《基础代数学》作业 Week1-2
设 $M=M_1⊕ M_2$. 则 $M_1≅ M/M_2,M_2≅ M/M_1$.
考虑自然投射 $$ π: M=M_1⊕M_2→M_1,\ m_1+m_2\mapsto m_1. $$ 则 $\ker π=\{0+m_2∣m_2∈M_2\}=M_2$, 由同态基本定理知 $M/M_2≅M_1$. 同理可证 $M_2≅ M/M_1$.
设有双模 $_RM_S$. 写出 $\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)$ 的 $R$-$S$ 双模结构, 并证明 $R$-$S$ 双模同构 $\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)\cong {_RM_S}$.
双模结构为 ($f∈\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S), r∈R, s∈S, x∈{_RR_R}$) $$(rf)(x)=f(xr),\quad (fs)(x)=f(x)s$$ 容易验证这是一个 $R$-$S$ 双模结构, 主要是注意到 $$\begin{equation} ((rf)s)(x)=(rf)(x)s=f(xr)s=(fs)(xr)=(r(fs))(x). \end{equation}$$
$$\begin{equation} ((r_1r_2)f)(x)=f(x(r_1r_2))=f((xr_1)r_2)=(r_2f)(xr_1)=(r_1(r_2f))(x). \end{equation}$$
$$\begin{equation} (f(s_1s_2))(x)=f(x)(s_1s_2)=(f(x)s_1)s_2=(f s_1)(x)s_2=( (fs_1)s_2)(x). \end{equation}$$
考虑映射 $$\varphi:\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)→{_RM_S},\ f\mapsto f(1),$$
首先验证这是一个 $R$-$S$ 双模同态. 主要是 $\varphi(f_1+f_2)= (f_1+f_2)(1)=f_1(1)+f_2(1)=\varphi(f_1)+\varphi(f_2)$, $\varphi(rf)= (rf)(1)=f(1r)=f(r)=r f(1)=r\varphi(f)$, $\varphi(fs)=(fs)(1)=f(1)s=\varphi(f)s$.
(单射) 设 $f∈\ker\varphi$, 则 $f(1)=0$. 对于任意 $x∈R$, 有 $f(x)=f(x·1)=xf(1)=x·0=0$. 故 $f=0$.
(满射) 设 $m∈M$, 则考虑映射 $f_m:{_RR_R}→{_RM_S},\ x↦xm$. 容易验证 $f_m∈\mathrm{Hom}_R(_RR_R,_RM_S)$ 且 $\varphi(f_m)=f_m(1)=m$. 故 $\varphi$ 是满射.
设 $A$ 和 $B$ 是域 $k$ 上的代数, $_AM_B$ 是双模. 写出 $\mathrm{Hom}_k(M,k)$ 的双模结构.
设 $f∈\mathrm{Hom}_k(M,k), a∈A, b∈B, m∈M$. 定义 $$(bf)(m)=f(mb),\quad (fa)(m)=f(am).$$ 容易验证这是一个 $B$-$A$ 双模结构, 主要是注意到
$$\begin{equation} ((bf)a)(m)=(bf)(am)=f((am)b)=f(a(mb))=(fa)(mb)=( b(fa))(m), \end{equation}$$
$$\begin{equation} ((b_1b_2)f)(m)=f(m(b_1b_2))=f((mb_1)b_2)=(b_2f)(mb_1)=(b_1(b_2f))(m), \end{equation}$$
$$\begin{equation} (f(a_1a_2))(m)=f((a_1a_2)m)=f(a_1(a_2m))=(f a_1)(a_2m)=( (fa_1)a_2)(m). \end{equation}$$
写出 $A=k[x]/⟨x^5⟩$ 上所有两两互不同构的有限维不可分解模.
一共 5 个, 为 $$ ⟨x^{5-m}⟩/⟨x^5⟩, m = 1,2,3,4,5. $$