《基础代数学》作业 Week14-1
设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, 且 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象. 设 $F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是反变加法函子. 则左导出(反变)函子 $L_n F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}, \quad n \ge 0$ 满足如下性质.
(LD1) 如果 $F$ 右正合, 则 $L_0 F \cong F$.
(LD2) 如果 $M$ 是内射对象, 则 $(L_n F)(M) = 0, \quad \forall n \ge 1$.
(LD3) 设
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \longrightarrow 0 \end{equation}$$
是 $\mathcal{A}$ 中的正合列. 则在 $\mathcal{B}$ 中存在长正合列
$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow (L_{n+1}F)(X) \xrightarrow{c_n} (L_n F)(Z) \xrightarrow{(L_n F)g} (L_n F)(Y) \xrightarrow{(L_n F)f} (L_n F)(X) \longrightarrow \cdots \end{equation}$$
$$\begin{equation} \cdots \longrightarrow (L_1 F)(X) \xrightarrow{c_0} (L_0 F)(Z) \xrightarrow{(L_0 F)g} (L_0 F)(Y) \xrightarrow{(L_0 F)f} (L_0 F)(X) \longrightarrow 0 \end{equation}$$
(LD4) 连接态射 $c_n : (L_{n+1}F)(X) \longrightarrow (L_n F)(Z)$ 是自然的.
(LD1) 如果 $F$ 右正合, 则 $$\begin{equation}
⋯→ FI_1 \xrightarrow{Fd^0} FI_0 \xrightarrow{F\varepsilon} FM → 0
\end{equation}$$ 是正合列, 因此 $$\begin{equation}
(L_0 F)M = \mathrm{Ker}(F\varepsilon) / \mathrm{Im}(Fd^0) \cong FM.
\end{equation}$$ 并且这个同构对于 $M$ 是函子的, 即 $L_0 F \cong F$.
(LD2) 因为 $M$ 是内射对象, 于是可以取内射分解使得 $I^0=M, \varepsilon=\mathrm{Id}_M, I^i=0, ∀ i≥1$. 于是根据定义即得.
(LD3) 设 $0→X→I_X$ 和 $0→Z→I_Z$ 分别是 $X$ 和 $Z$ 的内射分解. 由内射分解的马蹄引理, 存在 $Y$ 的内射分解 $0→Y→I_Y$, 并且有 $\mathcal{A}$ 上链复形的链可裂短正合列(未必是复形范畴上的可裂短正合列) $0→I_X→I_Y→I_Z→0$. 由于 $F$ 是反变加法函子, 有 $\mathcal{B}$ 上链复形的链可裂短正合列 $0→FI_Z→FI_Y→FI_X→0$. 由同调代数基本定理就得到所要的长正合列.
(LD4) 给定 $\mathcal{A}$ 中的短正合列的交换图
我们断言有复形短正合列的交换图
这个直接在态射范畴里面看就行. 有了这个交换图之后, 我们作用 $F$, 就可以得到复形短正合列的交换图
这样长正合列中连接态射的自然性就由同调代数基本定理中的连接态射的自然性保证.
[维数移位] 设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, 且 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象. 设 $F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是反变加法函子, $M$ 是 $\mathcal{A}$ 中对象. 设
$$\begin{equation} 0 \longrightarrow M \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \xrightarrow{d^0} I^1 \longrightarrow \cdots \xrightarrow{d^{n-1}} I^n \xrightarrow{d^n} I^{n+1} \longrightarrow \cdots \end{equation}$$
是 $M$ 的一个内射分解. 令 $K_m := \operatorname{Im} d^m , \quad m \ge 0$. 则有
$$\begin{equation} (L_n F)M = (L_{n-1} F)K_0 , \forall n \ge 2 ;\quad (L_n F)M = (L_{n-m-1} F)K_m , \forall n \ge m + 2. \end{equation}$$
直接注意到 $0→ K_0↪I^1→ ⋯→I^m→ \xrightarrow{d^m} I^{m+1}\to\cdots$ 是 $K_0$ 的内射分解. 由左导出函子的定义即知 $(L_nF)M=(L_{n-1}F)K_0, ∀ n≥2$. 反复应用此式即可得出 $(L_n F)M = (L_{n-m-1} F)K_m , \forall n \ge m + 2$.
右正合反变函子的左导出函子由 (LD1)–(LD4) 这四条性质在自然同构的意义下唯一确定. 具体地说, 设 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 是 Abel 范畴, 且 $\mathcal{A}$ 有足够多内射对象. 设 $F : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是右正合反变函子. 如果有一列反变函子 $F_n : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B} , \quad n \ge 0$ 也满足 (LD1)–(LD4) 这四条性质(特别地, 由于 $F$ 右正合, 有 $F_0 \cong F$), 则 $F_n \cong L_n F , \quad \forall n \ge 0$.
对 $n$ 运用数学归纳法. 当 $n=0$ 时, 由 (LD1) 可知 $F_0 \cong F \cong L_0 F$.
设 $f:N→M$ 是 $\mathcal{A}$ 中态射. 考虑如下两行均正合的态射图, 其中 $I^0, J^0$ 均为内射对象(取为内射对象是为了用到 (LD2), 从而使得得到的长正合列后面每三项有一个 $0$, 从而得到一堆同构):
从而存在态射 $g,h$ 使得上图交换. 由 (LD1)–(LD4) 得到如下行正合的态射图:
由于 $(Fc)\delta_0=0$ 以及 $F_1M$ 是 $Fc$ 的 kernel, 知存在态射 $\eta_M$ 使得前两行交换. 由五引理知 $\eta_M$ 是同构. 同理, 存在同构 $\eta_N$ 使得上图后两行交换. 下面证明最左边的平行四边形交换, 即 $(F_1f)\eta_M=\eta_N(L_1F)f$. 事实上, $$\begin{equation}
\partial'_0(\eta_N(L_1F)f - (F_1f)\eta_M) = (Fh)\delta_0\eta_M - \delta'_0(Fg)\eta_M = (Fh)(Fc) - (Fd^0)(Fg) = 0,
\end{equation}$$ 由于 $\partial'_0$ 是单态射, 故 $\eta_N(L_1F)f = (F_1f)\eta_M$. 这就证明了 $F_1≅ L_1F$.
当 $n≥2$, 由 (LD3) 得到 $F_n M≅ F_{n-1} C^0$; 由 $L_nF$ 的维数移位得到 $(L_nF)M ≅ (L_{n-1}F)C^0$. 由归纳假设 $F_{n-1}≅ L_{n-1}F$, 故 $F_n M≅ (L_nF)M$. 每一步都是自然的, 从而得到 $F_n≅ L_nF$.