《基础代数学》作业 Week14-2

我们有 $\mathbb{Z}_m$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots → 0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{\times m} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}_m \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(- ,\mathbb{Z})$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形($()^*$ 表示在右边复合): $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) \xrightarrow{(\times m)^*} \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) \rightarrow 0 \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^0_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) = 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) / \mathrm{Im}((\times m)^*) \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_m, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}) = 0, \quad \forall n \ge 2. \end{equation}$$

我们有 $M$ 的投射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow D \xrightarrow{\times a} D \xrightarrow{\pi} M \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_D(- ,N)$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_D(D,N) \xrightarrow{(\times a)^*} \mathrm{Hom}_D(D,N) \rightarrow 0. \end{equation}$$ 于是得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^1_D(M,N) \cong \mathrm{Hom}_D(D,N) / \mathrm{Im}((\times a)^*) \cong N/aN. \end{equation}$$ (因为有 $\mathrm{Hom}_D(D,N) \cong N$.)

特别地, 如果 $N = D/\langle b \rangle$, 则 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^1_D(M,N) \cong (D/\langle b \rangle)/a(D/\langle b \rangle) \cong D/(⟨b⟩ + ⟨a⟩) \cong D/\langle \gcd(a,b) \rangle. \end{equation}$$

我们有 $M$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow A \xrightarrow{\times x^{s-r}}A \xrightarrow{\times x^r} A \xrightarrow{\times x^{s-r}} A \xrightarrow{\times x^r} A \xrightarrow{\pi} M \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_A(- ,N)$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_A(A,N) \xrightarrow{(\times x^{r})^*} \mathrm{Hom}_A(A,N) \xrightarrow{(\times x^{s-r})^*} \mathrm{Hom}_A(A,N) \rightarrow \cdots \end{equation}$$

根据 $\mathrm{Hom}_A(A,N) \cong N$, 我们有 $$\begin{equation} 0 \rightarrow N \xrightarrow{\times x^{r}} N \xrightarrow{\times x^{s-r}} N \xrightarrow{\times x^{r}} N \xrightarrow{\times x^{s-r}} N \rightarrow \cdots \end{equation}$$

为了方便, 记 $[f(x)] = ⟨f(x) + ⟨x^s⟩⟩$, 则 $N≅[x^{s-t}]$. 于是上述链复形可写为 $$\begin{equation} 0 \rightarrow [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{r}} [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{s-r}} [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{r}} [x^{s-t}] \xrightarrow{\times x^{s-r}} [x^{s-t}] \rightarrow \cdots \end{equation}$$

从而, 我们有 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^0_A(M,N) \cong \mathrm{Ker}(\times x^{r}) = \begin{cases} [x^{s-t}], & r \ge t ;\\ [x^{s-r}], & r < t ; \end{cases} = [x^{s-\min(r,t)}], \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^{2n+1}_A(M,N) \cong \mathrm{Ker}(\times x^{s-r}) / \mathrm{Im}(\times x^{r}) = \begin{cases} [x^t], & r + t > s \text{且} r < t ;\\ [x^r], & r + t > s \text{且} r ≥ t ;\\ [x^{s-t}], & r + t ≤ s \text{且} t < r ;\\ [x^{s-r}], & r + t ≤ s \text{且} t ≥ r ; \end{cases}=[x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^{2n}_A(M,N) \cong \mathrm{Ker}(\times x^{r}) / \mathrm{Im}(\times x^{s-r}) = [x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \end{equation}$$

综上可得,

$$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_A(M,N) = [x^{s - \min(s - r, s-t, r, t)}], \quad \forall n \ge 1. \end{equation}$$

对于每一个 $M_i$, 取其投射分解 $P_i\xrightarrow{\pi_i} M_i→ 0$, 下面我们来构造 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限余积且有足够多投射对象, 故 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0$ 存在且为投射对象. 于是我们有系列满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → P_j^0 → M_j$, 从而由余积的泛性质, 可以得到满态射 $\bigoplus_{i∈I} P_i^0 → \bigoplus_{i∈I} M_i$. 记其为 $\pi$, 并且(态射余积的定义) $π = \bigoplus_{i∈ I}\pi_i$, 容易发现它的 kernel 为 $\bigoplus_{i∈I} \operatorname{Ker} \pi_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\bigoplus_{i∈I} M_i$ 的投射分解 $$\begin{equation} \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^n \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^1 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} P_i^0 \xrightarrow{\pi} \bigoplus_{i \in I} M_i \rightarrow 0. \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(- ,N)$ 作用到删项投射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^0,N) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^1,N) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^n,N) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} P_i^n,N) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^n,N)$, 故上式同构于 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^0,N) \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^1,N) \rightarrow \cdots \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^n,N) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)). \end{equation}$$ 由于链复形的 product 是逐度取积, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{H}^n(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(P_i^\bullet,N)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M_i,N). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M_i,N). \end{equation}$$

对于每一个 $N_i$, 取其内射分解 $0→ N_i \xrightarrow{\varepsilon_i} I_i^0 → I_i^1 → ⋯$. 下面我们来构造 $\prod_{i∈I} N_i$ 的内射分解. 由于 $\mathcal{A}$ 有无限积且有足够多内射对象, 故 $\prod_{i∈I} I_i^0$ 存在且为内射对象. 于是我们有系列单态射 $N_j \xrightarrow{\varepsilon_j} I_j^0 \to \prod_{i∈I} I_i^0$, 从而由积的泛性质, 可以得到单态射 $\prod_{i∈I} N_i \xrightarrow{\varepsilon} \prod_{i∈I} I_i^0$. 记其为 $ε$, 并且(态射积的定义) $ε = \prod_{i∈ I}\varepsilon_i$, 容易发现它的 cokernel 为 $\prod_{i∈I} \operatorname{Coker} \varepsilon_i$. 反复应用此过程, 我们就得到了 $\prod_{i∈I} N_i$ 的内射分解 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \prod_{i \in I} N_i \xrightarrow{\varepsilon} \prod_{i \in I} I_i^0 \rightarrow \prod_{i \in I} I_i^1 \rightarrow \cdots \rightarrow \prod_{i \in I} I_i^n \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M , -)$ 作用到删项内射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^0) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, \prod_{i \in I} I_i^n) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^n)$, 故上式同构于

$$\begin{equation} 0 \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^0) \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$

从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,\prod_{i \in I} N_i) \cong \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^\bullet)). \end{equation}$$ 由于链复形的 product 是逐度取积, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\prod_{i \in I} \mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^\bullet)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{H}^n(\mathrm{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I_i^\bullet)) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,N_i). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,\prod_{i \in I} N_i) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_{\mathcal{A}}(M,N_i). \end{equation}$$

这题关键在于左 Noether 环上的有限生成模是紧的, 即有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, N_i). \end{equation}$$

取 $N_i$ 的内射分解 $0→ N_i \xrightarrow{\varepsilon_i} I_i^0 → I_i^1 → ⋯$. 由于左 Noether 环上的有限生成模是紧的, 故有同构 $$\begin{equation} \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^n) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^n). \end{equation}$$ 将 $\mathrm{Hom}_R(M , -)$ 作用到删项内射分解, 得到如下链复形: $$\begin{equation} 0 \rightarrow \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^0) \rightarrow \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{Hom}_R(M, \bigoplus_{i \in I} I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 由于上面同构, 故上式同构于 $$\begin{equation} 0 \rightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^0) \rightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^1) \rightarrow \cdots \rightarrow \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^n) \rightarrow \cdots \end{equation}$$ 从而得到 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_R(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \mathrm{H}^n(\bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^\bullet)). \end{equation}$$ 由于链复形的 direct sum 是逐度取直和, 从而保持 kernel 和 image, 故 $$\begin{equation} \mathrm{H}^n(\bigoplus_{i \in I} \mathrm{Hom}_R(M, I_i^\bullet)) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{H}^n(\mathrm{Hom}_R(M, I_i^\bullet)) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_R(M,N_i). \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} \mathrm{Ext}^n_R(M,\bigoplus_{i \in I} N_i) \cong \bigoplus_{i \in I} \mathrm{Ext}^n_R(M,N_i). \end{equation}$$