1️⃣ Mathematical description of a physical system

1.1 Mathematical description of classical Hamiltonian systems

Kinematics (运动学)

状态: 经典哈密顿系统中的一个状态 (configuration, or state) 被 phase space manifold $\Gamma$ 中的一个点 $\{p,q\}$ 所描述, 其中 $q$ 是广义坐标, $p$ 是共轭动量. 考虑简单情况时假设 $\Gamma$ 是 compact 的, 这对应着系统 confined in a bounded region of space and the energy is bounded.

具体而言, 上面的 $p,q$ 都可以看成一堆实值函数 $p_i,q_i : \Gamma → \mathbb{R}$, 其中 $i=1,2,\ldots,n$, 表示第 $i$ 个自由度的动量和坐标.

可观测量: 系统的可观测量 (observables) 包括 $p,q$ 以及上面的多项式, 于是可以考虑它们关于一致范数 $\Vert\cdot\Vert_\infty$ 的闭包, 从而也就是所有的实值连续函数 $C_{\mathbb{R}}(\Gamma)$. 这里本质用到了 Stone-Weierstrass 定理(满足区分点性质由相空间的定义可知, 即如果所有的动量和位置都一样那就是同一个点) :

对偶关系: 一方面, 一个状态 $P$ 决定了每个可观测量的值, 这就是直接的. 另一方面, 每个点 $P\in\Gamma$ 唯一地被上面所有可观测量的值决定, 这是因为 Urysohn theorem 保证了连续函数可以区分点(但其实根据 phase space 定义知道连续函数可以区分点, 从而更直接).

Dynamics (动力学)

不是观测量自己随时间变, 而是相空间中的点在动, 观测量只是被拉回. 即给定初始点 $(q,p)$, 我们有时间演化给出的轨道 $$\begin{equation} \Phi_t : \Gamma → \Gamma, \quad (q,p) \mapsto (q_t, p_t), \end{equation}$$ 这是一个相空间上的流 (Hamiltonian flow). 而可观测量 $f$ 在时间 $t$ 的值 $$\begin{equation} f_t = f∘ \Phi_t \end{equation}$$ 是流对可观测量的拉回 (pull-back).

canonical variables 的演化由 Hamilton 方程给出: $$\begin{equation} \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}, \end{equation}$$

代数结构

经典可观测量的代数性质

经典可观测量其实生成了一个交换代数 $\mathcal{A}$ (相空间上的复值连续函数, 其实由实值的完全决定), 我们下面想说明这个东西上面其实有一个交换 $C^*$-代数结构:

• 有加法、乘法和数乘, 并且有单位元;

  • 是交换代数;

• 是 Banach algebra:

  • 有 sup-norm $$\begin{equation} \Vert f ‖ = \sup_{x∈\Gamma}|f(x)|, \end{equation}$$ 关于这个 norm 成为 Banach 空间;

  • 并且乘法关于 norm topology 是连续的, 即 $$\begin{equation} \Vert fg ‖ ≤ \Vert f ‖ \cdot \Vert g ‖, \quad ∀ f,g ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$

• 是 Banach $\star$-algebra:

  • 有 involution ($\star$) operation $f^\star(x) = \overline{f}(x)$.

• 是 $C^*$-algebra:

  • 满足 $C^*$-condition $$\begin{equation} \Vert f^\star f ‖ = \Vert f ‖^2, \quad ∀ f ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$

状态作为线性泛函

上面提到的状态是 phase space $\Gamma$ 中的一个点, 而这其实是一个理想化假设, 在这样的假设下:

• 状态都是纯态, 相当于对应 Dirac 测度
• 测量完全精确, 即零方差

为了去理想化, 引入统计的观点, 每个状态其实给定的是每个可观测量下的多次测量结果 (有点非本体论的感觉), 先说结论: 每个状态是 $\mathcal{A}$ 上的一个 normalized positive linear functional.

具体而言, 对于一个(我们想要定义的真正)状态 $\omega$, 它其实就是给出了每个可观测量的期望值(多次测量的平均值)的一个东西, 即对任意的 $f∈ \mathcal{A}$, 我们会有 $$\begin{equation} ω(f):=\lim_{n\to\infty}⟨f⟩_n^{(\omega)}, \end{equation}$$ (这里的定义并非完全在数学上公理化, 但是在物理上合理, 自然有 $\omega(f^*)=\overline{\omega(f)}$, 因为期望值中被平均的东西的来源就是可观测量在 phase space 上的一些值; 类似地还有如果一个可观测量 $f$ 本身在 phase space 上都是非负值, 那么它的期望值也应该是非负值, 这给出了 positive condition 的直观理解.)

自然可以定义方差(mean square deviation, or variance) $$\begin{equation} (\Delta_\omega f)^2 := ω(f - ω(f))^2. \end{equation}$$

这样的 $\omega$ 是 $\mathbb{C}$-linear 的, 并且满足 positive condition $$\begin{equation} \omega(f^*f)≥ 0, \quad ∀ f ∈ \mathcal{A}, \end{equation}$$ 这进一步给出了 Cauchy-Schwarz 不等式 $$\begin{equation} |\omega(f^*g)|^2 ≤ \omega(f^*f) \cdot \omega(g^*g), \quad ∀ f,g ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$

根据 positive condition, 有 $\omega(\mathbf{1})>0$ (除非 $\omega$ 是平凡态, 即在所有的可观测量上都给出零值), 于是可以归一化使得 $\omega(\mathbf{1})=1$.

于是, 经典系统的状态就是 $\mathcal{A}$ 上的 normalized positive linear functional.

当 $\mathcal{A}=C(\Gamma)$ 是由 compact (Hausdorff) phase space $\Gamma$ (其实只需要紧性, Hausdorff 为的是使用 Urysohn theorem) 上的连续函数给出的时候, state 是连续(有界)线形泛函: 首先紧性给出了连续函数的有界性, 从而有 $‖f‖_∞<\infty$. 另外, 我们对于任意的 $f∈\mathcal{A}$ 逐点有 $$\begin{equation} -‖f‖_∞ ≤ f(x) ≤ ‖f‖_∞, \quad ∀ x ∈ \Gamma, \end{equation}$$ 于是 $$\begin{equation} -‖f‖_∞\cdot\mathbf{1}≤ f ≤ ‖f‖_∞\cdot\mathbf{1}, \end{equation}$$ 两边作用 $\omega$, 并且根据线性性和正性, 有 $$\begin{equation} -‖f‖_∞\omega(\mathbf{1}) ≤ \omega(f) ≤ ‖f‖_∞\omega(\mathbf{1}), \end{equation}$$ 由于 $\omega$ 已经归一化, 于是就有 $$\begin{equation} |\omega(f)| ≤ ‖f‖_∞. \end{equation}$$ 从而 $$\begin{equation} ‖\omega‖ = \sup_{f≠0} \frac{|\omega(f)|}{‖f‖_∞} ≤ 1 < ∞, \end{equation}$$ 这就说明了 $\omega$ 是有界(连续)的线性泛函.

状态集合的具体刻画: 当我们考虑 compact Hausdorff 的 phase space $\Gamma$ 的时候, 上面的连续函数构成的交换 $C^*$-代数 $\mathcal{A}=C(\Gamma)$ 上的 normalized positive linear functional, 即 state $\omega$, 自动是连续泛函. 这时候, 根据如下 Riesz-Markov representation theorem:

我们知道, 一个 state $\omega$ 其实就对应着 phase space $\Gamma$ 上的一个概率测度 $μ_ω$. 这其实就是在说, 我们上面给出的(广义)状态 $\omega$, 就是 phase space 上的一个概率分布, 这就自然地包含了统计的观点. 并且, 从这个角度看, 之前狭义的状态(phase space 上的一个点)其实就是 Dirac 测度, 这就是概率论中的退化分布, 我们称它为纯态 (pure state), 它们不能写成其他状态的凸线性组合.

Remark(与量子情形的比较). 这里的概率分布、测量的不确定性是由统计给出的, 是考虑了现实的测量误差之后的结果. 量子力学中就算是纯态也有着内在的不确定性, 是不考虑统计就有的, 量子理论中考虑统计/现实得到的一般的 state 的描述是密度矩阵, 相当于两重不确定性. 另外, 在量子情形下, $C^*$-代数是非交换的, 没有 Riesz-Markov representation theorem, 替代使用的是 GNS construction, 这也是量子情形下 state 的描述.

态的演化: 一般状态的演化通过可观测量的演化给出 $$\begin{equation} \omega_t(f) = \omega(f_t) = \omega(f ∘ \Phi_t), \quad ∀ f ∈ \mathcal{A}. \end{equation}$$ 这等价于将对应的概率测度 $μ_ω$ 关于 Hamilton 流 $\Phi_t$ 作 push-forward: $$\begin{equation} μ_{\omega_t} = (\Phi_t)_\# μ_ω. \end{equation}$$ 这是因为 $$\begin{equation} \omega_t(f) = \omega(f ∘ \Phi_t) = \int_\Gamma f( \Phi_t(x)) \, dμ_ω(x) = \int_\Gamma f(y) \, d((\Phi_t)_\# μ_ω)(y). \end{equation}$$