拓扑空间范畴是否自对偶

模型范畴中定义的 cylinder object 来自于拓扑空间里面的 $X×[0,1]$.

path object 来自于拓扑空间里面的 $Y^[0,1]$ (即 所有 $[0,1]$ 到 $Y$ 的连续映射组成的空间, 拓扑是 compact-open 拓扑).

一个自然的问题是它们是不是互为对偶的.

要回答这个问题之前首先要问: 拓扑空间范畴是不是自对偶的?

我最开始想到的是, 在拓扑空间范畴里面可以自然地取任意 coproduct (我猜想这是因为在定义 open set, 也就是 topogical structure 的时候, 任意并实际上就和 coproduct 有关, 因为集合范畴的 coproduct 就是 union).

在学基础拓扑学的时候, 有积拓扑和箱拓扑的区别. 但是只有前者是范畴意义下的积 (同时它是使得自然投影都是连续的最粗的拓扑).

如何看待 cyliner object 和 path object 互为对偶?

高阳学长给出的回答是前者是 tensor 后者是 hom.