模型范畴例子

Huang Ruizhi
October 1, 2025

四个不同的例子:

Frobenius ring 上的模范畴
环上的模的 chain complexes
拓扑空间范畴
Hopf algebra 上的 comodules 的 cochain complexes

2.1 Cofibrantly Generated Model Categories

这个部分是为后面讨论例子作的准备: 证明一个范畴有模型结构是很难的, 这个部分我们尝试去减少我们要 check 的条件.

主要工具: small object argument, 它告诉我们如何去构造 functorial factorizations. 为了引入这个工具, 我们需要一些处理 infinite compositions 的技术.

2.1.1 Ordinals, Cardinals, and Transfinite Compositions

对于一个 ordinal, 我们可以自然地将它看成一个范畴: $α$ 到 $β$ 有唯一的一个态射当且仅当 $α≤β$.

设 $\mathcal{C}$ 是一个有所有 small colimits 的范畴, $λ$ 是一个 ordinal. 一个 $λ$-sequence in $\mathcal{C}$ 是一个 colimit-preserving functor $X:λ→\mathcal{C}$, 通常写作 $$\begin{equation} X_0 → X_1 → \cdots → X_β → \cdots \end{equation}$$ 由于 $X$ preserves colimits, 对于所有的 limit ordinals $γ<λ$, 诱导的态射 $$\begin{equation} \mathrm{colim}_{β<γ} X_β \rightarrow X_γ \end{equation}$$ 是一个同构. 我们称态射 $X_0→\mathrm{colim}_{β<λ} X_β$ 为这个 $λ$-sequence 的 composition.

回忆一下 cardinal 的定义: 对于一个集合 $A$, 它的 cardinality 是所有与 $A$ 有双射的 ordinals 中最小的 ordinal $|A|$. 一个 cardinal 是一个满足 $|κ|=κ$ 的 ordinal $κ$.

令 $γ$ 是一个 cardinal. 一个 ordinal $α$ 是 $γ$-filtered, 如果它是一个 limit ordinal, 并且对于所有的 $A⊆α, |A|≤γ$, 都有 $\sup A<α$.

设 $\mathcal{C}$ 是一个有所有 small colimits 的范畴, $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的一些态射的 collection, $A$ 是 $\mathcal{C}$ 的一个对象. 设 $κ$ 是一个 cardinal. 我们说 $A$ 是 $κ$-small relative to $\mathcal{D}$, 如果对于所有的 $κ$-filtered ordinals $λ$ 和所有的 $λ$-sequences $X$ 使得对于 $β+1<λ$ 都有 $X_β→X_{β+1}$ 属于 $\mathcal{D}$, 集合之间的映射 $$\begin{equation} \mathrm{colim}_{β<λ} \mathcal{C}(A,X_β) \rightarrow \mathcal{C}(A, \mathrm{colim}_{β<λ} X_β) \end{equation}$$ 是一个同构. 我们说 $A$ 是 small relative to $\mathcal{D}$, 如果存在一个 cardinal $κ$, 使得 $A$ 是 $κ$-small relative to $\mathcal{D}$. 我们说 $A$ 是 small, 如果它 small relative to $\mathcal{C}$.

(Every set is small)

($R$-module is small, fintiely presented module is finite)
设 $A$ 是一个 $R$-module. 令 $κ=|A|(|A|+|R|)$.

2.1.2 Relative $I$-cell complexes and the Small Object Argument

知道某些对象是 small 的好处是可以帮助我们构造 functorial factorizations.

设 $I$ 是范畴 $\mathcal{C}$ 里的一个态射类.

一个态射是 $I$-injective,

设 $(F,U,φ):\mathcal{C}→\mathcal{D}$ 是一个 adjunction, $I$ 是 $\mathcal{C}$ 里的一个态射类, $J$ 是 $\mathcal{D}$ 里的一个态射类. 则

$U(FI\text{-inj})⊆ I\text{-inj}$.
$F(I\text{-cof})⊆FI\text{-cof}$.
$F(UJ\text{-proj})⊆J\text{-proj}$.
$U(J\text{-fib})⊆UJ\text{-fib}$.

Remark. 显然以上几个态射类都对于 pushout (或 pullback) 以及 transfinite composition 封闭, 这主要是 LLP 或 RLP 的性质.

(relative $I$-cell complex)

Relative $I$-cell complexes 有以下性质:

它是特殊的一类 $I$-cof, 即 $I$-cell ⊆ $I$-cof (一般的 $I$-cof 我们难以描述, 但是 relative $I$-cell complexes 我们可以比较容易地描述).
$I$-cell 满足对于 transfinite composition 的封闭性.
$I$ 中态射的 coproduct 的 pushout 都在 $I$-cell 里面 (特别地, pushout 都在).

Remark. 第三点的证明很有意思, 态射的 coproduct 的 pushout 可以看成 (随便取一个次序, 具体操作是将指标集合对应到一个 ordinal) 每一个单项的 pushout 的 transfinite composition.

(The Small Object Argument)
设 $C$ 是一个有所有 small colimit 的范畴. $I$ 是 $C$ 里面的一个态射类. 如果 $I$ 里面的每一个态射的 domain 相对于 $I$-cell 都是 small 的. 则对于任意态射 $f$, 都有函子性分解 $(\gamma,\delta)$, 即 $f=δ(f)∘γ(f)$, 使得 $δ(f)∈I$-inj, $γ(f)∈I$-cell.

Remark. 我觉得这个特别神奇, 因为居然只要知道 $I$ 这样一个随意的一个态射类, 就可以给所有的态射都构造出一个 functorial factorization.

推论的证明使用了 The Retract Argument ($f$ 如果有函子性分解 $f=pi$, 如果 $f$ 对于 $p$ 有 LLP, 则 $f$ 是 $i$ 的 retract).

2.1.3 Cofibrantly Generated Model Categories

关键技术点:

什么是 cofibrantly generated model category.
什么是 generating cofibrations 的集合 $I$.
什么是 generating trivial cofibrations 的集合 $J$.

设 $\mathcal{M}$ 是一个模型范畴. 我们说 $\mathcal{M}$ 是 cofibrantly generated, 如果存在两个集合 $I$ 和 $J$ 的态射, 使得

$I$ 中态射的 domain 都 small relative to $I$-cell.
$J$ 中态射的 domain 都 small relative to $J$-cell.
$𝖥𝗂𝖻 = J\text{-inj}$.
$𝖳𝖥𝗂𝖻 = I\text{-inj}$. 这里的 $I$ 和 $J$ 分别是 generating cofibrations 和 generating trivial cofibrations 的集合.

知道一个模型范畴是 cofibrantly generated 有很多好处:

更容易 check 一个函子是不是 Quillen functor.

设 $\mathcal{C}$ 是一个有 small colimits and limits 的范畴. 设 $\mathcal{W}$ 是 $\mathcal{C}$ 的一个子范畴, $I$ 和 $J$ 是 $\mathcal{C}$ 的态射集合. 则当且仅当以下条件成立时, 存在一个 $\mathcal{C}$ 上的 cofibrantly generated 模型结构, 使得 $\mathcal{W}$ 是 weak equivalences, $I$ 是 generating cofibrations, $J$ 是 generating trivial cofibrations:

$\mathcal{W}$ 满足 2-out-of-3 且对于 retract 封闭.
$I$ 的 domain 都 small relative to $I$-cell.
$J$ 的 domain 都 small relative to $J$-cell.
$J\text{-cell}⊆\mathcal{W}∩I\text{-cof}$.
$I\text{-inj}⊆\mathcal{W}∩J\text{-inj}$.
Either $\mathcal{W}∩I\text{-cof}⊆J\text{-inj}$ or $\mathcal{W}∩J\text{-inj}⊆I\text{-inj}$.

2.2 模范畴的稳定范畴

最简单的非平凡模型结构: Frobenius 环上的模范畴, 上面有稳定模型结构.

一个环 $R$ 是 (left) Frobenius ring, 如果所有的 projective left $R$-modules 都是 injective left $R$-modules, 反之亦然.

(Examples of Frobenius rings)

有限群的群代数 $k[G]$.
finite graded connected Hopf algebra over a field.

$f,g$ 稳定等价 (stably equivalent) , 如果 $f-g$ 通过一个 projective module 分解.

Remark. 我们一般只对 Frobenius ring 的模范畴里面的稳定等价感兴趣.

稳定等价是等价关系且与复合相容.

$R$-modules 的 stable category 是一个 category, 它的对象是所有的 left $R$-modules, 态射是 stable equivalence classes of morphisms.

一个态射 $f$ 被称为 stable equivalence, 如果它在 stable category 里面是同构.

目标: 给 $R$ 上的环范畴一个 (cofibrantly generated) 模型结构, 使得它的 homotopy category 就是 stable category.

stable equivalences 对于 retract 封闭.
stable equivalences 满足 2-out-of-3.
对于投射模 $P$, 自然嵌入 $M→M⊕P$ 是 stable equivalence.
对于投射模 $P$, 自然投影 $M⊕P→M$ 是 stable equivalence.

证明使用了两个很重要的事实: 一是同构对于 retract 封闭, 二是函子保持 retract.

Remark. 我觉得这里的 stable equivalences 不仅满足 2-out-of-3, 如果两个态射的复合是 stable equivalence, 那么这两个态射都是 stable equivalences. 这是同构的性质.

Remark. 第四个 Hovey 上写的是 $M⊕P→P$, 我觉得他写错了.

为了给定 $R$-mod 上一个 cofibrantly generated 模型结构, 我们需要一个 generating cofibrations 的集合 $I$ 和一个 generating trivial cofibrations 的集合 $J$.

为此, 我们定义:

$I$ 是集合 $\mathfrak{a}→R$, 其中 $\mathfrak{a}$ 取遍所有的 left ideals of $R$.
$J$ 是集合 $0→R$.
𝖥𝗂𝖻 = $J$-inj.
𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = $I$-cof.
𝖶𝖾𝗊 = stable equivalences.

下面我们证明上述定义的 𝖥𝗂𝖻, 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻, 𝖶𝖾𝗊 构成一个模型结构.

𝖥𝗂𝖻 = surj.

设 $R$ 是 Frobenius ring. 则 𝖳𝖥𝗂𝖻 = surjection with projective kernel.

Remark. 这里是不是自然出现了遗传性条件?

设 $R$ 是任意一个环. 则一个态射 $p∈I\text{-inj}$ 当且仅当 $p$ 是一个 surjection with injective kernel.
从而如果 $R$ 是 Frobenius ring, 则 $I\text{-inj} = 𝖳𝖥𝗂𝖻$.

另一个方向的证明要用到 Baer 判别法.

对于 cofibrations 也有类似的一些结果:

设 $R$ 是任意 ring. $I$-cof = injection.

主要是根据上面证明过的 $I$-inj 就是 surjection with injective kernel. 所以只要证明 injection 等价于 LLP with respect to 所有的 surjection with injective kernel 就可以了.

证明 injection 对于所有的 surjection with injective kernel 有 LLP, 直接根据上面一条引理的证明即可. 也就是说, 我们可以总结出如下交换图表:

对于另外一个方向, 即证明对于所有 subjection with injective kernel 都有 LLP 的态射是 injection. 考虑从 domain 嵌入到一个 injective module, 这时 LLP 相当于给出一个提升, 而一个态射前项复合一个态射是 injection 意味着它自己是 injection. 图表如下:

设 $R$ 是 Frobenius ring. 则 $J$-cof = injection with projective cokernel. 特别地, $J$-cof 里面的态射都是 stable equivalences.

设 $R$ 是 Frobenius ring. 则 $R$-mod 上有一个 cofibrantly generated model structure, 其中 𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻=inj, 𝖥𝗂𝖻=surj, 𝖶𝖾𝗊=stable equivalences.
如果 $R$ 是 Noetherian, 则这个模型结构 finitely generated.

事实上, 只有 Frobenius 环上的模范畴能作为这样的 $I$ 和 $J$ 给出的 cofibrantly generated 模型范畴. 可以证明 $I$ 和 $J$ 给出的几种态射类的定义保证了 injective module 等价于 projective module, 并且保证了只有 stable equivalneces 可以作为 weak equivalences.

Frobenius 环范畴上的每个对象都是 fibrant 和 cofibrant.

2.3 Chain Complexes of Modules over a Ring

考虑 $R$ 上的 chain complexes 范畴, 记作 $\text{Ch}(R)$. (这里的复形都是降链的)

$\text{Ch}(R)$ 里面所有的 objects 都 small. 每个有限表现模的有界复形都 finite.

给定一个 $R$-模 $M$, 我们定义以下两个复形 (更可以看成是从模范畴到复形范畴到函子):

$S^n(M)$ : 在度数 $n$ 处是 $M$, 其他度数都是零, 所有的微分都是零.
$D^n(M)$ : 在度数 $n$ 和 $n-1$ 处是 $M$, 其他度数都是零, 唯一非零的微分是 $d_n=\mathrm{Id}_M$.

并且记 $S^n=S^n(R), D^n=D^n(R)$.

我们定义:

$I=\{S^{n-1}→D^n\}$
$J=\{0→D^n\}$
𝖥𝗂𝖻 = $J$-inj.
𝖢𝗈𝖿𝗂𝖻 = $I$-cof.
𝖶𝖾𝗊 = quasi-isomorphisms (homological isomorphisms).

𝖶𝖾𝗊 对于 retract 封闭且满足 2-out-of-3.

定义函子 $D^n$ 的一个非常重要的点是, $D^n$ 是 evalution 函子 $\mathrm{Ev}_n$ 点左伴随.

2.4 Topological Spaces

$\mathbf{Top}$ 和集合范畴、环的模范畴、环的模的 chain complexes 范畴的一个区别是: 不是所有 $\mathbf{Top}$ 中的对象都是 small 的.