'^n \alpha_n$. 由于 $J_{n+1}$ 是内射对象, 存在态射 $\alpha_{n+1} : I_{n+1} \to J_{n+1}$ 使得 $\alpha_{n+1} \sigma_n = t_n$. 于是有 $$\begin{equation} \alpha_{n+1} d^n = \alpha_{n+1} \sigma_n \widetilde{d^n} = t_n \widetilde{d^n} = d'^n \alpha_n. \end{equation}$$

由数学归纳法, 我们就得到了链映射 $\alpha : I \to J$.

下面证明这样的链映射在同伦意义下是唯一的.

假设还有链映射 $\beta : I \to J$ 也使得最开始的交换图交换.

首先, 由于 $(\alpha_0 - \beta_0) i = i' f - i' f = 0$, 以及 $i'$ 是 $\widetilde{d^0}$ 的 kernel, 存在态射 $h_0 : \operatorname{Im} d^0 \to J_0$ 使得 $h_0 \widetilde{d^0} = \alpha_0 - \beta_0$. 由于 $\sigma_0$ 是单态射以及 $J_0$ 是内射对象, 存在态射 $s_0 : I_1 \to J_0$ 使得 $s_0 \sigma_0 = h_0$. 于是有 $$\begin{equation} (\alpha_0 - \beta_0) = h_0 \widetilde{d^0} = s_0 \sigma_0 \widetilde{d^0} = s_0 d^0. \end{equation}$$ 这实际上给出了 $\alpha\overset{s}{\sim}\beta$ 的第一步.

假设已经有 $\{s_k: I_{k+1}→ J_k\}_{k=0}^{n}$ 使得对任意的 $0≤ k ≤ n$ 有 $\alpha_k - \beta_k = s_k d^k + d'^{k-1} s_{k-1}$ (其中 $s_{-1}$ 代表零态射). 于是有 $$\begin{equation} (\alpha_{n+1}-\beta_{n+1}) d^n = d'^{n} (\alpha_n - \beta_n) = d'^{n} (s_n d^n + d'^{n-1} s_{n-1}) = d'^{n} s_n d^n, \end{equation}$$ 从而有 $$\begin{equation} (\alpha_{n+1}-\beta_{n+1}-d'^ns_n) d^n = 0. \end{equation}$$

由于 $\widetilde{d^{n+1}}$ 是 $d^n$ 的 cokernel, 以及 $(\alpha_{n+1}-\beta_{n+1}-d'^ns_n) d^n = 0$, 存在态射 $h_{n+1} : \operatorname{Im} d^{n+1} \to J_{n+1}$ 使得 $h_{n+1} \widetilde{d^{n+1}} = \alpha_{n+1}-\beta_{n+1}-d'^ns_n$. 由于 $\sigma_{n+1}$ 是单态射以及 $J_{n+1}$ 是内射对象, 存在态射 $s_{n+1} : I_{n+2} \to J_{n+1}$ 使得 $s_{n+1} \sigma_{n+1} = h_{n+1}$. 于是有 $$\begin{equation} \alpha_{n+1}-\beta_{n+1} = h_{n+1} \widetilde{d^{n+1}} + d'^n s_n = s_{n+1} \sigma_{n+1} \widetilde{d^{n+1}} + d'^n s_n = s_{n+1} d^{n+1} + d'^n s_n. \end{equation}$$

由数学归纳法, 我们就得到了 $\alpha\overset{s}{\sim}\beta$.

对于有足够多内射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 中的任意对象 $M$, 其内射分解在同伦意义下是唯一的: 若 $0 \to M \xrightarrow{i} I$ 和 $0 \to M \xrightarrow{i'} I'$ 是 $M$ 的两个内射分解, 则存在链映射 $\alpha : I \to I'$ 以及 $\beta : I' \to I$ 使得 $\alpha i = i'$ 以及 $\beta i' = i$. 这样 $\alpha\beta$ 给出了内射分解 $I'$ 到其自身的一个链映射, 并且满足 $\alpha\beta i' = i'$. 同时, 恒等映射 $\mathrm{Id}_{I'}$ 也是内射分解 $I'$ 到其自身的一个链映射, 并且满足 $\mathrm{Id}_{I'} i' = i'$. 由内射分解的比较定理, 我们有 $\alpha\beta \overset{s}{\sim} \mathrm{Id}_{I'}$. 同理可得 $\beta\alpha \overset{t}{\sim} \mathrm{Id}_{I}$. 因此任意两个内射分解之间有同伦等价, 因此内射分解在同伦意义下是唯一的.

给定有足够多内射对象的 Abel 范畴 $\mathcal{A}$ 中的正合列 $0 \rightarrow X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \rightarrow 0$,以及内射分解 $0→X\xrightarrow{i'}I'$ 和 $0→Z\xrightarrow{i''}I''$, 下面来证明有内射分解 $0→Y\xrightarrow{i}I$ 使得 $I^n=I'^n⊕I''^n$.

注意到 $f$ 是单态射, 由 $I'^0$ 是内射对象, 存在态射 $h : Y → I'^0$ 使得 $h f = i'$. 定义态射 $i : Y → I'^0 ⊕ I''^0$ 为 $i=\begin{pmatrix}h\\i'' g \end{pmatrix}$, 容易验证我们就得到了如上两行正合列的交换图. 由于 $i'$ 和 $i''$ 都是单态射, 由蛇引理 (或者五引理) 可知 $i$ 也是单态射. 并且进一步由蛇引理有如下正合列的交换图:

这样就只要重复上面的步骤就完成了证明.