《基础代数学》作业 Week3-1

设 $0,0'$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 中的两个零对象. 则存在唯一的态射 $f:0→0'$, $g:0'→0$. 由零对象的定义知 $f,g$ 的复合只能是恒等态射(因为零对象到自己只有唯一的态射, 只能是恒等态射). 故 $0\cong 0'$.

(⇐) 同态是单同态(满同态)自然是集合意义下的单射(满射), 从而自然有集合意义下的左逆(右逆), 从而自然是范畴意义下的单态射(满态射).

(有右逆可能要用到选择公理)

(单, ⇒) 设 $f:M→N$ 是单态射. 对于任意 $m∈M$, 考虑态射(模同态) $φ_m:R→M, r↦rm$. 若 $f(m)=0$, 则 $(f∘φ_m)(r)=f(rm)=rf(m)=0,∀ r∈ R$, 即有 $f∘φ_m=0=f∘φ_m$. 由 $f$ 是单态射可得 $φ_m=0$, 从而 $m=φ_m(1)=0$. 故 $f$ 是单同态.

(或者也可以用下面一题一样的方法, 更方便)

(满, ⇒) 设 $f:M→N$ 是满态射. 考虑自然投射 $π:N→N/\mathrm{Im}f$, 则 $π∘f=0$. 由 $f$ 是满态射可知 $π=0$, 从而 $\mathrm{Im}f=N$. 故 $f$ 是满同态.

(⇐) 同态是单同态(满同态)自然是集合意义下的单射(满射), 从而自然有集合意义下的左逆(右逆), 从而自然是范畴意义下的单态射(满态射).

(有右逆可能要用到选择公理)

(单, ⇒) 设 $f:G→H$ 是单态射. 考虑自然嵌入 $i:\mathrm{Ker}f↪G$ 以及平凡同态 $0: \mathrm{Ker}f→G, g↦ e_G$, 则 $f∘i=f∘0$. 由 $f$ 是单态射可得 $i=0$, 从而 $\mathrm{Ker}f=\{e_G\}$. 故 $f$ 是单同态.

(满, ⇒) 设 $f:A→B$ 是满态射. 考虑反证, 假设 $f$ 不是群满同态.

如果 $\mathrm{Im}f \lhd B$, 则考虑自然投射 $π:B→B/\mathrm{Im}f$, 则 $π∘f=0$. 由 $f$ 是满态射可知 $π=0$, 从而 $\mathrm{Im}f=B$. 矛盾.

故考虑 $[B : \mathrm{Im}f]>2$. 下面来证明存在不同的两个群同态 $g,h: B→\mathrm{Sym}B$ 使得 $g∘f=h∘f$.

考虑右陪集空间 $\mathrm{Im} f\backslash B$, 由于其元素个数大于 $2$, 故存在 $σ∈\mathrm{Sym}(\mathrm{Im}f\backslash B)$ 使得 $σ≠1$ 且 $σ$ 有不动点. 下面我们定义 $p∈\mathrm{Sym}(B)$. 首先固定一个右陪集的代表元集 $R$, 即对于任意的 $b∈ B$, $b$ 可以唯一地表示成 $b=cr$, 其中 $r∈R, c∈\mathrm{Im}f$. 现在对于任意的 $b=cr∈B$, 定义 $p(b)=cr'$, 其中 $r'∈R$ 是 $σ((\mathrm{Im}f) r)$ 的代表元. 显然 $p\in\mathrm{Sym}(B)$, 同时满足 $p≠1$ 且 $p$ 有不动点.

下面定义 $$ g: B\to\mathrm{Sym}(B),\quad b\mapsto [x\mapsto bx], $$ 以及 $$ h: B\to\mathrm{Sym}(B),\quad b\mapsto pg(b)p^{-1}. $$

首先注意到 $g≠h$, 否则对于任意的 $b∈B$, 都有 $pg(b)=g(b)p$, 并且对于任意的 $x∈B$, 有 $p(bx)=bp(x)$, 取 $x$ 为 $p$ 的不动点, 则有 $p(bx)=bx$, 而 $p≠1$, 存在 $b∈B$ 使得等式不成立. 从而 $g≠h$.

另外, 注意到对于任意的 $b∈B, x∈B$, 有 $$\begin{equation} (h∘f)(b)(x)= pg(f(b))p^{-1}(x)=p(f(b)p^{-1}(x))\overset{(*)}{=}f(b)p(p^{-1}(x))=f(b)x=(g∘f)(b)(x). \end{equation}$$

$(*)$ 这一步使用了 $p$ 的定义. 从而 $g∘f=h∘f$. 矛盾.

(⇐) 同态是单同态(满同态)自然是集合意义下的单射(满射), 从而自然有集合意义下的左逆(右逆), 从而自然是范畴意义下的单态射(满态射).
(有右逆可能要用到选择公理)

(单, ⇒) 设 $f:R→S$ 是单态射. 考虑自然嵌入 $i:\mathrm{Ker}f↪R$ 以及平凡同态 $0: \mathrm{Ker}f→R, r↦ 0_R$, 则 $f∘i=f∘0$. 由 $f$ 是单态射可得 $i=0$, 从而 $\mathrm{Ker}f=\{0_R\}$. 故 $f$ 是单同态.

(满, ⇏) 设 $f:\mathbb{Z}→\mathbb{Q}$ 是自然嵌入. 则 $f$ 是满态射 (考虑 $f,g:\mathbb{Q}→R$ 是环同态, 若它们限制到 $\mathbb{Z}$ 上相等, 则对于任意的 $\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$, $m,n\in\mathbb{Z}$, 如果 $f(\frac{m}{n})≠g(\frac{m}{n})$, 则 $f(m)≠g(m)$, 矛盾), 但是不是环满同态.